1、111（4.4.2） ， tg2tqtdegjt 式中 由（4.3.7）式定义。由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有，t deu2tq2utx2u1tC jx，令 ， ，则上式变成2u211 q jj jxXdetqxdetxtqt ，（4.4.3）于是结论得证。式中 是 乘上窗函数 后的傅立叶变换。该式说明，如果qtxtq是某一函数的模糊函数，那么用此 所得到的 等效于谱图。因，g ，g，tCx此，谱图也是 Cohen 类成员。2 ，实值性，即 ，1P， tRtCx： Q， g证明：由（4.1.1）式， dueg2ux21tC tjx ，令 ， ，则上式变为 dueg2uxx21t
2、 tjx ，显然，如要求 ，必有， tCtxx ，3、时移： 112： 若 ，则2P0txts， 0xstCt： 不决定于Q，g证明：因为 处于 域，和 无关，所以它不影响分布的时移性质；， ， t4、频移： 若 ，则3Ptjexts00xstCt，： 与 无关Q，g性质 与 称为 Cohen 类时频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。235、时间边缘条件，即：4P21txdtCx，：4Q ， 0g证明： 将（4.1.1）式两边对 积分，有 due0gux dueg2x21dtCtj2 tjtjx ， ， ，欲使上式的积分等于 ，必有t)(),()(t2eutj欲使该式成立，必有 ，也就
3、是说，为保证 具有 WVD 的边界性质，10，g，Cx在 轴上始终为 1。，g6、频率边缘条件，即： 5P2XdttCx，： Q ， 10g其证明请读者自己完成。113前已述及，为了有限的抑制 AF 中远离 的互项，希望 应为0， ， ，g平面上的 低通函数。但 和 要求 在 和 轴上应为。这样， D24Q5，g如果 AF 中的互项正好落在 轴或 轴上，将得不到抑制。7、瞬时频率与 的关系，即，tCx： 6Pdttxi，： 及6Q40，g8、群延迟与 的关系，即，tCx： 7Pdttxg，： 及7Q5 ， 0我们已在 3.2 节证明了 WVD 和瞬时频率与群延迟的关系，此处的证明从略。有关瞬时
4、频率定义的解释及瞬时频率的估计可参看文献27,28。这是两篇详细讨论瞬时频率的论文。9、时域支撑范围，即： 若 时， ，希望 ，对8Pct0tx0，tCx ct： Qdegtj 2 ，10、频域支撑范围，即： 若 时， ，希望9c0Xcxt ， 0： 2degj 对 ，现对 和 作一简单的解释。9PQ给定一个信号 ，记其时频分布为 。假定 在 和 的范围tx，tTFxtx1t2t114内为零，若 在 和 的范围内也为零，则称 具有弱有限时间，tTFx1t2t，tTFx支撑性质。同理，假定 在 之外为零，若 在 也为零，X， ， 21，则称 具有弱有限频率支撑性质。 和 指的是弱有限支撑。，tx
5、 8P9若信号 分段为零， 在 为零的区间内也为零，则称 具有，tTFxt ，tTFx强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要 为零，在所对应的时间段内tx恒为零。同理可定义强有限频率支撑。，tTFx由（4.3.7）式， 的要求是：8Q， 对 。0tgdegjt ， t2式中 是时间域的核函数。当该核函数在 平面上在 这一范围内为零，t ，tt时， 即具有弱有限时间支撑性质。有关 的由来见下一节的讨论。，Cx 10、 ：减少交叉项干扰10P： 是 平面上的 2D 低通函数。Q，g，减少交叉项干扰分布（Reduced Interference Distribution，RID）又称 RID
6、分布。其核函数有着其它的特殊性质，我们将在下一节进一步讨论。4.5 核函数对时频分布中交叉项的抑制我们在 1.5 节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。其区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率 是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：tinktxt1（4.5.1）式中 都是单分量信号，因此nktxi ， 211152txt（4.5.2） n1ij jin1k 2txttt 相应的时频分布（4.5.3） n1ijxn1kxx tCtCt jik ， ,同样也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻 中交叉项的一个有效途径是
7、通过 的模糊函数来实现。，tx t由 4.2 节的讨论， 的广义模糊函数：tnijxnkxx jik MM1,1, ，（4.5.4）式中（4.5.5）duexugjkkxk 2, ，jjiji, ，（4.5.6）分别是 AF 的自项和互项。我们在本章第二节的讨论中已指出，模糊函数的自项通过平面的原点，互项远离 平面的原点，而 AF 中的互项又对应了时频分布中， ，的交叉项，这就为我们去除或抑制时频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。即令核函数 取 平面上的 2-D 低通函数。，g，由上节的讨论可知，为保证 具有时间及频率边缘条件性质，核函数，tCx应满足 和 ，即在 和 轴上应恒为 1，这也是
8、设计核函数时必须考虑的要求。， 4Q5当然，除了 难于满足外， 应尽量满足。010现举例说明核函数 对交叉项的效果。，gChoi Willarms 于文献37提出了一个指数核，即1162eg，（4.5.7）其相应的 TF 分布称为指数分布（ED ） ，由表 4.3.1，它属于 Cohen 类。显然， ，且当 和 同时不为零时 。式中 为常数。10，g10， 1，g越大，自项的分辨率越高， 越小，对交叉项的抑制越大。因此， 的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频率变化得快，那应取较大的 ，反之取较小的 。 的取值推荐在 0.110 之间。当 时，ED
9、变成 WVD，在这种情况下 ED（即 WVD）具有最好的分辨率，但交叉1，g项也变得很大。ED 可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质 和 。8P9ED 对应的时域的核为 1322exp44jtgtedt ， ，（4.5.8）相应的时频分布是（4.5.9） dueuxttCWjx 24exp22，例 4.5.1 令 由三个时频“原子”组成， 和 具有相同的归一化频率t t1t2（0.4） ，但具有不同的时间位置（分别是 32 和 96） 。令 和 具有相同的时间位置，x3但归一化频率为 0.1。 的时域波形如图 4.5.1a 所示，其理想的时频分布如图 4.5.1b 所tx示。其 WVD 如图
10、4.5.1c 所示。可以看到，图 c 中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。图 4.5.1d 是 的模糊函数。由该图可以看出，AF 的自项位于中心，在 轴和 轴上tx 各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的 AF 共有 6 个互项。图4.5.1e 是指数核 的等高线图，它在原点最大，在 轴和 轴上恒2ep，g为 1。改变 ，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。 越大，距离越大，反之距离越小。的作用是抑制 AF 中的互项。将图（d）和图（e）对应相乘，即，117，其结果示于图（f） 。显然，在第二和第四两个象限的互项已被去除， xAg在 轴和 轴上的四个互项在图中体
11、现出来，但实际上也被抑制。图 4.5.1g 是用 ED 求出的 的时频分布。可以看出，这时的交叉项较之图 4.5.1btx的 WVD，已大大减轻。 0 2 4 0 1 2 3 4 0 0 0 01 2 3 5 01 2 3 4 5 0 0 1 118图 4.5.1 核函数 对交叉项抑制的说明，该图由上及下分别为 ag，gCohen 类分布的其它成员，所用 对交叉项抑制的原理和上述过程大致相同。，4.6 减少交叉项干扰的核的设计除了我们在前面几节提到的 Cohen 类的各种时频分布外，人们还希望能设计出其它更好的时频分布。为此，文献76给出了一个核设计的方法，现给以简单地介绍。如果 可以写成变量
12、 ， 的积的函数，即，gg，那么该核函数称为“积核” ，在表 4.3.1 中， ， ，sinc 及 ED 核都是积2cos2jea0 0 0 0 01 2 3 4 5 0 0 0 1 2 3 4 119核。如果 可以写成 各自函数的积，即，g,)(21gg，那么 称为可分离的核。对这一类核，其计步骤如下：，步骤 1 设计一个基本函数 ，使之满足下述条件：th（a） 有单位面积，即 ；th1dt（b） 为偶对称，即 ；（c） 是时限的，即当 时 。t 2t0th（d） 以 =0 为中心向边际平滑减少，以保证 含有较少的高频分量。h t步骤 2 取 的傅立叶变换，即tdtehHj步骤 3 用 代替
13、 中的 ，得到积核函数)(（4.6.1）g，按照这种原则设计出的核 ，所对应的分布称为减少干扰分布，即 RID。RID 主要强，调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时频分布的其它性质。现考察一下这类核对表4.4.1 的 的满足情况。这类核对 无法保证满足，但对 是满足的。这是因10Q 0Q， Q2为 同样和 无关。由于（4.6.1）的 中的 和 以乘积的形式出现，所，g，t ，g以 和 满足，因此条件（a）对应 和 。由于由 得到的 是实函数（45 45H，g偶对称） ，所以 满足，即条件（b）保证了 。此外，若 存在，条件th1Q1Qd（b）也保证了 和 。现在考察条件（c） 。现将（4.6.
14、1）两边相对 作傅立叶变换，即67120（4.6.2）deHtgdegjtjt ，式中 即是（4.3.7）式的时域核。按（4.6.2）式， 的傅立叶反变换对应的是，tg 。按傅立叶变换的变量加权性质，有h2 th2tdeHjt（4.6.3）条件（c）要求 时 ，即是当 时， （4.6.2）式恒为零，也即21t0th21t时 。这正是 ，同理，条件（c）意味着 满足。t2degtj， 8Q9Q条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是 平面的 2D 低通函，g，数，因此条件（d）满足 。10文献74考察了不同 所对应的 TF 分布形式，如果：th（1）若 ，那么 ，对应的分布是 WVD。 满
15、足条件（a） 、t1，gth（b）和（c） ，但不满足（d） ，因此 WVD 不具备性质 及相应的制约10P10Q（2）若 ，则 ，对应2t21th2cos，gReRihaczek 分布， 也只满足条件（a）（c） ，不满足（ d） ，所以该分布也和 WVD一样，满足 ，不满足 及相应的制约 。91P 1010Q（3）若 ，则 ，此为复数核形式的 Rihaczek 分布，2th2jeg，满足条件（a）和（c ） ，不满足条件（b）和（d） ，因此该分布只满足性质 和t 52P。98P121（4）若 对 ，则 ，对应 BornJordn 分1th2t2sing，布， 满足条件（a）（d） ，所以
16、该分布满足性质 。t 10P（5）若 ，此 对应 ChoiWillams 分布， 满足2exp21tththth条件（a） ， （b）和（d） ，所以相应的 TF 分布有性质 和 。71 10由于（4）和（5）的 对应的分布满足性质 ，所以它们属于减少干扰类（RID）t 0P分布。现以 BornJodan 分布为例，说明这一设计方法的思路及所得到的核在四个域内的形状。BornJodan（BJ ）分布对应的 ，对 。该 满足上述（a）（d）的1th2tth四个条件。由sin21dteHj用 代替 ，得 BJ 分布的核，即（4.6.4）2sig，这是模糊域 的核函数。其形状如图 4.6.1（a）所
17、示。，对应 域，有，t deHdegt jtjt，令， ，则 ，利用傅立叶变换的定标性质，有 thdetgtj212sin，因为 的存在区间是（ ） ，所以上式中的取值范围是 ，考虑到 是th1 t2th偶函数，有122 tthtg202 ，（4.6.5）同理可得 在 域的表示形式，即，t，（4.6.1） 2042 ， hG和 的形状如图 4.6.1（c）和（d）所示。在各自的平面上它们的存在范，tg，围有着“蝴蝶结”似的形状。由于（4.6.5）和（4.6.6）式的对称性。二者的形状几乎相同。由上面的导出过程可知，给定的 只要满足条件（c）的时限性质，其在 和th，t域的核的自变量的取值范围必
18、然要受到（4.6.5）和（4.6.6）式的制约。这也就是表，4.4.1 中的制约 和 。8Q9最后， 在 域的表示形式应是 的 2D 傅立叶变换，即，g，t ，g（4.6.7）dethGjtj12 ，其形状如图 4.6.1（b）所示。由于 BJ 分布使用的 是在（ ）内的矩形窗，所以 是 平th ，g，面的 D sinc 函数，但在 轴和 轴上始终为 1，因此可有效地抑制除 、 轴以外的交2叉项。对于其它属于 RID 的分布，其核函数在四个域内有着类似的形状。123图 4.6.1 BJ 分布核函数在四个域内的形状（a） 域， （b） 域， （c） 域， （d） 域， ，t，t，上面的讨论揭示了不同形式时频分布的内在联系，给我们指出了一个设计较好的时频分布的总的原则。有关核的分析与设计还可参考文献121，有关时频分布应用的例子请参考文献2 。前已述及，对性质 ，即时频分布的恒正性，除谱图以外，目前对能否构造出既具0P有时频分布的意义（如性质 ） ，同时又是恒正的分布，目前尚不知道，这一问题仍10有待研究。124
