1、第 8 章 微分方程与差分方程 8.4 一阶微分方程在经济学中的综合应用 习题解答11某商品的需求函数与供给函数分别为, （其中 均为正常数） 。dQabPscd,abcd假设商品价格 是时间 的函数，已知初始价格 ，且在任一时刻 ，价格 的t 0()Pt()Pt变化率与这一时刻的超额需求 成正比（比例常数为 ） 。ds k求供需相等时的价格 （均衡价格） ；eP求价格 的表达式；()t分析价格 随时间的变化情况。【解】供需相等时的价格，即为满足 的 值，dsQP即由已知得 ，解出 得： 。abPceacbd求价格 的表达式；()t由题设得关系式 ，即为 ，()dskQt()()PkacPt整
2、理得一阶线性微分方程 ，bt其齐次部份 的解为 ，整理得()0dPkt 1ln()kbdtC，()kbdtPCe即设方程 的解为 ，()bdact()kbdtPte将 代入方程 ，()kte()kbact得 ，() () () )bdt dt kbdtCtCeCteac即为 ，积分得 ，()kbdtac()tt即得通解 ，()()tkbdtPe()kbdtace由于初始价格 ，0即有 ，即 ，0acCebd0cPbd0eP即知价格 的表达式为 。()Pt ()()(kbdtet分析价格 随时间的变化情况：第 8 章 微分方程与差分方程 8.4 一阶微分方程在经济学中的综合应用 习题解答2由于
3、，()0()(kbdteePtP得 恒成立，() )0tk知当供求平衡时，价格不变，否则随着时间的增长，价格会不断下降。2已知某种商品的需求价格弹性为 ，其中 为价格， 为需求量，且当1peQQ时，需求量 ，试求需求函数关系。1p1Q【解】设需求函数关系为 ，于是由已知得 ，()p1pe整理得 ，这是一阶线性微分方程，其齐次部分 的解为1pe0Q整理得 ,lnlnQpccQ即设方程 的解为 ，1pe()p代入方程得 ，即为 ，2()()pcce()pce积分得 ，()1)pe知方程 的解为 ，pQ(1)pecQ代入 ， ，得 ，即有 ，1p01c可知所求需求函数关系为 。()1peQ3设某厂生
4、产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数 2 之和，反比于总成本，当产量为 0 时，成本为 1，求总成本函数。【解】 设产量为 x，总成本为 C，比例系数为 1，则依题意有0d2|xy解此微分方程，得第 8 章 微分方程与差分方程 8.4 一阶微分方程在经济学中的综合应用 习题解答322()yxC把初始条件 代入解得 ，0|1xy3C于是总成本函数为 。22()x说明：其中建模方法关系到逻辑斯蒂方程，是经济数学建模中的应用。逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的，单调递增的，单参数 k 为上渐近线的 S 型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的 S 型变
5、化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型。其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征是：在时间 t 很小时，呈指数型增长；而当 t 不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运用逻辑斯谛方程加以解决。利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程，建立数学模型，我们可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t 时刻的销量为 x(t)，由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此 t 时刻产品销售量的增长率与 x(t)成正比。同时，产品的销售量
6、存在着一定的市场容量 N，统计表明与尚未购买的此新产品的潜在客户数量 N-x(t)也呈正比，于是有=kx(N-x)符合逻辑斯谛方程的模型，于是有通解 =kx（N-x ） 。 其中 k 为比例系数.4在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入 ，国民储蓄 和投资 均是时间 的函数，ySIt且储蓄额 是国民收入的 ，投资额为国民收入增长率的 ，若当 时，国民收入为S10130t5 亿元，试求国民收入函数（假定在时间 的储蓄额全部用于投资） 。t在时间 的储蓄额全部用于投资t【解】由题设得： ， ，1y3I题目假定在时间 的储蓄额全部用于投资，即 ，t SI于是得 ，即为 ，积分得 ，010dty310tyCe代入初始条件 ， ，得 ，即 ,t5e5可知国民收入函数为 。310ty
