1、 1 / 22典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标0，2A准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ，02， 2a1b椭圆的标准方程为： ； 1422yx（2）当 为短轴端点时， ， ，02，A2b4a椭圆的标准方程为： ；16422yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，312ca2ac e说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求ac比二是列
2、含 和 的齐次方程，再化含 的方程，解方程即可ace典型例题三例 3 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、x01yxA两点， 为 中点， 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方BMABO程解：由题意，设椭圆方程为 ，2yax2 / 22由 ，得 ，102yax02xa ， ，21aM 21ayM， ，42xykO2 为所求142说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆 上不同三点 ， ，19252yx1yxA， 594，B与焦点 的距离成等差数列2yxC，
3、04，F（1）求证 ；821x（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的ACxTBT斜率 k证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知： ，axcaAF12 1154xeaAF3 / 22同理 254xCF ，且 ，BA59F ，185421x即 821x（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为AC241y，2211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得Tx0，2104y又点 ， 都在椭圆上，1xA， xB， 21259y22x 21115xy将此式代入，并利用 的结论得823640x 590xkBT典型例题五例 5 已知椭圆 ， 、
4、1422yx1F4 / 22为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离2FMl是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；MN1F2 M若不存在，请说明理由解：假设 存在，设 ，由已知条件得1yx， ， ， 2a3bc2e左准线 的方程是 ，l4 14xMN又由焦半径公式知：，1112eaF2x ，21MFN 11214xx整理得 083512x解之得 或 4152另一方面 21x则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判
5、断（3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）sin3co2，典型例题六5 / 22例 6 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦122yx 21，PP所在的直线方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件k求 k解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭k21xy圆方程，并整理得0231221xkxk由韦达定理得 21 是弦中点， 故得 P21x21k所以所求直线方程为 034y分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方1x， 2y， 1x21y2程组，从而求斜率： 21y解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意，P1yxA， 2yxB，得
6、1.212121yxyx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 21x21所求直线方程为 034y6 / 22说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ；62，（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机?互相垂直，且焦距为x6分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求
7、出12byax， ，在得方程 后，不能依此写出另一方程482a372b137482yx12xy解：（1）设椭圆的标准方程为 或 12byax12bxa由已知 ba2又过点 ，因此有6，或 12ba12ba由、，得 ， 或 ， 故所求的方程为48237252a13b7 / 22或 137482yx1352x（2）设方程为 由已知， ， ，所以 故所2bya3cb182a求方程为 1982x说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 12byax12bxa典型例题八例 8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点1216yxF31，A在椭圆
8、上，当 为最小值时，求点 的坐MMAM标分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，21eF从而得最小值一般地，求 均可用此法A解：由已知： ， 所以 ，右准4ace线 8xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故AlQM显然 的最小值为 ，MF2F2AQ即 为所求点，因此 ，且 在椭圆上故3My所以 3Mx，说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理事实上，如图，FA，即 是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭21eFMQ8 / 22圆上一点 ，使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值MA典型例题九例 9 求椭圆 上的点到直线1322yx的距离的最小值06yx分析
9、：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，.sinco3yx， sinco3，则点到直线的距离为263si26sinco3d当 时， 13si最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率x9 / 22，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，23e 230，P 7求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标7分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大值时，要注意讨论 的取值范围此题可
10、以用椭圆的标准方程，也db可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定12byax0ba由 可得2221abace，即 4312b设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则yx， Pd49312322 ybad4942yb其中 如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值21bby2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾372137b因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值21b21yd由题设得 ，可得 ， 347ba所求椭圆方程是 12yx10 / 22由 及求得的椭圆方程
11、可得，椭圆上的点 ，点 到21y 213， 213，点 的距离是 30，P7解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中sincobyax，待定， ， 为参数0ba2由 可得221abace，即 24312b设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则yx， 30，Pd2222 sinco3bad49isin422b31i322b如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值1b1sin2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有223737b21b成立12b于是当 时 （从而 ）有最大值b21sind由题设知 ， ， 34712a所求椭圆的参数方程是 sincoyx由 ， ，可得椭圆上的是 ， 2
12、1sin23cos213， ，11 / 22典型例题十一例 11 设 ， ， ，求 的xRyxyx6322xy22最大值和最小值分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的32结构一致设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑mxy22椭圆及圆的位置关系求得最值解：由 ，得x6321249y可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点023， x和（3，0）点设 ，则mxy2211它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为 1m在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，1m半径最大，即 ，
13、 415 的最小值为 0，最大值为 15xy2212 / 22典型例题十二例 12 已知椭圆 ，0122 babyaxC：、 是其长轴的两个端点AB（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、FPa13 / 22如何变化， b120APB（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求Q120AB的离心率 的取值范围Ce分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做PQ出估计，因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ， ，根e axby据 得到 ，将 代入，消去 ，用 、10AQB32ayx 22ybax、 表示
14、 ，以便利用 列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一bcyb气呵成解：（1）设 ， ， 0，cF，aA0，BbcPyaxb222，于是 ， ckAPakBP 是 到 的角 224221tancacabAPB 2c tanAPB故 3120APB（2）设 ，则 ， yxQ， axykQAaxykQ由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角014 / 22 2221tanayxayxAQB ， 0322整理得 032ayyx 22ba 0132y ， 0y23cab ， b2，23ca234ca ，04044e 或 （舍） ， 2e136典型例题十三例 13 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982
15、ykx21ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，x82ka92b12kc2e得 4k当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 y9222由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不8k15 / 22定，所以椭圆的焦点可能在 轴上，也可能在 轴上故必须进行讨论xy典型例题十四例 14 已知椭圆 上一点 到右焦点 的距离为 ，求142byxP2Fb)1(到左准线的距离P分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一：由 ，得 ， ， 142byxba2c32e由椭圆定义， ，得P
16、F41PF321由椭圆第二定义， ， 为 到左准线的距离，ed11 ，bePFd321即 到左准线的距离为 解法二： ， 为 到右准线的距离， ，ed22P23ace bePF32又椭圆两准线的距离为 bca382 到左准线的距离为 P2说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五16 / 22例 15 设椭圆 ( 为参数)上一点 与 轴正向所成角.sin32,co4yxPx，求 点坐标
17、3POx分析：利用参数 与 之间的关系求解POx解：设 ，由 与 轴正向所成角为 ，)sin32,co4( x3 ，即 si3tan2ta而 ， ，由此得到 ， ，0sico5cos52sin 点坐标为 P)514,(典型例题十六例 16 设 是离心率为 的椭圆 上的一点，),(0yxe12byax)0(ba到左焦点 和右焦点 的距离分别为 和 ，求证：P1F21r2， 01exar02exar分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离解： 点到椭圆的左准线 的距离， ，Pcaxl2： caxPQ20由椭圆第二定义， ，eQF1 ，由椭圆第一
18、定义， 01xaPer 012exar17 / 22说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在 轴上的焦半径公y式典型例题十七例 17 已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右1592yx)1,(AF2焦点，点 是椭圆上一点P(1) 求 的最大值、最小值及对应的点 坐标；1FAP(2) 求 的最小值及对应的点 的坐标23分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就
19、能简捷求解解：(1)如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由62a)0,(2F2AP， ，1PFP，等号仅当6221aA时成立，此时 、 、 共线2AF由 ， ，AFP 262221 AFaPP等号仅当 时成立，此时 、 、 共线2建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点2 0yx4595,02yx、 )1457,9(1P )147,259(2P18 / 22综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时，P11PFA26P2取最大值 2FPA26(2)如下图，设 是椭圆上任一点，作 垂直椭圆右准线， 为垂足，由QQ， ， 由椭圆第二定义知 ， ，3a2c3e 322ePF23PF
20、，要使其和最小需有 、 、 共线，即求 到右准线PQAFP2 AA距离右准线方程为 29x 到右准线距离为 此时 点纵坐标与 点纵坐标相同为 1，代入椭圆A27PA得满足条件的点 坐标 P)1,56(说明：求 的最小值，就是用第二定义转化后，过 向相应准线2Fe A作垂线段巧用焦点半径 与点准距 互化是解决有关问题的重要手段PQ典型例题十八例 18 (1)写出椭圆 的参数方程；1492yx(2)求椭圆内接矩形的最大面积分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1) sin2co3yx)(R(2)设椭圆内
21、接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 轴和S x19 / 22轴，设 为矩形在第一象限的顶点， ，y)sin2,co3( )20(则 12i4S故椭圆内接矩形的最大面积为 12说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便典型例题十九例 19 已知 ， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上一点，且 1F2 P6021PF(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证 的面积与椭圆短轴长有关21P分析：不失一般性，可以设椭圆方程为（ ） ， （ ） 2byax0a),(1yxP0思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设 ， ， ，
22、化简可得3160tan12PFK),(1yx),(cF),(2又 ，两方程联立消去 得032121 cyx 21ba21x，由 ，可以确定离心率的取值范围；解出41212byc ,(1y可以求出 的面积，但这一过程很繁2FP思路二：利用焦半径公式 ， ，在 中运用余11exaP12exaPF21FP弦定理，求 ，再利用 ，可以确定离心率 的取值范围，将 代入1x,1xx椭圆方程中求 ，便可求出 的面积y21F思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合 求解aPF21解：(法 1)设椭圆方程为 （ ） ， ， ，2byax0a),(1yx)0,(c， ，)0,2cF则 ， 11exaP12exPF在
23、中，由余弦定理得220 / 22，)(24)(160cos 112exacexa解得 22134ecx(1) ，,0(21a ，即 234ec042ac 1a故椭圆离心率的取范围是 )1,2e(2)将 代入 得22134ecxbyax，即 241cbycy1 2221 321 bFSPF 即 的面积只与椭圆的短轴长有关21(法 2)设 ， ， ， ，mn212FP21则 0(1)在 中，由正弦定理得21FP60sinisincm i2i ，anm ，60si2isc21 / 22 2cossin260isn60ace12cos当且仅当 时等号成立故椭圆离心率的取值范围是 )1,2e(2)在 中
24、，由余弦定理得：21FP60cos)(mnc23)( ，anm2 ，即 c42234)(bcamn 2360si21bSFP即 的面积与椭圆短轴长有关1说明：椭圆上的一点 与两个焦点 ， 构成的三角形为椭圆的焦点三角P1F2形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理解题中通过变形，使之出现 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到21F有关 ， 的关系式，使问题找到解决思路ac典型例题二十例 20 椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存12byax)0(xA在点 ，使 ( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围PAOe分析： 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，PPAPO转化为 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个abc不等式，转化为关于 的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程e解：设椭圆的参数方程是 ，sincobyax)0(22 / 22则椭圆上的点 ， ，)sin,co(baP)0,(aA ， ，AO1i即 ，解得 或 ，0coss)( 222babacos2sba （舍去） ， ，又1co112ba22c ，20a ，又 ， e1e12e说明：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使),( P如何证明？APOA
