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高中数学22直线的方程223两条直线的位置关系课堂探究新人教b版2!.doc

上传人:cjc2202537 文档编号:261233 上传时间:2018-03-25 格式:DOC 页数:6 大小:152KB
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1、2.2.3 两条直线的位置关系课堂探究探究一 判断两条直线的位置关系1(1)判断两条直线平行,需要判断其斜率相等(斜率存在时),即 k1k 2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要再进一步判断截距不相等,即 b1b 2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为 xa 1,xa 2,只需 a1a 2即可;(2)判断两条直线平行,也可用系数比2判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,只判断 k1k21,如果一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率必等于零,从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况;(2)利用 A1A2B 1B20 判断【典型例题 1】 判断下列各组直线的位置关系,

2、若相交,求出交点的坐标(1)l1:4x3y20 与 l2:x2y20;(2)l1:x2y 0 与 l2:2x4y10;(3)l1:x3y0 与 l2:y 3x1.思路分析:判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定解法一:(1)解方程组 420,xy 23 得 5x100,所以 x2.将 x2 代入得 y2,所以两直线相交,交点坐标为(2,2)(2)解方程组1,40x 2得 00,即此方程组有无数多个解,所以两直线重合(3)解方程组3,1yx 由得 x3y,代入得 yy1,即 01 不成立,所以方程组无解,所以两直线平行

3、解法二:(1)由于 A14,B 13,C 12,A 21,B 22,C 22,所以 D1A 1B2A 2B1421350,所以两直线相交解方程组 4320,xy得 2,xy所以两直线的交点为(2,2)(2)由于 A11,B 12,C 1 ,A 22,B 24,C 21,所以 D1A 1B2A 2B114220,D2A 1C2A 2C11(1)2 2110,所以两直线重合(3)由于 A11,B 13,C 10,A 2 3,B 21,C 21,所以 D1A 1B2A 2B11(1) (3)110,D 2A 1C2A 2C111 301010,所以两直线平行解法三:(1) l1:y 4x , l2:

4、y x1.因为 k1k 2,所以两直线相交(2)l1:y x 4, l2:y 1x 4.因为 k1k 2且 b1b 2,所以两直线重合(3)l1:y 3x, l2:y x1.因为 k1k 2且 b1b 2,所以两直线平行点评 根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当 x,y 的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作探究二 利用两条直线的位置关系确定参数利用两直线的位置关系求字母参数取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论【典型例题 2】 (1)直线 l1:(m2)x(

5、m 23m)y40, l2:2x4(m3)y10,如果 l1 l2,求 m 的值;(2)直线 l1:ax(1a)y3 与 l2:(a1)x(2a3)y2 互相垂直,求 a 的值思路分析:既可以用直线一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况(1)解法一:当 l1, l2的斜率都存在时,由 l1 l2,得 m 4,解得 m4;当 l1, l2的斜率不存在时, l1与 l2的方程分别为 x 5,x 12,显然l1 l2,m3.故 m4 或 m3 即为所求解法二:若 l1 l2,则有2()()()20,43解得 m4.当 m3 时,直线 l1与 l2的方程分别为 x 45,

6、x 12,显然 l1 l2,综上所述m4 或 m3.(2)解法一:当 a1 时, l1为 x3, l2为 y ,故 l1 l2;当 a 32时, l1的方程为 x 5y3, l2的方程为 5x2,显然 l1, l2不垂直;当 a1,且 a 时,由 k1k21,得 1a 231,解得 a3.综上所述,当 a1 或 a3 时, l1 l2.解法二:利用 A1A2B 1B20,即 a(a1)(1a)(2a3)0,解得 a1 或 a3.探究三 求与已知直线平行或垂直的直线方程1求与直线 ykxb 平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为ykxm(mb),然后通过待定系数法,求参数 m 的值2求与

7、直线 AxByC0 平行的直线方程时,可设方程为 AxBym0(mC),代入已知条件求出 m 即可3求与直线 ykxb(k0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为 y1kxm(k0),然后通过待定系数法,求参数 m 的值4求与直线 AxByC0(A,B 不同时为零)垂直的直线时,可巧设为BxAym0(A,B 不同时为零),然后用待定系数法,求出 m.【典型例题 3】 已知点 A(2,2)和直线 l:3x4y200.求:(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程;(2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程思路分析:本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求

8、解,也可利用直线系方程来求解(1)解法一:利用直线方程的点斜式求解由 l:3x4y200,得直线 l 的斜率 kl 34.设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1,则直线 l1的斜率 kl1k l 34,所以 l1 的方程为 y2 34(x2),即 3x4y140.解法二:利用直线系方程求解设过点 A 且平行于直线 l 的直线 l1的方程为 3x4ym0(m20)由点 A(2,2)在直线 l1上,得 3242m0,解得 m14.故直线 l1的方程为 3x4y140.(2)解法一:设过点 A 与 l 垂直的直线为 l2,直线 l 的斜率为 kl,直线 l2的斜率为 2kl.因为 kl 21,所以

9、 kl2 43,故直线 l2的方程为 y2 (x2),即 4x3y20.解法二:设过点 A 且垂直于直线 l 的直线 l2的方程为 4x3ym0.因为 l2经过点 A(2,2),所以 4232m0,解得 m2.故 l2的方程为 4x3y20.探究四 对称问题关于对称问题,主要有中心对称和轴对称两种:(1)对于点关于点的对称,只需运用中点坐标公式即可;(2)对于直线关于点的对称,根据所求直线与已知直线平行可先设出方程,然后利用已知直线上任取一点的对称点一定在所求直线上即可求出方程结论为 l 关于点 P(x0,y 0)对称的直线方程是 A(2x0x)B(2y 0y)C0.对于点关于直线的对称,一般

10、按下列步骤处理若两点 P1(x1,y 1)与 P2(x2,y 2)关于直线 l:AxByC0 对称,则线段 P1P2的中点在对称轴 l 上,而且连接 P1,P 2的直线垂直于对称轴 l.由方程组 12,xAyB 可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2,y 2)(其中 A0,x 1x 2)【典型例题 4】 (1)求点 A(3,2)关于点 B(3,4)的对称点 C 的坐标;(2)求直线 3xy40 关于点 P(2,1)对称的直线 l 的方程;(3)求点 A(2,2)关于直线 2x4y90 的对称点 B 的坐标思路分析:(1)利用中点坐标公式列方程求解;(2)根据所求直线上任意一点关于点

11、 P(2,1)的对称点的坐标均满足已知直线方程来求解;(3)利用中点坐标公式及垂直关系联合列式求解解:(1)设 C(x,y),由中点坐标公式得3,24,xy解得 9,6.xy故所求的对称点的坐标为 C(9,6)(2)取直线 l 上任一点(x,y),则它关于点 P(2,1)的对称点(4x,2y)在直线3xy40 上所以 3(4x)(2y)40.所以 3xy100.所以所求直线 l 的方程为 3xy100.(3)设 B(a,b)是 A(2,2)关于直线 2x4y90 的对称点,根据直线 AB 与已知直线垂直,且线段 AB 的中点在已知直线 2x4y90 上,则有12,4,ba解得 1,4.ab所以

12、所求的对称点的坐标为 B(1,4)探究五 易错辨析易错点:忽视了两条直线垂直的特殊情况而致误【典型例题 5】 求经过点 A(2,1)且与直线 2xay100 垂直的直线 l 的方程错解:因为所求直线与 2xay100 垂直,所以根据 l1 l2k1k21,得所求直线的斜率为 2a,所以根据点斜式得 l:y1 a(x2),整理得 ax2y2a20.错因分析:漏掉了当 a0 时这一特殊情况的讨论,其实斜率为 0 的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的,但却不能用 k1k21 来求正解:当 a0 时,已知直线化为 x5,此时直线斜率不存在,则所求直线 l 的斜率为 0,因为直线 l 过点 A(2,1),所以直线 l 的方程为 y10(x2),即 y1.当 a0 时,已知直线 2xay100 的斜率为 2a,因为直线 l 与已知直线垂直,设直线 l 的斜率为 k,所以 k 2a1,所以 k .因为直线 l 过点 A(2,1),所以所求直线 l 的方程为 y1 2(x2),即ax2y2a20.所求直线 l 的方程为 y1 或 ax2y2a20.又 y1 是 ax2y2a 20 的一个特例,故所求直线 l 的方程为 ax2y2a 20.

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