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1、概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 . 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现

2、。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含 A，记为 或 。 BA相等关系：若 且 ，则称事件 A 与事件 B 相等，记为 AB。B事件的和：“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A 与事件 B 的和事件。记为 AB。事件的积：称事件“事件 A 与事件 B 都发生”为 A 与 B 的积事件，记为 A B 或 AB。事件的差：称事件“事件 A 发生而事件 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件,记为 AB。用交并补可以表示为 。互斥事件：如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB，则称事件 A 与事

3、件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时 可记为 AB。对立事件：称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件（逆事件） ，记为 。对立事件的性质：。,事件运算律：设 A，B，C 为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA（2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB) (AC)= ABAC（4）对偶律（摩根律）： BABA第二节 事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)0；（2）规范性：P()1（3）可数可加性： 两两不相容时 nA21 )()()( 2121 nn APPAP概率的性质：（

4、1）P()0（2）有限可加性： 两两不相容时nA21 )()()( 2121 nn PPAP当 AB= 时 P(AB)P(A)P(B)（3） )()(（4）P(AB)P(A)P(AB)（5）P（AB）P(A)P(B) P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验 E 是古典概型, 其样本空间 由 n 个样本点组成 ,事件 A 由 k 个样本点组成.则定义事件 A 的概率为 nkP)(2、几何概率：设事件 A 是 的某个区域，它的面积为 (A)，则向区域 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为 )(A假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件 A 的概率仍可用上式确定，只不过把 理解

5、为长度或体积即可. 第四节 条件概率条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)(|(PA乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式：设 是一个完备事件组，则 P(B)=P( )P(B| )n,21 iAi贝叶斯公式：设 是一个完备事件组,则A)|()()|( jjiiii BPBPA第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件 A、B 满足 P(AB)= P(A) P(B)，则称 A、B 独立，或称A、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件 A、B、C，若 P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)=

6、 P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称 A、B、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件 A、B、C，若 P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称 A、 B、C 两两独立独立的性质：若 A 与 B 相互独立，则 与 B，A 与 ， 与 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正

7、确理解并应用于概率的计算。第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数：设 X 是一个随机变量， x 为一个任意实数，称函数 为 X 的分)(xPxF布函数。如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示 X 落在区间 内的概率,(x分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3） 1)(,0)(第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设 (k=1,2, )是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称 kx为离散型随机变量 X 的分布律，也称概率分布.kpxXP当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。分布律的性质：（1） ；（

8、2）10k 1kp离散型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量 X 的分布律，求 X 的分布函数；xkkPxF)()(（2）已知随机变量 X 的分布律 , 求任意随机事件的概率；（3）已知随机变量 X 的分布函数，求 X 的分布律)0()kkkFxP三种常用离散型随机变量的分布：1.（01）分布：参数为 p 的分布律为 pXPp10,12.二项分布：参数为 n，p 的分布律为 ， 。例knknC)(n,2如 n 重独立重复实验中，事件 A 发生的概率为 p，记 X 为这 n 次实验中事件 A 发生的次数，则 XB（n，p）3.泊松分布：参数为 的分布率为 ， 。例如记 X 为某段ekP!,21

9、0事件内电话交换机接到的呼叫次数，则 XP （）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度 f(x)的性质（1）f(x)0（2） ，1)(dxf 0)(adxfXP（3） badxfXaPbbbaP )(（4） xfFxf )()(,)(连续型随机变量的概率计算：（1）已知随机变量 X 的密度函数，求 X 的分布函数； xdfF)()(（2）已知随机变量 X 的分布函数，求 X 的密度函数； f（3）已知随机变量 X 的密度函数 , 求随机事件的概率； baxfXaP)(（4）已知随机变量 X 的分布函数，求随机事件的概率； F三种重要的连续型分布：1均匀分布：密度函数 ，记为 XUa，b.

10、elsbxabxf01)(2. 指数分布：密度函数 ，记为 XE（）)(xf3. 正态分布：密度函数 ，记为2)(1)(exf ),(2NN（0，1）称为标准正态分布 .标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率. )()()( abaFbXaP第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。 )()()()( yGFXPygyYPFY 第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数

11、 ，表示随机点落在以（x ，y）为顶点的左下无,),(yYyx穷矩形区域内的概率。联合分布函数的性质：（1）分别关于 x 和 y 单调不减；（2）分别关于 x 和 y 右连续；（3）F (- , y ) = 0,F ( x ,- ) =0,F(-,-) = 0F ( + ,+ ) = 1第二节 二维离散型随机变量联合分布律： ijjipyYxXP,联合分布律的性质： ；0ijp1iji第三节 二维连续性随机变量联合密度： yxduvfxF),(),(联合密度的性质： ； ；0f 12RxyDdxyfyxP),(),(第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；

12、二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性独立性判断：（1）若 取值互不影响，可认为相互独立；YX,（2）根据独立性定义判断 )(),(yFxyYX离散型可用 jiijp连续型可用 )(),(yfxyfYX独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算 ，kpxEXkkpxgXE)()(连续型随机变量数学期望的计算 ，df)(df方差的计算： ，2)(DX)(2D数学期望的性质（1）E (C ) = C（2）E (CX ) = CE (X )（3）E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )（4）当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )方差的性质（1）D (C) = 0（2）D (CX ) = D(X)2C（3）若 X ,Y 相互独立，则 D ( X Y ) = D ( X ) + D (Y )常见分布的数学期望和方差两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布