1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修）本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择题）两部分第错误！未找到引用源。卷 1 至 2 页，第错误！未找到引用源。 卷 3 至 4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 6
2、0 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PPB 24SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径，球的体积公式()()AB如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么P34VR次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nk()(1)(01,2)knnPCn， ， ，一、选择题（1 ） 的值为o58si(A) (B) (C) (D) 232【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解： ，故选择 A。245sin)180sin()25360sin(58si oooo(2)设集合 A=4，5，
3、6，7，9 ，B=3，4 ，7，8 ，9 ，全集 =A B，则集合 u （A B）中的元素共有(A) 3 个 （B） 4 个 （C ）5 个 （D ）6 个【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1）解： ， 故选 A。也可用摩根,78,94,79()3,58UABCAB律： ()()UUAB（3 ）不等式 的解集为 D 1x（A） （B）001x（C ） （D）1x【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。解： ，040)1()(|1|1 22 xxxx故选择 D。（4 ）已知 tan =4,cot = ,则 tan(a+ )=a3(A) (B) (C) (D) 7171【解析
4、】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。解：由题 ， ，故选择 B。3tan 17234tant)t( （5 ）设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的20xyabb 1 ， y x离心率等于（A） （B ）2 （C） （D）356【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线方程20xyabb 1 ， abxy整理得 ，因渐近线与抛物线相切，所以 ，即2a 042，故选择 C。552ec（6 ）已知函数 的反函数为 ，则()fx()10gxx 2l )1(gf（A）0 （B）1
5、（C） 2 （D）4【解析】本小题考查反函数，基础题。解：由题令 得 ，即 ，又 ，所以 ，故lg2x11)(f)(g2)1(gf选择 C。（7 ）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。解：由题共有 ，故选择 D。34526151265C（8 ）设非零向量 、 、 满足 ，则abccba|,| ba,（A）150B）120 （C）60 （D）
6、30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处abab的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。（9 ）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为1ABC1ABC的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为BC1(A) (B) (C) (D) 34547434【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7）解：设 的中点为 D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,BC1A1ABAB1C由三角余弦定理，易知 .故选 D 113cocs4osAADB(10
7、) 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为3(2)yx4(,0)3(A) (B) (C) (D) 642【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。解: 函数 的图像关于点 中心对称 cos2yx 3 43， 0由此易得 .故选 A42k1()6kZmin|6（11 ）已知二面角 为 600 ，动点 P、Q 分别在面 内，P 到 的距离为 ，Q,3到 的距离为 ，则 P、 Q 两点之间距离的最小值为3【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10）解: 如图分别作 ,AClB于 于 于，连 PDl于 60BDP则，23,Q2又 213APA当且仅当 ，即
8、 重合时取最小值。故答案选 C。 0点 与 点（12 ）已知椭圆 的右焦点为 F,右准线 ，点 ，线段 AF 交 C 于点 B。若2:1xCylAl,则 =3FAB(A) (B) 2 (C) (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。解: 过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 ,故Mll 3FAB.又由椭圆的第二定义,得 .故选 A 2|32|3BF|22009 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修 选修）第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然
9、后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3本卷共 10 小题，共 90 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试题卷上作答无效）（13 ） 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于_.10()xy73xy37xy【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13）解: 因 所以有 w.w.w.k.s.5.u.c。rrrCT101)( 3731010()24C（14 ）设等差数列 的前 项和为 。若 ，则 _.nanS99a
10、【解析】本小题考查等差数列的性质、前 项和，基础题。 （同理 14）解: 是等差数列,由 ,得n97259,8。24924564()()32aaaa(15)已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆OAOAMOAM的面积为 ，则球 的表面积等于_.M3【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为 ，圆 M 的半径为 ，则 ，即 由题得 ，Rr322r3)2(R所以 。16422（16 ）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，m12:0:30lxylxy与 2则 的倾斜角可以是 153045675其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序
11、号）【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为 ，由图知直线 与 的夹角为 ， 的倾斜角21|3|dm1lo301l为 ，所以直线 的倾斜角等于 或 。故填写或o45m07540o 05o三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，nansnbnT已知 的通项公式.133,17,2,nbTS求 a【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前 项和，基础题。解
12、：设 的公差为 ，数列 的公比为 ，由题得nadnb0q解得012)3(172qd2,d 。1,)(2nnbna(18)(本小题满分 12 分) （注意：在试用题卷上作答无效）在 中，内角 A、b、c 的对边长分别为 a、b、c.已知 ，且BC 2cb，求 b.sin4cosin【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。解：由余弦定理得 ，bccaos22 ，0,2bca ，即 。AboscsA由正弦定理及 得sin4cosinBAC，bA2ico2 ，即 。b4(19)(本小题满分 12 分) （注决：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面SABCDABSD， ， ，点 在侧
13、棱 上，ABCD22MC。 M=60（I）证明： 是侧棱 的中点；SC求二面角 的大小。 （同理 18） AB【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。（I）解法一：作 交 于 N，作 交 于 E，SDEAB连 ME、NB ，则 面 ， ,MABC2D设 ，则 ,NxEx在 中， 。RT603Ex在 中由 22N2解得 ，从而 M 为侧棱 的中点 M. 1x1SDSC解法二:过 作 的平行线.MC（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过 作 交 于 ,作 交 于 ,作JCDSJHAJ交 于 ,则 ,
14、 面 ,面HKAMKMSD面 , 面 即为所求二面角的补角.SBAB法二：利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 交 于点 ，BFAMF则点 为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证 ，则 即为所求二面F GB角.解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则。)2,0(),(),02(),02( SCBA（）设 ，则baM，)2,(),(),( baM，由题得20SC，即MBA/1,cos解之个方程组得)2(ba即1,0所以 是侧棱 的中点。 MSC法 2：设 ，则 )12,(),12,0( MB又 oABAB6,),0(故 ，即0
15、cs|，解得 ，22)1()(141所以 是侧棱 的中点。MSC（）由（）得 ，又 ，),2(),0(A)2,0(AS，)0,2(AB设 分别是平面 、 的法向量，则),(),2211 zyxnzyxn MB且 ，即 且01SM01AB011zxy022yzx分别令 得 ，即2x,21yzSABCDMzxy，)2,0(),12(21n 36,cos21二面角 的大小 。SAMBarcos(20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结
16、果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解：记“第 局甲获胜”为事件 ， “第 局甲获胜”为事件 。i )5,43(iAj )5,43(jBi（）设“再赛 2 局结束这次比赛 ”为事件 A，则，由于各局比赛结果相互独立，故4343BA )()()()()() 43434343 BPAPBPP 。52.0.60.（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2
17、局，从而，由于各局比赛结果相互独立，故54354343 AAB)()P648.0.60.4.06. )()()()()( 535433 5 APBP（21 ） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 .42()3fx（）讨论 的单调性；()fx（）设点 P 在曲线 上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求 的方()yfll程【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。解：（） )26)(46)(3 xxf令 得 或 ；0)(xf02令 得 或)(f626x因此， 在区间 和 为增函数；在区间 和xf)0,(),()26,(为减函数。)26,0(（）设点
18、 ，由 过原点知， 的方程为 ，)(,0xfPllxfy)(0因此 ，即 ，整理得f)(064(6330204xx，解得 或 。212x所以的方程为 或 xyy(22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线 与圆 相交于 A、B、C、D 四2:E22:(4)(0)Mxyr个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。解：（）将抛物线 代入圆 的方程，消去 ，整理2:Eyx22:(4)(0)Mxyr2y得 （1）27160xr抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的2:Eyx22:(4)(0)MyrA
19、BCD充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根 即 。解这个方程组得067)(492212rx425r或 425r.5(,4)r（II） 设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。1(,)Ax1(,)Bx2(,)Cx2(,)Dx则由（I）根据韦达定理有 ，212127,6r15,4则 21212|()|()Sxxx2 2112()4)76(415)r令 ，则 下面求 的最大值。6rt22(7)Stt2S方法 1：由三次均值有： 221(7)()7(14)Stttt33428当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。721tt7615(,4)2r法 2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、1(
20、,)Ax1(,)Bx2,Cx2,Dx则直线 AC、BD 的方程分别为 )(),( 11211121 xyxxy 解得点 P 的坐标为 。0,2设 ，由 及（）得 21xt16rt)4,0(t由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 |)2(121xxS则 将 ， 代入上式，4)(2( 21212112 xxxS 721tx21并令 ，等)tf，)20(349828)7(2(3 ttttt ，)76(9564)ttttf令 得 ，或 （舍去）0(t7t2t当 时， ；当 时 ；当 时，6t0)(tf67t0)(tf276t0)(tf故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为7t)(tf。 )0,67(
