1、温馨杂草屋 http:/ 第 1 页(2012 年 1 月最新最细）2011 全国中考真题解析 120 考点汇编压轴题 241.（2011 黑龙江大庆，28，8 分）二次函数：y=ax 2bx+b（a0，bo）图象顶点的纵坐标不大于 （1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；（2）若该二次函数图象与 x 轴交于 A，B 两点，求线段 AB 长度的最小值考点：抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性质。分析：（1）先求出 y=ax2bx+b（a0，b0）的顶点的纵坐标，根据题意得出3，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；（2）设 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （x 1x 2）
2、，则 x1、x 2 是方程 ax2bx+b=0 的两根，由求根公式得出 x1、x 2，根据 AB=|x2x1|求出线段 AB 长度的最小值解答：解：（1）由于 y=ax2bx+b（a0，b0）图象的顶点的纵坐标为 ，则 ，得 3，该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是不小于 3；（2）设 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （x 1x 2）则方程 ax2bx+b=0 的两根，得 x1= ，x 2= ，从而 AB=|x2x1|=温馨杂草屋 http:/ 第 2 页= ab4)(2= )(2由（1）知 6由于当 6 时，随着 的增大， 也随着增大，4)2(ab所以 =6 时，线段 AB 长度的最
3、小值为 2 点评：本题是一道综合性的题目，考查了抛物线与 x 轴的交点问题以及二次函数的性质，是中考压轴题，难度较大42. （2011郴州）如图，在平面直角坐标系中， A、B 两点的坐标分别是（0，1）和（1，0） ，P 是线段 AB 上的一动点（不与 A、B 重合） ，坐标为（m，1 m） （m 为常数） （1）求经过 O、P 、B 三点的抛物线的解析式；（2）当 P 点在线段 AB 上移动时，过 O、P、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着 P 的移动而改变；（3）当 P 移动到点（ ）时，请你在过 O、P、B 三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与 P、B 两点构成等腰三角形，并求出这
4、两点的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B 点，P 点可列出方程求出温馨杂草屋 http:/ 第 3 页a，b 的值确定解析式；（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；（3）可作出对称轴与 x 轴的交点为 K，过 K 点作 PB 的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，因为抛物线过原点 O（0，0） 所以 c=0，所以 y= x2+ x；（2）由（1）可知抛物线的对称轴是 x= = 所以它不会随 P 的移动而改变；（3）点 O（0，0）可满足设抛物线的对称轴与 x 轴交于 K，过
5、 K 作 PB 的垂直平分线交抛物线于 Q1，Q 2 两点，则Q1PB， Q2PB 是等腰三角形因为 P 点的坐标是（ ， ） 所以 Q1Q2 的解析式是：y=x ，抛物线的解析式为：y=2x 2+2x所以直线和抛物线的交点 Q1，Q 2 两点的坐标是（ ， ） ， （ ， ） 温馨杂草屋 http:/ 第 4 页点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标43. （ 2011湘西州）如图抛物线 y=x22x+3 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点C（1）求点 A、点 B 和点 C 的坐标（2）求直线
6、AC 的解析式（3）设点 M 是第二象限内抛物线上的一点，且 SMAB=6，求点 M 的坐标（4）若点 P 在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 运动（不与 B，A 重合） ，同时，点 Q 在射线 AC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 A 向 C 运动设运动的时间为 t 秒，请求出APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求出当 t 为何值时， APQ 的面积最大，最大面积是多少？温馨杂草屋 http:/ 第 5 页考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）令 y=0 求得抛物线与横轴的交点坐标，令 x=0 求得图象与 y 轴的交点坐标即可（2）利用已知的两点的坐标根据
7、待定系数法求得一次函数的解析式即可（3）设出点 M 的坐标为（x，x 22x+3） ，然后表示出其面积=6，解得即可（4）证明BNPBEO，由已知令 y=0 求出点 E 的坐标，利用线段比求出 NP，BE 的长求出 S 与 t 的函数关系式后利用二次函数的性质求出 S 的最大值解答：（1）令x 22x+3=0， （x+3） （x1）=0，x 1=3，x 2=1，A（3， 0）B （1，0） ，C（ 0，3） ；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ，解之得 ，y=x+3；（3）设 M 点的坐标为（x，x 22x+3） ，AB=4，因为 M 在第二象限，所以x 22x+30，
8、温馨杂草屋 http:/ 第 6 页所以 =6，解之，得 x1=0，x 2=2，当 x=0 时，y=3， （不合题意）当 x=2 时，y=3所以 M 点的坐标为（2，3） ；（4）由题意，得 AB=4，PB=4 t，AO=3，CO=3，ABC 是等腰直角三角形，AQ=2t，所以 Q 点的纵坐标为 t，S= （1t4） ，当 t=2 时，APQ 最大，最大面积是 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果44（2011 西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴
9、上，点 C 为（1，0） 如图所示，B 点在抛物线 y= x2+ x2 图象上，过点 B作 BDx 轴，垂足为 D，且 B 点横坐标为 3（1）求证：BDC COA；（2）求 BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，温馨杂草屋 http:/ 第 7 页求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）首先根据题意推出BCD=OAC，然后 BC=AC，根据全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定 BDCCOA；（2）首先（1）所得的结论，即可推出 OC=BD=1，即可得 B 点的纵坐标，
10、设出直线的函数关系式，把 B，C 两点的坐标代入，求出 k、b，即可推出结论；（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，根据题意推出 P1 点为 BC 与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC 的解析式和抛物线的解析式，即可推出 P1 点的坐标， 以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 AP2BC，设与抛物线的对称轴交于 P2 点，确定点 P2 的位置，由 OA=CD，即可推出 A 点的坐标，根据 AP2BC，即可推出直线 AP2 的的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出 P2 的坐标解答：解：（1）证明：ACBBC，BDCD
11、，BCD=ACO=90，ACO+OAC=90，BCD=OAC，ABC 为等腰直角三角形，BC=AC，在 BDC 和COA 中温馨杂草屋 http:/ 第 8 页BDCCOA（AAS） ，（2）BDCCOA，BD=CO，C 点的坐标为（1，0） ，BD=OC=1，B 点的纵坐标为 1，B 点的横坐标为3，B 点的坐标为（3，1） ，设 BC 所在直线的函数关系式为 y=kx+b， ，解方程组得 ，直线 BC 所在直线的解析式为：y= x ，（3）存在，抛物线的解析式为：y= x2+ x2，y= x2+ x2= （x+ ） 2 ，温馨杂草屋 http:/ 第 9 页二次函数的对称轴为 x= ，若以
12、 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 CP1AC，BCAC，P1 点为直线 BC 与对称轴直线 x= 的交点，直线 BC 所在直线的解析式为：y= x ， ，解得 ，P1 点的坐标为（ ， ） ；若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使 AP2AC，过点 A 作 AP2BC，交对称轴直线 x= 于点 P2，OB=3，OC=1，OA=CD=2，A 点的坐标为（0，2） ，直线 AP2 的解析式为 y= x+2， ，温馨杂草屋 http:/ 第 10 页解得： ，P2 点的坐标为（ ， ） ，P 点的坐标为 P1（ ， ） 、P 2（ ， ） 点评：本题主要考查全等三角形
13、的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出BCD=OAC， （2）根据（1）的结论，推出 B 点的坐标， （3）注意分情况讨论，若以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，推出 P1 点为直线BC 与对称轴直线 x= 的交点，若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，由 A 点的坐标，求出直线 AP2 的解析式45. （2011青海）已知一元二次方程 x24x+3=0 的两根是 m，n 且 mn如图，若抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点 A（m ，0） 、B（0，n） （1）求抛物线的解析式（2）若（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C根据图象回答
14、，当 x 取何值时，抛物线的图象在直线 BC 的上方？（3）点 P 在线段 OC 上，作 PEx 轴与抛物线交与点 E，若直线 BC 将CPE 的面积分成相等的两部分，求点 P 的坐标温馨杂草屋 http:/ 第 11 页考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；抛物线与 x 轴的交点；三角形的面积。专题：计算题。分析：（1）求出方程的解，得到 B、A 的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可；（2）求出 C 的坐标，根据 B、C 的坐标求出即可；（3）设直线 BC 交 PE 于 F，P 点坐标为（a，0） ，则 E 点坐标为（a，
15、a 22a+3） ，根据三角形的面积求出 F 的坐标，设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，把 B、C 的坐标代入求出直线BC，把 F 的坐标代入求出即可解答：解：（1）x 24x+3=0 的两个根为 x1=1，x 2=3，A 点的坐标为（1，0） ，B 点的坐标为（ 0，3） ，又 抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、B （0，3）两点， ，抛物线的解析式为 y=x22x+3，答：抛物线的解析式是 y=x22x+3（2）解：作直线 BC，由（1）得，y= x22x+3，温馨杂草屋 http:/ 第 12 页抛物线 y=x22x+3 与 x 轴的另一个交点为 C，令 x
16、22x+3=0，解得：x 1=1，x 2=3，C 点的坐标为（3，0） ，由图可知：当3x0 时，抛物线的图象在直线 BC 的上方，答：当3x 0 时，抛物线的图象在直线 BC 的上方（3）解：设直线 BC 交 PE 于 F，P 点坐标为（a，0） ，则 E 点坐标为（a，a 22a+3） ，直线 BC 将CPE 的面积分成相等的两部分，F 是线段 PE 的中点，即 F 点的坐标是（a， ） ，直线 BC 过点 B（0.3）和 C（3，0） ，设直线 BC 的解析式是 y=kx+b，代入得： ，直线 BC 的解析式为 y=x+3，点 F 在直线 BC 上，点 F 的坐标满足直线 BC 的解析式
17、，即 =a+3解得 a1=1，a 2=3（此时 P 点与点 C 重合，舍去） ，P 点的坐标是（1，0） ，答：点 P 的坐标是（ 1，0） 温馨杂草屋 http:/ 第 13 页点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与 X 轴的交点，解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键46.（2011 湖南张家界， 25，12）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，0） 、B （2，2） ，连接 OB、AB ，（1）求该抛物线的解析式（2）求证：OAB 是等腰直角三角形（3）将OAB 绕点 O 按逆时针方向
18、旋转 135，得到OAB，写出 AB的中点 P 的坐标，试判断点 P 是否在此抛物线上（4）在抛物线上是否存在这样的点 M，使得四边形 ABOM 成直角梯形，若存在，请求出点 M 坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）将 A（4，0） 、B（ 2，2）代入抛物线解析式 y=ax2+bx，列方程组求 a、b 的温馨杂草屋 http:/ 第 14 页值即可；（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；（3）根据OAB 的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求 A、B的坐标，根据中点坐标公式求 P 的坐标，代入抛物线解析式进行
19、判断；（4）存在过点 O，作 OMAB 交抛物线于点 M，根据 OAB 为等腰直角三角形，可求直线 OM 的解析式，与抛物线解析式联立，可求 M 点坐标，同理，过点 A，作 AMOB交抛物线于点 M，联立方程组可求 M的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解解答：解：（1）由 A（4，0） 、B（ 2，2）在抛物线 y=ax2+bx 图象上，得： （2 分）)()2(0ba解之得： 1该函数解析式为： （4 分）2yx（2）过点 B 作 BC 垂直于 X 轴，垂足是点 C （6 分）y= = （x+2） 2+2，21yx线段 CO、CA、CB 的长度均为 2，
20、ABC 和OBC 为全等的等腰直角三角形，AB=OB且ABO=ABC+ OBC=90OAB 是等腰直角三角形（8 分）（3）如图，将OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 135，得到OAB其中点 B正好落在 y 轴上且 BAx 轴又 OB和 AB的长度为 ，2AB中点 P 的坐标为 ，显然不满足抛物线方程，),(点 P 不在此抛物线上（10 分）温馨杂草屋 http:/ 第 15 页（4）存在（11 分）过点 O，作 OMAB 交抛物线于点 M易求出直线 OM 的解析式为：y=x联立抛物线解析式得： xy21解之得点 M（ 6，6） ，显然，点 M（ 6，6）关于对称轴 x=2 的对称点 M（2
21、， 6）也满足要求，故满足条件的点 M 共有两个，坐标分别为（6， 6）和（ 2，6） = 42+ 46=16 （12 分）sSsAOBABO21（注：此题方法较多，只要合理均可给分）点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式确定图形的特殊性47.（2011 株洲 ,24， ）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得 OA=OB=2 （如图 1） ，求 a 的值；2温馨杂草屋 http:/ 第
22、16 页（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BFx 轴于点 F，测得 OF=1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标 4 ；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题；压轴题。分析：（1）先求出 B 点坐标，代入抛物线 y=ax2（a 0）得 a 的值；（2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，可证AEOOFB，得出 AE=2OE，可得方程点 A 的横坐标（3）设 A（m ，- ） （m 0） ，B（n，-
23、） （n0） ，易知AEOOFB，根据相2121似三角形的性质可知交点 A、 B 的连线段总经过一个固定的点（0，2） 解答：解：（1）设线段 AB 与 y 轴的交点为 C，由抛物线的对称性可得 C 为 AB 中点，OA=OB=2 ，AOB=90，AC=OC=BC=2，B（2，2） （2 分）2将 B（2，2）代入抛物线 y=ax2（a0）得，a=- （3 分）1（2）解法一：过点 A 作 AEx 轴于点 E，温馨杂草屋 http:/ 第 17 页点 B 的横坐标为 1，B（1，- ） ， （4 分）2BF= 又AOB=90，易知 AOE=OBF，2又AEO= OFB=90，AEOOFB， ，
24、AE=2OE（5 分）21BFOEA设点 A（m，- ） （m0 ） ，则 OE=m，AE= ，2 21m =2m，m=4 ，即点 A 的横坐标为4 （6 分）2解法二：过点 A 作 AEx 轴于点 E，点 B 的横坐标为 1，B（1，- ） ， （4 分）2tanOBF= ，FOAOB=90，易知 AOE=OBF， tanAOE=tanOBF=2，AE=2OE（5 分）EA设点 A（m，- ） （m0 ） ，则 OE=m，AE= ，2121m， =2m2m=4，即点 A 的横坐标为4 （6 分）解法三：过点 A 作 AEx 轴于点 E， 点 B 的横坐标为 1，B（1，- ） ， （4 分）
25、2设 A（m，- ） （m0） ，则 OB2=12+( )2= ，2145OA2=m2+ m4， AB2=(1+m)2+(- + )2= ，1mAOB=90AB2=OA2+OB2，(1+m) 2+(- + )2=(1+m)2+(- + )2，1m解得：m=4，即点 A 的横坐标为4 （6 分）温馨杂草屋 http:/ 第 18 页（3）解法一：设 A（m，- ） ） （m 0） ，B（n，- ） （n0） ，2121设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，则 ， （7 分）21nbk（1）n+ （2）m 得，(m+n)b=- (m2n+mn2) b=- mn， （8 分）又易知AEO OFB，
26、 ， ，mn=4（9 分）BFOEA225.0.nmB=- 4=-2.21由此可知不论 k 为何值，直线 AB 恒过点（0，2） （10 分）（说明：写出定点 C 的坐标就给 2 分）解法二：设 A（m， ） （m 0） ，B（n， ） （n0） ，直线 AB 与 y 轴的交点为 C，根据 SAOB=S 梯形 ABFESAOESB0F=SAOC+SBOC，可得，化简，得 （8 分）温馨杂草屋 http:/ 第 19 页又易知AEO OFB， ， ，mn=4（9 分）OC=2 为固定值故直线 AB 恒过其与 y 轴的交点 C（0，2） （10 分）说明：mn 的值也可以通过以下方法求得由前可知，
27、 ， ，由 OA2+OB2=AB2，得：，化简，得 mn=4本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出 mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度温馨杂草屋 http:/ 第 20 页48.（2011 湖南湘潭市，26，10 分）已知，AB 是O 的直径， AB=8，点 C 在O 的半径OA 上运动，PCAB，垂足为 C，PC=5，PT 为 O 的切线，切点为 T（1）如图（1），当 C 点运动到 O 点时，求 PT 的长；（2）如图（2），当 C 点运动到 A 点时，连接 PO、BT ，求证：POBT ；（
28、3）如图（3），设 PT2=y，AC=x，求 y 与 x 的函数关系式及 y 的最小值考点： 切线的性质；二次函数的最值；勾股定理专题： 计算题分析： （1）连接 OT，根据题意，由勾股定理可得出 PT 的长；（2）连接 OT，则 OP 平分劣弧 AT，则AOP=B，从而证出结论；（3）设 PC 交O 于点 D，延长线交 O 于点 E，由相交线定理，可得出 CD 的长，再由切割线定理可得出 y 与 x 之间的关系式，进而求得 y 的最小值解答： 解：（1）连接 OTPC=5，OT=4 ，由勾股定理得，PT= = 3；2PCT（2）证明：连接 OT，PT，PC 为O 的切线，OP 平分劣弧 AT
29、，温馨杂草屋 http:/ 第 21 页POA=POT，AOT=2B，AOP=B，POBT；（3）设 PC 交O 于点 D，延长线交 O 于点 E，由相交线定理，得 CD2=ACBC，AC=x，BC=8-x，CD= ，(8)x由切割线定理，得 PT2=PDPE，PT2=y，PC-5，y=5- 5+ ，(8)x(8)xy=25-x（8-x）=x 2-8x+25，y 最小 = =91064点评： 本题是一道综合题，考查了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中考压轴题，难度较大 49.（2011 湖南益阳,21,12 分）如图是小红设计的钻石形商标，ABC 是边长为 2 的等边三角形，四
30、边形 ACDE 是等腰梯形，ACED ，EAC=60，AE=1（1）证明：ABECBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形） ；（3）小红发现 AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段 BD 的长温馨杂草屋 http:/ 第 22 页考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质专题：证明题分析：（1）由ABC 是等边三角形，得 AB=BC， BAC=BCA=60，由四边形 ACDE 是等腰梯形，得 AE=CD，ACD=CAE=60，利用“SAS”判定 ABECB
31、D；（2）存在可利用 ABCD 或 AEBC 得出相似三角形；（3）由（2）的结论得 = =2，即 CN= AC，同理，得 AM= AC，可证NCBD1313AM=MN=NC；（4）作 DFBC 交 BC 的延长线于 F，在 RtCDF 中，由 CDF=30，CD=AE=1，可求CF，DF，在 RtBDF 中，由勾股定理求 BD解答：（1）证明：ABC 是等边三角形，AB=BC，BAC=BCA=60 （1 分）四边形 ACDE 是等腰梯形，EAC =60，AE=CD，ACD= CAE=60，BAC+CAE=120=BCA+ACD，即BAE=BCD （2 分）在ABE 和BCD 中，AB=BC，
32、BAE= BCD，AE=CD，ABECBD （3 分）（2）存在答案不唯一如ABNCDN温馨杂草屋 http:/ 第 23 页证明：BAN=60= DCN，ANB =DNC，ANBCND （5 分）其相似比为： = =2；（6 分）ABCD21（3）由（2）得 = =2，NCN= AN= AC， （8 分）1同理 AM= AC，3AM=MN=NC （9 分）（4）作 DFBC 交 BC 的延长线于 F，BCD=120，DCF=60 （ 1O 分）在 RtCDF 中，CDF=30 ，CF= CD= ，2DF= = = ； （11 分）2CDF21()3在 RtBDF 中，BF=BC+ CF=2+
33、 = ，DF= ，52BD= = = （12 分）2BFD223()7温馨杂草屋 http:/ 第 24 页点评：本题考查了相似三角形全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题50.（2011 吉林长春，26，10 分）如图，C=90，点 AB 在 C 的两边上，CA=30，CB=20，连接 AB点 P 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿 BC 方向运动，到点 C 停止当点 P 与 BC 两点不重合时，作 PD 丄 BC 交 AB 于 D，作 DE 丄 AC 于E，F 为射线
34、 CB 上一点，且 CEF=ABC设点 P 的运动时间为 x（秒） （1）用含有 x 的代数式表示 CE 的长（2）求点 F 与点 B 重合时 x 的值（3）当点 F 在线段 CB 上时，设四边形 DECP 与四边形 DEFB 重叠部分图形的面积为y（平方单位） 求 y 与 x 之间的函数关系式（4）当 x 为某个值时，沿 PD 将以 DEF B 为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形请直接写出所有符合上述条件的 x值考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质分析：（1）首先证明ABCDBP FEC，即可得出比例式进而得出表示 CE 的
35、长；（2）根据当点 F 与点 B 重合时，FC= BC，即可得出答案；（3）首先证明 RtDOERtCEF，得出 ，即可得出 y 与 x 之间的函数关系式；DOCEF（4）根据三角形边长相等得出答案温馨杂草屋 http:/ 第 25 页解答：解：（1）PDBC， DEAC，且 C=90，四边形 DECP 为矩形，DE=PC，DP =EC，又CEF= ABC，ABCDBPFEC， ，FCDPAEBCA=30，CB=20 ，BP=4x ， ，3042FC=9x，DP=EC=6 x（2）当点 F 与点 B 重合时，FC= BC，FC=BC，9x=20，解得：x= ，20（3）当 x 时，19矩形 D
36、ECP 中 DPEC，DOE=FEC，RtDOERtCEF， ，DOCEF ，62049xDO= （204 x） ，3S= DODE= （204x） （20 4x）= （204x） 2；1213（4）x= ，x = ，x = 0975温馨杂草屋 http:/ 第 26 页点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和矩形的性质与判定，根据题意得出ABCDBP FEC 以及 RtDOERtCEF 是解决问题的关键51.（2011 江西， 25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正
37、方形叫做三角形的内接正方形结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）分别画一下即可得出答案；温馨杂草屋 http:/ 第 27 页（
38、2）先判断，再举一个例子；例如：在 RtABC 中，B=90 ，AB=BC=1 ，则 2AC（3）先判断，再举一个例子：设ABC 的三条边分别为 a，b，c，不妨设 abc，三条边上的对应高分别为 ha，h b，h c，内接正方形的边长分别为 xa，x b，x c解答：解：（1）1，2，3 （3 分）（2）乙同学的结果不正确 （4 分）例如：在 RtABC 中， B=90，AB=BC=1，则 2AC如图 ，四边形 DEFB 是只有一个顶点在斜边上的内接正方形设它的边长为 a，则依题意可得： ， ，1a12a如图 ，四边形 DEFH 两个顶点都在斜边上的内接正方形设它的边长为 b，则依题意可得：
39、 ， 2b23ab （7 分）（3）丙同学的结论正确设ABC 的三条边分别为 不妨设 ，三条边上的对应高分别为 ，内接,abcabc,abch正方形的边长分别为 .,abcx依题意可得： ， .同理 .ahahxbhx212()2abab ababbabSx SShh = 2abSa= 21()abShb= aabh又 ， ，,h10ab ，即 .abx2abx温馨杂草屋 http:/ 第 28 页在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键52.（2011
40、 年江西省，25，10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（090）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上活动一：如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A2为第 1 根小棒数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“ 不能”）（2）设 AA1=A1A2=A2A3=1= 22.5 度；若记小棒 A2n-1A2n 的长度为 an（n 为正整数，如 A1A2=a1，A 3A4=a2，），求出此时a2，a 3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示）活动二：如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次
41、向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根小棒，且A1A2=AA1数学思考：（3）若已经向右摆放了 3 根小棒，则 1= 2， 2= 3， 3= 4（用含 的式子表示）； （4）若只能摆放 4 根小棒，求 的范围温馨杂草屋 http:/ 第 29 页考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；平行线的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形专题：规律型分析：（1）本题需先根据已知条件BAC=（090）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去（2）本题需先根据已知条件 AA1=A1A2=A2A3=1，A 1A2A2A3，得出 A2A3 和 AA3 的值，判断出 A1A2A3A4、A 3
42、A4A5A6，即可求出A=AA 2A1=AA4A3=AA6A，从而此时 a2，a 3的值和出 an（3）本题需先根据 A1A2=AA1，得出A 1AA2 和 AA2A1 相等，即可得出 1 的值，同样道理得出 2、 3 的值（4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出 的取值范围，即可得出正确答案解答：解：（1）根据已知条件BAC=（090）小棒两端能分别落在两射线上，小棒能继续摆下去（2）A 1A2=A2A3，A 1A2A2A3，A2A1A3=45AA2A1+=45AA2A1=温馨杂草屋 http:/ 第 30 页=22.5AA1=A1A2=A2A3=1，A 1A2A2A3A2A3= ，
43、AA3=1+ 又 A2A3A3A4A1A2A3A4同理；A 3A4A5A6A=AA2A1=AA4A3=AA6A5AA3A3A4，AA 5=A5A6a2=A3A4=AA3=1+ a3AA3+A3A5=a2+A3A5A3A5= a3=A5A6=AA5=a2 + a2= 2(1)an= 1()n（3）A 1A2=AA1A1AA2=AA2A1=A2A1A3=1=+1=2同理可得： 2=3 3=4（4）由题意得：90561518。点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键53.（2011 辽宁沈阳，25，？）如图，已知抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（A
