1、第一章单元复习,1.1认识三角形,1.三角形的定义：,三角形用符号“”表示，如图，顶点是A,B,C的三角形记做ABC。,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,2.三角形边的性质：,三角形的任何两边之和大于第三边,三角形的任何两边之差小于第三边,另两边的差第三边另两边的和,判断方法：,先找出最长一边，如果另外两边之和大于最长 一边，那么这三边就能构成三角形。,3.三角形的内角和外角性质：,三角形三个内角的和等于180。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角。,三角形按内角的类型的分类可分为：,锐角三角形 直角三角形
2、钝角三角形,4.三角形的角平分线、高线、中线,1三角形的角平分线：,在三角形中，一个,内角的角平分线与它的对边相交，,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。,A,C,B,D,AD是 ABC的角平分线,A,从三角形的一个顶点,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形的高线。,如图, 线段AD是BC边上的高.,和垂足的字母.,2.三角形的高线：,锐角三角形的三条高,这三条高之间有怎样的位置关系？,锐角三角形的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高都在三角形的内部。,A,B,C,D,E,F,直角三角形的三条
3、高,A,B,C,(1) 直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是 ;,AB,直角边AB边上的高是 ;,CB,它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,D,斜边AC边上的高是 ;,BD,钝角三角形的三条高,(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？,钝 角三角形的 三条高不相交于一点,它们所在的直线交于一点吗？,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,O,小结:三角形的高,从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形这边的高。,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线交于一点,三角形内部,直角顶点,三角形外部,在三角形中
4、,连接一个,顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.,D,AD是 ABC的中线,三角形三条边的中线的位置关系,三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.,三角形中线的理解,E,F,O,3三角形的中线,三角形的一条中线是否将这个三角形分成面积相等的两个三角形?,是,1.2定义与命题,1定义：,一般地，能清楚的规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义。,1、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是对“ ”做了定义;,平行四边形,2.“有一组对边相互平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形”是对“ ”做了定义。,梯形,一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫
5、做命题也就是说，只要对一件事做出了判断，不管正确与否，都是命题。反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。,2命题（statement）：,定义“命题”,命题由哪两部分组成?,命题由可看做由条件和结论两部分组成.,正确的命题叫做,真命题,不正确的命题叫做,假命题,推理证明,举反例,命题的特点：（1）、命题必须是一个完整的句子，这个句子通常是陈述句（包括肯定句、否定句） （2）、这个句子对一件事请做出了是或不是、有或没有等的判断。 （3）、疑问句、祈使句、感叹句、做一件事情、图形的作法等都不是命题。,（4）、句子的前面是形容词的都不是命题。,下列句子中，哪些是命题？哪些不
6、是命题？ 对顶角相等； 画一个角等于已知角； 两直线平行，同位角相等； a、b两条直线平行吗？ 温柔的李明明。 玫瑰花是动物。 若a24，求a的值。 我计划明天去秋游。,是否作出判断,不是,是,不是,不是,是,不是,是,不是,例1.两个三角形的两边及其夹角对应相等，这两个三角形全等,条件：两个三角形的两边及其夹角对应相等,结论：这两个三角形全等,例2.直角三角形的两个锐角互余。,条件：两个角是一个直角三角形的锐角,结论：这两个角互余。,如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。,如果两个角是一个直角三角形的锐角，那么这两个角互余,（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2
7、）如果ab,bc,那么a=c； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等。,假命题,假命题,真命题,真命题,真命题,这几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？,辨一辨,1.3证明,要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做 证明 。,几何证明的一般步骤,根据题意,画出图形,分清条件(已知),结论(求证),分析题意，探索证明过程,用数学语言写出证明过程,检查表达过程是否正确,完善,证明方法： 1.综合法：从已知条件出发，推出所证结论的方法叫综合法。即利用已
8、知条件和某些数学公理、定理、定义、性质、法则等，经过一系列的推理论证最后推导出所证结论成立。 2.分析法：从所证结论出发，逐步寻求使它成立的，知道归结为判定一个显然成立的条件为止。,如图，DC/AB， DF平分CDB， BE平分ABD， 求证：1=2,证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。,第一步：,根据题意，画出图形,证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。,第二步：,条件：,结论：,2=3,在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论,已知：,求证：,证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是
9、真命题。,第三步：,在“证明”中写出推理过程，并且步步有依据。,已知：,求证：,2=3,证明：,1=2,1=3,2=3,（ 已知 ）,（对顶角相等）,1.4全等三角形,能够重合的两个三角形叫做全等三角形。,定义：,性质：,全等三角形的对应边相等，对应角相等。,“全等”用符号“ ”表示,ABCDFE,记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,例 如图, AD平分BAC，AB=AC，ABD与ACD全等吗？BD与CD相等吗？B与C呢？请说明理由。,A,B,D,解: AD平分BAC 1= 2, AB=AC 点C与点B重合,又 点A与点A重
10、合，点D与点D重合, ABD ACD,BD=CD,1,2,判断两个三角形全等；可利用全等三角形的定义。,ABD与ACD重合,（全等三角形的意义）,（全等三角形的对应边相等）,B=C,（全等三角形的对应角相等）,因此将图形沿AD对折时,射线AC与射线AB重合.,边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”),1.5三角形的判定：,注意：AAA,SSA不能判断一般三角形全
11、等,全等三角形的判定定理：,1、边角边（SAS）2、角边角 (ASA)3、角角边（AAS）4、边边边（SSS）,注意：没有“边边角”和“角角角”,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中, ABCDEF（ASA）,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边
12、角”或“ASA”）。,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法3,思考:在ABC和DFE中,当A=D , B=E和AC=DF时,能否得到 ABCDFE?,三角形全等判定方法4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角角边”或“AAS”）。,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2)已知一边一角-,已知一边和它的邻角,已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个领边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一领角(AAS),(3)已知两角-,找两角的夹边(ASA)
13、,找夹边外的任意边(AAS),1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时,要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。 分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。 有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角,3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).,例4 (2007金华):如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC DF,在ABC和DEF, (1)求证: ABCDEF;,(1)证明:ACDF(已知) A=D (
14、两直线平行,内错角相等),ABCDEF(SAS),在ABC和DEF中,例1：已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，AD=BF,求证：E=C,证明：, AD=FB, AD+DB=BF+DB,即AB=FD(等式的性质）,在ABC和FDE中,AC=FE BC=DE AB=FD,ABCFDE,(SSS),E=C（三角形全等，对应角相等）,例2：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD求证：DCAB,在ABO和CDO中OA=OCAOB= CODOB=OD ABOCDO （SAS） A= C（三角形全等，对应角相等） DCAB（内错角相等，两直线平行）,DOC= BOA（对顶
15、角相等）,证明：,1.6尺规作图,在几何作图中，我们把没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。,已学会： 作一条线段等于已知线段 画角平分线 作一个角等于已知角。 作已知线段的垂直平分线。 在给定边角条件下，求作三角形。,1. 画线段,已知：线段MNa，求作一条线段等于a.,（3）在射线AC 上截取AB a ，则线段AB 就是所要画的线段.,（1）先画射线AC；,（2）用圆规量出线段MN 的长；,2. 画 角,如图，已知AOB ，求作一个角等于AOB.,（1）画射线OA；,（2）以点O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA 于C ，交OB 于D ；,（3）以点O为圆心，以OC 长为半径画弧，交O
16、 A于C.,（4）以点C为圆心，以CD 长为半径画弧，交前一条弧于D.,O ,A ,（5）经过点D画射线O B，则A O B就是所要画的角.,3. 画角平分线,已知：AOB ，求作AOB 的平分线.,（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C 点，交OB 于D 点；,（3）过O、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线.,（2）分别以C、D 两点圆心，以大于 CD 长为半径画弧，两弧相交于P 点；,4. 画垂直平分线,已知：线段AB ，画出它的垂直平分线.,（1）分别以A、B 两点为圆心，以大于AB 线段一半的长为半径画弧，两弧交于C、D 两点；,（2）过C、D 两点作直线，即为所求作线
17、段AB 的垂直平分线.,已知三角形的两边及其夹角，求作三角形,已知：线段a， b， ，求作：ABC，使BC a， AB b， ABC ,B,M,D,E,D,E,N,C,A,(1)作MBN ,(2)在射线B M上截取BC a,在射线B N上截取BA b，,(3)连接AC,则ABC为所求作的三角形,作法,已知:三角形的两角及它们的夹边,求作 三角形,已知:,线段c，,求作：,使A,， c,B,N,K,C,已知三角形的三边求作三角形,已知:线段a,b,c,求作:ABC,使BCa,ACb,ABc,(1)做线段BCa,A,C,(2)以C为圆心, b为半径画弧,(3)以B为圆心, C为半径画弧,两弧相交于点A,(4)连接AB,AC,则ABC为所求作的三角形,画垂线,已知：直线l 及其外一点C .,求作：过C 点垂直于直线l 的直线.,探究:,（1）以C 点为圆心，以大于C 点到直线l 的距 离为半经画弧，交直线于A、B 两点；,（3）过C、D 两点作直线CD ，即为所求作的垂线.,（2）分别以A、B 两点为圆心，以大于1/2AB的 长度为半径画弧，两弧相交于D 点；,再见,
