1、1行 程 问 题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程） 。具体题型变化多样，形成 10 多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型 追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差 “火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题” ，基本数量关系如下： 速度时间=路程 ；路程时间=速度 ； 路程速度=时间。注意总行程的平均
2、速度的算法：平均速度=总路程总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以 2。行 程 问 题 涉 及 的 变 化 较 多 ， 有 的 涉 及 一 个 物 体 的 运 动 ， 有 的 涉 及 两 个 物体 的 运 动 ， 有 的 涉 及 多 个 物 体 的 运 动 。 涉 及 两 个 物 体 运 动 的 ， 又 有 “相 向运 动 ”（ 相 遇 问 题 ） 、 “同 向 运 动 ”（ 追 及 问 题 和 领 先 问 题 ） 和 “相 背 运 动 ”（ 相 离 问 题 ） 三 种 情 况 。 但 归 纳 起 来 ， 不 管 是 “一 个 物 体 的 运 动 ”还 是“两 个 物 体 的 运 动 ”，
3、 不 管 是 “相 向 运 动 ”、 “同 向 运 动 ”， 还 是 “相 背 运 动 ”，他 们 的 特 点 是 一 样 的 ， 具 体 地 说 ， 就 是 它 们 反 映 出 来 的 数 量 关 系 是 相 同 的 ，都 可 以 归 纳 为 ： 速 度 时 间 =路 程 （ 路程时间=速度，路程速度=时间） 。在 各 类 行 程 问 题 中 进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗” ，希望学习者能深入理解其中包含
4、的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。相 向 而 行 的 公 式 ： 相 遇 时 间 =距 离 速 度 和 。 相 背 而 行 的 公 式 ： 相 背 距离 =速 度 和 时 间 。 追 及 问 题 的 公 式 ： 速 度 慢 的 在 前 ， 快 的 在 后 。 追 及 时 间 =追 及 距 离 速 度 差 。 在 环 形 跑 道 上 ， 速 度 快 的 在 前 ， 慢 的 在 后 。 追 及 距 离=速 度 差 时 间 （ 例 如 求 环 形 跑 道 的 长 度 ） 。 追 及
5、 距 离 时 间 =速 度 差 ， 追及 距 离 速 度 差 =时 间 。 “火 车 过 桥 问 题 ”、 “流 水 行 船 问 题 ”、 用 行 程 问 题 结合 图 形 知 识 解 答 的 “钟 表 问 题 ”是 几 类 较 特 殊 的 行 程 问 题 ， 在 解 题 时 更 要 注意 具 体 问 题 具 体 分 析 。要 正 确 的 解 答 有 关 “行 程 问 题 ”的 应 用 题 ， 必 须 弄 清 物 体 运 动 的 具 体 情况 。 如 运 动 的 方 向 （ 相 向 ， 相 背 ， 同 向 ） ， 出 发 的 时 间 （ 同 时 ， 不 同 时 ） ，2出 发 的 地 点 （
6、同 地 ， 不 同 地 ） ， 运 动 的 路 线 （ 封 闭 ， 不 封 闭 ） ， 运 动 的 结 果（ 相 遇 、 相 距 多 少 、 交 错 而 过 、 追 及 ） 。 两 个 物 体 运 动 时 ， 运 动 的 方 向 与 运 动 的 速 度 有 着 很 大 关 系 ， 当 两 个 物 体“相 向 运 动 ”或 “相 背 运 动 ”时 ， 此 时 的 运 动 速 度 都 是 “两 个 物 体 运 动 速度 的 和 ”（ 简 称 速 度 和 ） ， 当 两 个 物 体 “同 向 运 动 ”时 ， 此 时 两 个 物 体 的追 及 的 速 度 就 变 为 了 “两 个 物 体 运 动 速
7、 度 的 差 ”（ 简 称 速 度 差 ） 。 当 物 体 运 动 有 外 作 用 力 时 ， 速 度 也 会 发 生 变 化 。 如 人 在 赛 跑 时 顺 风 跑 和逆 风 跑 ； 船 在 河 中 顺 水 而 下 和 逆 水 而 上 。 此 时 人 在 顺 风 跑 时 运 动 的 速 度 就 应该 等 于 人 本 身 运 动 的 速 度 加 上 风 的 速 度 ， 人 在 逆 风 跑 时 运 动 的 速 度 就 应 该 等于 人 本 身 的 速 度 减 去 风 的 速 度 ； 我 们 再 比 较 一 下 人 顺 风 的 速 度 和 逆 风 的 速 度会 发 现 ， 顺 风 速 度 与 逆
8、风 速 度 之 间 相 差 着 两 个 风 的 速 度 ； 同 样 比 较 “顺 水而 下 ”与 “逆 流 而 上 ”， 两 个 速 度 之 间 也 相 差 着 两 个 “水 流 的 速 度 ”。 所谓 “逆 水 行 舟 ， 不 进 则 退 ”就 是 这 个 道 理 。1、相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行” ，注意关键词“相向” ，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解图示:甲 乙甲从 A 地出发 乙 从 B 地出发关系式：相遇时间=总路程 速 度 和 总路程= 速 度 和 相遇时间典型例题：两港相距 168 千米，一艘客轮和一艘货轮
9、同时从两港相对开出，客轮每小时行 24 千米，货轮每小时行 18 千米，几小时后两艘轮船相距 21 千米？甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行52 千米，两车在离中点 16 千米处相遇。东西两地相距多少千米？A、B 两地相距 470 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 40 千米的速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了 230 千米。问：乙车比甲车早出发几小时？甲、乙两车的速度比是 3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点 6 千米处相遇，求两地相距多少千米？解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间
10、路程的一半为 X，则= ， 解 比 例 得 X=42， 422=84 千米即为两地间的距离。6x436 千米解法（二）：甲 乙3中点从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差 6 千米到达中点，乙已经过了中点 6千米，甲和乙的路程差是 6 千米的两倍，如果将两地间距离成看成 3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份” 。则有 62 =84 千 米 。3多人相遇问题：（解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。（解决
11、此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后 1 分 钟 遇 到 丙 ， 再 过 3 分 钟 第 二 次 遇 到 乙 。44已 知 乙 的 速 度 是 甲 的 ， 湖 的 周 长 是 600 米 ， 求 丙 的 速 度 。32多次相遇问题： 甲乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲每小时行 75 千米，乙每小时行65 千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达 B、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时，A、B 两地相距多少千米？一个游泳池长 90
12、米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人游 10 分钟，甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米，二人会相遇几次？（2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行” ， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素图示：甲 出发点 乙A B关系式：相离距离=速 度 和 相背而行的时间典型例题，相遇和相离的综合问题举例：A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地出发开往 B 地，每小时行驶 72 千米，甲车行驶 25 分钟后，乙车从 B 地开往 A地，每小时行驶 28 千米。两车相距 100 千米时，甲车共行驶多长时间？（分析各种情况）2、追及问题和领先问题（1
13、）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”图示：慢者先走出一段距离就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走4快者此时此地追起 追到出发点 注意：追上时一共走出的路程不叫追及距离关系式：追及时间=需要追及的距离速度差；追及距离=速度差追及时间速度差=追及距离所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解决问题。速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。典型例题：晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走 60 米，所以他先从家出发。5 分钟后，爸爸以每分钟 80 米的速度去追小明，经过多少分钟可
14、以追上？A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，9 分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要多少小时？甲乙丙三辆车先后从 A 地开往 B 地。乙比丙晚出发 5 分钟，出发后 45 分钟追上丙；甲比乙晚出发 15 分钟，出发后 1 小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？解法：设数法解题。上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家 4 千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？解法：下图中实线是爸爸
15、从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了 3 个 4 千米的时间，小明只走了 1 个 4 千米，小明所行路程是爸爸所行路程的 ， 相 同 时 间1内 ， 路 程 与 速 度 成 正 比 ， 则小明的速度是爸爸速度的 。4 千米 4 千米爸爸小明家 第一次追上时离家 4 千米 第二次追上时离家 8 千米我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的，从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出 4 千米，小31明行出 4 千米的 （ 同 样 是 根 据 相 同 时 间 内 ， 路 程 与 速 度 成 正 比
16、） ， 小 明 必31须 先 行 出 4 千 米 的 = ， 也 就 是 说 ， 小 明 用 8 分 钟 的 时 间 先 行 出254 = 千 米 。328小 明 先 用 8 分 钟 时 间走 出 4 千 米 的 小 明32爸 爸进 而 我 们 求 出 小 明 的 速 度 是 8= 千 米 /分 钟 ， 小 明 8 点 8 分 从 家 里 出 发 ，381到 爸 爸 二 次 追 上 小 明 时 ， 小 明 共 行 8 千 米 ， 8 =24 分 钟 ， 从 而 求 得 第 二31次 追 上 的 时 间 是 8 点 32 分 。解 题 过 程 ： 4（ 4+8） = 4（1- ） = （ 千 米
17、 ） 1 38 8= （ 千 米 /分 钟 ）3 8 =24（ 分 钟 ） 8+24=32（ 分 ） 答 ： 这时是 8 点 32 分。（2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”图示：慢 者快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发 关系式：领先距离=速度差所用时间，速度差=领先距离所用时间，所用时间=领先距离速度差典型例题：甲 乙 两 人 练 跑 步 ， 甲 跑 步 的 速 度 每 分 钟 比 乙 快 千 米 ， 两 人 从 某 地 同 时503出 发 ， 跑 了 一 段 时 间 后 ， 甲 领 先 乙 200 米 ， 问 此 时 甲 跑 了
18、 多 少 秒 ？小 李 和 老 王 同 时 从 A 地 出 发 去 B 地 ， 小 李 骑 电 动 车 ， 老 王 开 汽 车 ， 2 分钟 后 小 李 在 老 王 的 后 方 0.5 千 米 ， A、 B 两 地 相 距 90 千 米 ， 老 王 用 了 3 个6小 时 到 达 B 地 ， 问 小 李 到 达 B 地 时 ， 老 王 已 经 到 达 B 地 多 长 时 间 了 ？两 辆 汽 车 同 时 从 某 地 出 发 ， 运 送 一 批 货 物 到 距 离 165 千 米 的 工 地 。 甲 车比 乙 车 早 到 48 分 钟 ， 当 甲 车 到 达 时 ， 乙 车 还 距 工 地 24
19、 千 米 。 问 ： 甲 车 行完 全 程 用 了 多 少 小 时 ？注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵活，不能僵化地利用公式。两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行，甲、乙同时出发，10 分钟时，两人与十字路口的距离相等，出发后 100 分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？与“封闭路程”有关的行程问题：注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次
20、相遇共行一个全程；二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。典型例题：在 300 米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑 2 分30 秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？如图，A、B 是圆形跑道的两端，小张在 A 点，小陈在 B 点同时出发，反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点的跑道长 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点跑道长 60 米，求这个圆形跑道的长度。DABc3、 “流水行船”问题：解答这类问题的要素有下列几点：船行使时本身的速度（简称船速） 、水流速度（简称水速） 、顺流速度、逆流速度；航程（船行驶的路程
21、） 、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。基本关系式如下：顺流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了）顺流速度=逆流速度+ 2水速 逆流速度=顺流速度-2水速船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）= （顺流速度+逆流速度） 2水 速 =（顺流速度 - 逆流速度） 2典 型 例 题 ：一 位 少 年 短 跑 选 手 ， 顺 风 跑 90 米 用 了 10 秒 钟 ， 在 同 样 的 风 速 下 ， 逆 风跑 70 米 ， 也 用 了 10 秒 钟 。 问 ： 在 无 风 的 情 况 下 ， 他 跑 100 米 用 多 长 时 间
22、？一艘轮船顺流航行 105 千米，再逆流航行 120 千米，共用 12 小时；若顺流7航行 60 千米，再逆流航行 132 千米，共用 15 小时。如果先顺流航行 120 千米，再逆流航行 120 千米回到始点，最短需要多少小时？4、 “火车过桥”问题解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通过大桥所经过的路程：从火车头接触桥的一端开始，到火车尾离开桥的另一端。如下图，我们可以这样理解此一问题：火车“完全”通过大桥所经过的路程也就是火车尾在车头上桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程，也就是“火车的长度+桥的长度” ，然后利用 路程（桥的长度 +火车的长度）= 速度（也就是火车的速度）过桥时间
23、。图示：火车上桥时 车尾还在距离车头火车下桥是指一个车长的位置 车尾离开桥桥 长由此可见，火车过桥所经过的路程也就是图中车尾经过的路程即火车的长度+桥的长度！典型例题：一座大桥长 3400 米，一列火车通过大桥时每分钟行 800 米，从车头上桥到车尾下桥共需 4.5 分。这列火车长多少米？一 列 火 车 车 身 长 200 米 ， 用 15 秒 开 过 每 小 时 4 千 米 的 同 方 向 行 走 的 步行 人 甲 ， 而 用 12 秒 开 过 骑 自 行 车 的 人 乙 ， 那 么 乙 每 小 时 行 多 少 千 米 ？某特训纵队以 7 千米/时的速度行进，队尾的通讯员以 11 千米/时的
24、速度赶到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用 0.22 小时，求这支队伍的长度。5、 “钟表问题”首先需要说明的是，研究钟表时间的数学问题钟表问题不一定都能用行程问题的思想来解答，但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及或领先模式。同学们都有这样一个基本常识，钟表的时针、分针和秒针都是做同一方向运动的（当然是顺时针方向） ，而且显然秒针走的最快，而时针走的最慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度数等问题来进行研究的。钟面上有 12 个数字（1 到 12）对应 1 点到 12 点，每个数字间都有 5 个小格，这样，125=60 个小格，对应分针走 60 分
25、钟是一个小时。以小格来计算，时针每小时走 5 小格，分针每小时走 60 小格（刚好走一个圆周） ，时针的速度是分针的 ， 分 针 每 分 钟 比 时 针 多 走 1- = 小 格 ， 在 计 算 分 针 与 时 针 夹22角 时 ， 我 们 更 可 以 根 据 圆 周 角 =360 度 ， 分 针 每 小 时 走 完 一 个 圆 周 ， 每 份 钟走 36060=6（ 度 ） 对 应 上 面 提 到 的 一 小 格 ， 时 针 每 小 时 走 30 度 ， 所8以 时 针 每 分 钟 走 了 3060=0.5（ 度 ） ， 分 针 每 分 钟 比 时 针 多 走 6-0.5=5.5（ 度 ）
26、， 这 个 度 数 差 也 就 是 我 们 解 决 钟 表 问 题 经 常 用 到 的 “速 度 差 ”典 型 例 题 ：6 时 整 时 ， 时 针 与 分 针 反 方 向 成 一 条 直 线 ， 下 一 次 时 针 与 分 针 反 向 成一 条 直 线 时 是 几 时 几 分 ？图 示 ：小明晚上 6 点钟开始做作业，一直到时针与分针第二次成直角时，作业正好做完，小明做作业花了多少时间？一个旧时钟，时针和分针每隔 66 分钟重合一次，如早上 7 点将时钟对准，到第二天早晨时钟的时针再次指向 7 点时，实际是几点几分？（答案：7点 12 分）钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例：有一块表，每
27、小时比标准时间慢一分钟，中午 12 时调准，下午慢钟指到 6 时时，标准时间是下午几时几分？这个问题，可以根据“问题表”的指针速度不变，看作钟表与标准时间成正比例来解答6、一般行程问题升学考试中即便考到“一般”行程问题，也不会很直接地给出已知条件，也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间” 、 “速度” 、 “路程”是需要你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想，应用设数法解题,综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需要注意，具体问题具体分析。典型例题：小王骑摩托车往返 A、B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小时行 42 千米，那么
28、他返回时的平均速度是每小时行多少千米？一辆火车的速度为 121 千米每小时，现有一块每 4 小时慢 2 分钟的表。若用这块表计时，这辆火车的速度是多少？7、注意行程问题中的综合题，举例如下：既涉及相遇又涉及到追及的综合A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，9 分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要多少小时？相遇问题和领先问题 甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。火
29、车 过 桥 问 题 中 有 追 及 和 相 离 的 问 题 一 列 火 车 车 身 长 200 米 ， 用 15秒 开 过 每 小 时 4 千 米 的 同 方 向 行 走 的 步 行 人 甲 ， 而 用 12 秒 开 过 骑 自 行 车 的9人 乙 ， 那 么 乙 每 小 时 行 多 少 千 米 ？行程中有停留的，要具体问题具体分析：绕湖一周是 24 千米，小张和小陈从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时 4 千米的速度走 1 小时休息5 分钟，小陈以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟休息 10 分钟。两人出发多长时间第一次相遇？行程问题结合比的应用，重点题型 甲 乙 分 别 从 A
30、、 C 两 地 同 时 出 发 ， 匀速 相 向 而 行 ， 它 们 的 速 度 比 是 5： 4， 相 遇 于 B 地 后 ， 甲 继 续 以 原 来 的 速 度向 C 地 的 方 向 前 进 ， 而 乙 则 立 即 调 头 返 回 C， 且 乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了， 这 样 ， 当 乙 回 到 C 地 时 ， 甲 刚 好 到 达 离 C 地 18 千 米 处 的 D 地 ， 那 么51A、 C 之 间 的 距 离 是 多 少 千 米 ？之 所 以 将 此 题 列 为 重 点 题 型 ， 原 因 如 下 ： 小 学 六 年 级 分 数 、 比 、 百 分 数 、比 例 是
31、 数 学 知 识 的 重 点 ， 而 结 合 分 数 （ 分 率 ） 、 百 分 数 、 比 和 比 例 的 行 程 问题 较 为 复 杂 、 抽 象 ， 可 以 很 好 地 考 查 同 学 们 综 合 运 用 所 学 知 识 的 思 维 能 力行程问题结合分 数 、 百 分 数 、 比 和 比 例 的 综 合 问 题 典 型 例 题 解 析典 型 例 题 一 ： 一 辆 汽 车 和 一 辆 摩 托 同 时 从 A、 B 两 地 相 对 开 出 。 汽 车 每小 时 行 50 千 米 ， 摩 托 车 的 速 度 是 汽 车 速 度 的 ， 相 遇 后 汽 车 继 续 行 3.2 小54时 到
32、达 B 地 。 A、 B 两 地 相 距 多 少 千 米 ？线 段 图 分 析 ：从 相 遇 点 开 始 ， 到 B 地汽 车 从 A 点 出 发 汽 车 共 用 3.2 小 时相遇时汽车走出“5 份” 相遇时摩托车走出“4 份”A B两车此时相遇 摩托车从 B 点出发解法（一）相遇问题中，同时两地出发，相向而行的两车相遇，相遇时行驶的时间相同，路程比等于速度比（正比例关系） ，则我们算出速度比也就算出了路程比。 1 ： = 5 ： 4， 503.24（5+4）=360 （千米）答：A 、 B 两 地 相 距 360 千 米 。解 法 （ 二 ） 直 接 利 用 “相遇时行驶的时间相同”的原理
33、： 503.2=160（千米）两车相遇地点到 B 点的路程 160（50 ） = 4(小 时 )相 遇 时 摩 托 车 所 用 时 间 ， 也 就 是 相 遇 时 汽 车 所5用 时 间 （ 50+40） 4 = 360（千米）典型例题二：甲乙两人同时从从 A、 B 两 地 出 发 ， 相 向 而 行 ， 出 发 时 他 们10的 速 度 比 是 3 ： 2， 相 遇 后 ， 甲 继 续 向 B 地 走 ， 但 是 速 度 提 高 了 20%， 乙 继续 向 A 地 走 ， 速 度 比 相 遇 前 提 高 了 30%。 这 样 ， 当 甲 到 达 B 地 时 ， 乙 离 A地 还 有 14 千
34、 米 。 那 么 A、 B 两 地 间 的 距 离 是 多 少 千 米 ？线 段 图 分 析 ：甲A B乙此时相遇14 千米解法（一）设数法解题，设甲、乙两人相遇时间是 1 小时，那么也就是甲在相遇前，走完全程的 ， 用 了 1 小 时 ， 则 甲 的 速 度 就 是 每 小 时 行 全 程 的 ， 甲53 53提 速 后 每 小 时 可 以 行 完 全 程 的 （1+20%）= ， 那 么 提 速 后 行 完 剩 下 的53258用 掉 的 时 间 是 = （ 小 时 ） ； 同 理 ， 乙在相遇前，走完全程的 ，52289 2用 了 1 小 时 ，（1+30% ）= （ 乙 提 速 后 的
35、 “速 度 ”） ， 在 甲 从 相 遇 至 到 达 B 地 这 段513时 间 内 ， 乙 走 了 全 程 的 = ， 这 时 离 A 地 还 差 14 千 米 ， 那 么 14 千 米 相 当 与 全 程 的 （ -25394 53） 。1 设甲、乙两人相遇时间是 1 小时 （1+20% ）= =53258218（ 小 时 ）95 （1+30% ） = 14（ - ） =45（ 千 米 ）29543答 ： A、 B 两 地 间 的 距 离 是 45 千 米 。解 法 （ 二 ） 相 遇 时 ， 甲 走 了 “3 份 ”路 程 ， 乙 走 了 “2 份 ”路 程 ， 相 遇 后 甲乙 的 速
36、 度 比 为 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13，从相遇开始，甲到达 B 点还要走“ 2 份 ”路 程 ， 这 是 乙 行 了 21813= “份 ”路 程 。93 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13 21813= （ 3+2） -（ 2+ ） = 14 （ 3+2） =45（ 千9134米 ）典 型 例 题 三 ： 从 甲 地 到 乙 地 的 路 程 分 为 上 坡 、 平 路 、 下 坡 三 段 ， 路 程 全长 是 20 千 米 。 各 段 路 程 之 比 是 1： 2： 3， 某 人 走 这 三 段 路 所 用 时 间 比 是114： 5： 6。 已 知 他 上
37、 坡 时 的 速 度 是 每 小 时 2.5 千 米 ， 则 此 人 从 甲 地 到 乙 地 共需 多 长 时 间 ？线 段 图 分 析 ：2 份1 份 3份解 法 ： 20 = （ 千 米 ） 2.54（4+5+6）=5（小时）310310答：此 人 从 甲 地 到 乙 地 共 需 5 小 时 。典 型 例 题 四 ： 一 辆 汽 车 从 甲 地 开 往 乙 地 ， 如 果 把 车 速 提 高 20%， 可 以 比原 定 时 间 提 前 1 小 时 到 达 ； 如 果 按 原 速 行 驶 120 千 米 后 ， 再 将 速 度 提 高 25%，则 可 提 前 40 分 钟 到 达 。 那 么
38、 甲 、 乙 两 地 相 距 多 少 千 米 ？线 段 图 分 析 及 解 法 ：第 一 种 情 况速 度 提 高 20%， 则 速 度 提 高 到 原 来 的 56则 所 用 时 间 将 是 按 原 速 行 驶 所 用 时 间 的因 为 路 程 一 定 ， 速 度 与 时 间 成 反 比 ， 据 此 我 们 建 立 反 比 例 模 型 ， 设 速 度 为x， 时 间 为 y， 路 程 为 k(路 程 k 一 定 )， 则 有 xy=k, 1+20%= ,( x) (56y)=k,时 间 缩 短 为 按 原 速 行 驶 所 需 时 间 y 的 ， 则 1- 也 就 是 1 小 时 的65 65
39、时 间 所 对 应 的 分 率 。解 题 时 书 写 1+20%= =1 1（ 1- ） =6 小 时 （ 即 按56原 速 行 驶 需 6 小 时 ）第 二 种 情 况 120 千 米速 度 提 高 25%， 则 速 度 提 高 到原 来 的 45则 所 用 时 间 将 是 按 原 速 行 驶 所 用 时 间 的 54与 第 一 种 情 况 同 理 ， 可 以 算 出 按 原 速 行 完 除 去 120 千 米 的 剩 余 部 分 用 小31012时 ， 则 按 原 速 行 驶 120 千 米 所 用 的 时 间 是 6- = （ 小 时 ） ， 由 此 可 以 求3108出 原 速 度 ，
40、 在 根 据 第 一 种 情 况 的 结 论 用 速 度 乘 以 时 间 求 出 全 程 。 解 题 时 书 写 ： 1+25%= =1 40 分 钟 = 小 时 ， （ 1- ） = （ 小4525430时 ） 120（ 6- ） 6=270（千米）3答：甲 、 乙 两 地 相 距 270 千 米 。典 型 例 题 五 ： 如 图 ， 甲 、 乙 分 别 从 A、 C 两 地 同 时 出 发 ， 匀 速 相 向 而 行 ，它 们 的 速 度 比 是 5： 4， 相 遇 于 B 地 后 ， 甲 继 续 以 原 来 的 速 度 向 C 地 的 方 向前 进 ， 而 乙 则 立 即 调 头 返 回
41、 C， 且 乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了 ， 这 样 ， 当 乙51回 到 C 地 时 ， 甲 刚 好 到 达 离 C 地 18 千 米 处 的 D 地 ， 那 么 A、 C 之 间 的 距 离是 多 少 千 米 ？A B C D线 段 图 分 析 及 解 法 ：甲A B C D乙如图，甲 、 乙 相 遇 于 B 点 时 ， 所 行 路 程 AB 与 AC 之 间 的 比 等 于 他 们 的 速 度 比5： 4， 而 当 “乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了 ”后 ， 甲 、 乙 所 行 的 路 程 比 应 是515： 4（1- ） =25： 16， 如 果 我 们 设
42、BC 之 间 的 路 程 为 X 千 米 ， 则 有BD:BC=25： 16,而 BD=BC+CD=BC+18,建 立 比 例 式 后 ， 问 题 迎 刃 而 解 。 解 题 时书 写 ：解 ： 设 BC 之 间 的 路 程 为 X 千 米 。 4（1- ） = 5： =25： 16 (x+18):x=25： 16,解 比 例 得 x=32 324(5+4)=72(千米)答：A 、 C 之 间 的 距 离 是 72 千 米13较复杂的行程问题【名师导航】行程问题是根据速度、时间、路程之间的关系，研究物体运动情况的问题。解决行程问题常用方法有：1、分解。将综合性的题先分解成若干个基本题，再按其所
43、属类型，直接利用基本数量关系解题。2、图示。把题中复杂的情节，通过线段图清楚地表示出来，帮助分析思考。3、简化。对于一些较复杂的问题，解答时可以先退一步，考虑最基本的情况，使复杂的问题简单化，从而找到解题途径。4、挖掘。把题目中隐藏的条件给挖掘出来，特别是对一些关键字眼的仔细推敲，对解题起至关重要的作用。【例题精讲】例题 1、甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行
44、，则相遇地点距 C 点 16 千米甲车原来每小时行多少千米? 解： 方法一：(12+16)5=56 小时， 51.628(千米)，4206=70(千米) 514208AB甲车原来每小时走 (千米)7316方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为 x 千米时，y 千米时，那么 AC=6x，BC=6y，在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组：14,交叉相乘,解得61256xy 304xy即甲原来的速度是每小时 30 千米方法三：设第一次改变速度，甲、乙相遇在 D 点，第二次改变速度，甲、乙相遇在 E 点在第二次相遇中，假设走满 6 小时，甲走到了 C 点，乙则走到了 F 点，FC长：
45、56=30(千米)，FD 长：30-12=18(千米)所以乙提速 5 千米时后，甲、乙速度比为 DC：DF=12：18=2：3同样的，在第三次相遇中，假设走满 6 小时，乙走到了 C 点，甲则走到了 G 点，CG 长：56=30(千米)，EG 长：30-16=14(千米)，所以甲提速 5 千米时后，甲、乙速度比为 EG：CE=14：16=7：8设甲原来速度为 x 千米小时，乙原来速度为 y 千米小时，则23578xy解得 即甲原来的速度为每小时 30 千米304xy例题 2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快两
46、人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰那么甲回到出发点共用多少小时?解：将上山甲、乙速度分别记为 a、b；则下山时甲、乙速度为 1.5a、1.5b15用 h 表示山顶到山脚的距离，由右图知： ，即有 4b=3a0.51hab由左图知： 即 ;得 h=3600 米 6.601.5.7h即山顶到山脚的距离为 3600 米再变回到“甲下山速度是上山速度的 1.5 倍” 由 1 小时后，甲距山脚还有3600-600=3000 米知，甲到山脚还需 3000(4000 15)=O.5 小时所以甲自出发到回到山脚共用 1+0.5=1.5 小时做一做 1、男、女
47、两名田径运动员在长 110 米的斜坡上练习跑步(坡顶为 A，坡底为 B两人同时从 A 点出发，在 A，B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上坡速度是每秒 3 米，下坡速度是每秒 5 米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米?解：开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B 所需时间为 1105=22 秒，此时女运动员才跑了 223=66 米现在女运动员的速度不变，还是每秒 3 米，而男运动员将从 B 上坡到 A，速度变为每秒 3 米男、女运动员的距离为 110-66=44 米，所以当男运动员再跑 44(3+3)3=22 米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距 B 地 22 米，如下图所示(本题 4 图所标注数字均是距坡底 B 的距离数)16所以当女运动员到达坡底 B 时，男运动员又跑了 22 米，即到达距 B 地 44 米的地方，如下图所示此后，女运动员从坡底 B 上坡到 A，速度变为每秒 2 米，男运动员的速度还是每秒 3 米，所以当男运动员再跑 110-44=66 米到达坡顶 A 时，女运动员才跑了 6632=44 米，即距离坡底 B
