1、讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过， 概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的
2、高等数学基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧， “与大一那会儿学的不一样。 ”原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有 5 分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课
3、程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图” 。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。先默写
4、出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明 关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，。这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参
5、考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库” 。尽可能熟悉课程讨论的基本对象。就如我将在讲解时（微积分部分）推荐的， “三个典型的（极限）不存在” ，“x 趋于+ 时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。 ”“三个典型的不可导” ，“四个典型的不可积” ，等等。概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。当你面对一个题目时，你的自然反应是， “这个题目涉及的概念是 ”，而非“在哪儿做过这道题” ，才能算是有点入门了。讲座（2）笔下生花花自红
6、在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责， “一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。 ”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或“依据已知条件，我首先能得到什么？” （分析法） ；或 “要证明这
7、个结论，就是要证明什么？” （综合法） 。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。“连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写 成 “连续 A + 不连续 B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。 （穷尽法） 。如果， “连续 A + 不连续 B = 连续 C” 则 “ 连续 C -连续 A = 不连续B”这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导” ，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，题面上有已知条件 f (1) 0 ，概念深，写得熟的人
8、立刻就会先写出h 趋于 0 时 ， lim( f(1+h) - f(1）) / h 0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式 A=， 0，要是移项写成 （A-E）= 0， 0，这就表示 是齐次线性方程组（A-E）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。数学思维的特点之一是“发散性” 。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有
9、 28 个“引理” ，那是他艰难地走向辉煌的 28 步。对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。要考研吗，要去听指导课吗，最好先自己动笔，尽可能地把基本计算练一练。
10、经济类考生还格外有个“短板” 。就是不熟悉解析几何 。要先下点功夫，做到能熟练地建立平面直角坐标系下的直线方程（点斜式，两点式） ，求两条直线的交点，随意能画出基本初等函数的图形等等。我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。多动笔啊， “写” “思”同步步履轻，笔下生花花自红。讲座（3）拓扑预备说质变高等微积分（数学分析 ）的第一章，讲实数的完备性。即全体实数与数轴上的点成功一一对应。于是我们从此“点” “数
11、”不分。数轴的一段称为区间。区间是特殊的数集。为了方便起见，通常也把半直线说成区间。记数轴的右端趋向为 +（正无穷大） ，左端趋向为 ?（负无穷大） 。有的数学分支虚拟了一个 点，把直线说成是半径无穷大的园。+ 与 ? 则是这个虚拟点的两侧。不含端点的区间叫开区间。以点 x0 为中心的开区间称为 x0 的邻域。历史上约定，说“在点 x0 的邻近，” ，就是指“在点 x0 的某个邻域内，” 。 （画外音：开区间的拓扑定义是，开区间任意一点，总有至少一个邻域，全含于这个开区间内。 ）一元微积分的拓扑基础是区间。建立在区间基础上的积分叫“黎曼积分” 。自然数集与区间都是含有无穷个数的数集，但两者也有
12、差别。从有限到无穷，这是质变。只含有限个数的数集，一定有最大及最小的数，而无穷集则不一定。比如自然数集有最小值而没有最大值。数集（0，1）则既没有最小值，也没有最大值。两个有限集相比时，一定可以分出，谁含有的数较多。而无限集之间不能这样比。只能看两个无限集是否能建立一一对应关系。如果两个无限集之间能建立一一对应，则称这两个数集属于同一级别。 （专业词：有同样的“势” 。 ）相当于说这两个数集所含有的数“一样多” ，很有趣也很哲学的是，通过对应 2n n ， “偶自然数集”可以与“自然数集”建立一一对应。即它们属于同一级别。这表明，无限集的真子集可以与全集建立一一对应，而有限集显然不行。能与自然
13、数集建立一一对应的无限集，称为可列集。可列集中的全体数，可以与自然数对应排成一个“序列”：x1 ，x2 ， ，x n ，每个不可列的无限集，都一定能与数集（0，1）建立一一对应。这样一来，从含有数的“多少”意义来看，只有两类无限集。可列集或不可列集。最令人吃惊的是，尽管有理数具有稠密性，即任意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。实轴上几乎全是无理数。（画外音：一个小数学实验可列集的“测度”让我们用一个个小区间来顺次“包装”可列集的点。第 1 个小区间长 /2，装入x1 ，第 2 个小区间长 /4，装入 x2 ，第 3 个小区间长 /8，装入 x3 ，第 n 个小区间长
14、 / （2 的 n 次方，装入 x n ，按照一一对应方式，将可列集的点全体点，装入了可列个小区间内。各个小区间的长，顺次组成公比为 1/2 的无穷递缩等比数列，因而可以算得这可列个小区间的总长为 ，由于 可以取成任意小的正数，因而这个实验说明了，把一个可列集的点“挤”着排起来，也不会在数轴上占有长度。用数学专业用语说，可列集的“测度”为 0，所以实轴上几乎全是无理数。 ）讲座（4）函数讨论先“微观”微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。定义 任给定义域内一点 x，通过某一对应规律，有唯一确定的 y 值与之对应，就称变量 y 是变量 x 的函数。记为 y = f（x）所谓“对应规律
15、” ，可能是解析表达式，这是我们所常见的。可能是一句话显示的规定。例如，绝对值函数 y = | x |，取整函数 y = x ， （y = 不超过 x 的最大整数）也可能是表格等方式，在高数学习过程中，还有含参极限，变上限积分，级数等方式。定义中的“唯一确定” ，排斥了多值情形，有利于讨论反函数。美国，台湾的微积分教材都不出现反三角函数。由于三角函数是周期函数，反三角函数需要选定对应区间，以保证反三角函数值能“唯一确定” 。其中，y = arcsin x ， ?1 x 1 ，? / 2 y / 2y = arctg x ， x 可为任意实数，? / 2 y / 2记法“y = f（x） ”有双
16、重含义。理解 x 为定义域内任意一点，它表示这个函数。理解 x 为定义域内一点（相对不变） ，它表示相应的函数值。在函数概念的深化讨论中，常常用到后一理解。我们早已接触了六类基本初等函数 常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（画外音：圈内戏称为“反，对，幂，指，三” 。不如直接记两对加一“幂” 。 ）初等函数 由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。这个定义有可能使得函数的定义域是一个可列集。比如，y = （cos2x?1） ，一般教材上会说，我们所讨论的函数，其定义域是区间或区间的并。大学数学还让学生学习两
17、类“分段函数” 。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。所谓“微观分析” ，即是任取一点 x0 ，讨论及描述函数的相对变化。选定一个中心点 x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。把动点 x 在 x0 邻近变动称为“自变量 x（在 x0 处）获得增量 x” 。（潜台词：关键词 “增量” ，既是一个词，又是一种新的思维方式。
18、）微量分析考虑的问题是：在 x0 点邻近，如果自变量 x 有一个增量 x，则函数相应该有增量 y = f（x0+x）- f（x0）鉴于函数的任意性与复杂性， “减号”只能表示事实，没有一般的计算意义。我们如何表述，研究或估计这个 y 呢？ 第一考虑自然是变化关系。当 x 0 时，y 会有什么变化趋势呢？三种可能，y 或趋于 0，或不趋于 0，或没有一定的趋向。如果 x 0 时，必有 y 0，就称函数在 x0 点连续。第二考虑是“变化率” 。中国人把除法称为“归一法” 。无论 x 的绝对值是多少，商式 y/x 的含义总是， “当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。 ”有了极限观念，自然会考
19、虑，当 x 0 时，函数的平均变化率 y/x有什么变化趋势呢？两种可能，或者极限存在，或不存在。如果 x 0 时，y/x 有极限，就称函数在点 x0 可导。称极限值为函数在点x0 的导数。请看看， “连续”与“可导”的概念，出现得多么自然啊。这理的关键是极限观念。我们中国人在极限问题上先天不足。学了微积分，知道从有限到无穷是质变。牵涉“无穷”的问题都得用极限工具。形成一点极限思维，那就是很大的收获。函数在区间上每一点连续，就称函数在区间上连续。函数在区间上每一点可导，就称函数在区间上可导。所产生的对应关系称为该函数的导函数。微积分以中值定理为“桥粱” ，用导函数讨论函数的宏观特征。这是一元微分
20、学的基本目的。因此，可导性讨论与导数计算是第一基础。考研复习高数的第一任务，是基本上理解导数定义并能作简单的定义讨论，最重要的是能熟练地求各类函数的导数。导数定义作用于基本初等函数，生成一套有序的求导公式。伴随着初等函数的结构顺序， 高等数学建立了“和，差，积，商函数求导法则”与处理复合函数的“链锁法则” 。进而还有“取对数求导法” ， “用参数式表述的函数求导法” ， “隐函数求导法” ， “分段函数求导法” ，等等。一切函数皆可讨论可导性，计算导数。练习求导，实在可行。娴熟地计算与讨论导数，是讨论函数宏观特征，乃至比较与估计定积分的前提与手段。导数好，则心有灵兮一点通，求不定积分，解微分方
21、程，必定是处处反应特好。要先练完教材上的求导练习，再买本高等数学习题集，做完全部求导题。练！练！练！让你明年开春复习提高时，运算障碍最少。（画外音：回忆一下吧。小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白高数差的基本原因之所在了。 ）讲座（5）极限概念要体验极限概念是微积分的起点。极限首先是个观念。面对“没完没了”的过程，用什么方法去准确描述与讨论变量的发展趣势？自然是极限。只能是极限。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到， “一尺之竿
22、，日取其半，万世不竭。 ”近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正 6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n 个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到， “割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。 ”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是 x x0 ；一类是 x 讨论 x x0 的情形，通常设 x 不会取到 x0 ，这样一来，你可以体验到，x x0 的过程，和 x 一样“
23、没完没了” 。无论哪一种情形，我们都不会考虑 x 从何处出发，也不会考虑 x 具体如何趋于 x0或趋向无穷。是蛙跳般不停不息，或是左右左右摇摇摆摆，还是连续地一步一趋？ 如果真的选择连续地一步一趋方式，对 x0 来说只有从左侧或右侧两种逼近方式。对 x 而言，则有直接向 + 或直接向 ? 两种趋向。通常称这为“两条道路” ，其它形式统称为“子路径” 。“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数 a 为函数的极限。“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的
24、发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。我们早有经验， “若分子不变，而分母的绝对值越来越大，则分数的绝对值只会越来越小。 ”由此即可以体验到， 自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n 的极限是 0 ；x 趋于无穷时，函数 1/x 的极限为 0 ；进而得到第一个求极限的方法：“x ，要考查一个有理分式函数（即 ：多项式 / 多项式）的变化趋势，将分子分母同除以分式中出现的 x 最高次方。再分别观察各项。 ”（画外音：我称之为“化零项法”处理/型未定式。 ）回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，
25、 x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。x 趋于正无穷时，底数大于 1 的指数函数都无限增大，没有极限。底数大于 0 而小于 1 的指数函数则无限接近于 0x 0+ 时，对数函数 lnx 趋于 - ；x 趋于正无穷时，lnx 无限增大，没有极限。x 时，正弦 sinx 与余弦 cosx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx 的图形是典型的波动。我国高等数学教科书上普遍都选用了“震荡因子”y = sin（1/x） 。当 x 趋于0 时它没有极限的原因是震荡。你体验过它的震荡吗？具体想来，当 x 由 0.01 变为 0.001 时，只向中心点 x
26、 = 0 靠近了一点点，而中间变元 u = 1/x 的跨步却长达 900 个单位，正弦 sin u 相应完成了 140 多个周期。函数的图形在 +1 与-1 之间上下波动 140 多次。你可以进一步体验下去，想想在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形是多么“紧紧地挤”在一起，象是 一片“电子云” 。当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。用“震荡因子”能生出很多怪例。我的导师陈庆益先生爱说，怪例更深刻地揭示自然。x 0 时， （1/x）sin（1/x）不是无穷大。直观地说就是函数值震
27、荡而没有确定的发展趋势。1/x ，它为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。（画外音：让我们分别取两个“子过程”来观察。取 x = 1 / 2n ，相应的函数值列是 0 数列，又取 x = 1 / （2n + / 2） ，相应的函数值列是 2n + / 2，趋向 + ，你能否体会到剧烈的震荡。 ）x 0 时 ，显然有 0 | xsin（1/x）| | x | ，夹逼着 xsin（1/x） 0 ，你可以体验 x 好比是个“摩擦因子” ，让震荡慢慢消失。实际上“摩擦因子”可以是 x 的 次方 ， 是适当小的正数。有摩擦震荡就会最终平息。能够翻阅分析中的反例的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡
28、因子。在同一个过程中，如果有多个变量趋于 0， （或绝对值无限增大。 ）那更深入一步的体验是，它们的绝对值变小（或变大）的速率是一样呢还是不同的？我们早就有初等数学知识， “若 0 x0 时，) 总有 f（x） 0 ” *“若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f（x）有正的极限 ，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0，则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当xx0 时，) 函数的绝对
29、值恒小于 1（潜台词：为什么是“1” ，简单方便！换个别的正数也可以。 ）若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x 的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ， 当xx0 时，) 函数的绝对值全大于 1*若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0，则在 0 的某个适当小的去心邻域内，或 x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于 1（你不仿设定有适当小的数 0，当 0x 时，函数的绝对值全小于 1 ）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0，或充分小的数 0，并利用它们。讲座（6）无穷小与无穷大 微积分还有一个名称，叫“无穷小分
30、析” 。1. 概念定义 在某一过程中，若函数 f（x）的极限为 0，就称 f（x） （这一过程中）为无穷小。为了回避 语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。无穷小是个变量，不是 0 ；是在中心点，过程，0 极限背景下，我们给特定函数的称呼。y = 0 视为“常函数” ，在任何一个过程中都是无穷小。但这是平凡的，没有实际意义。通常被排除在讨论之外。依据极限定义，无穷大不存在极限。但是为了强调在变化过程中，变量有绝对值无限增大的趋势，历史上约定， “非法地”使用等号来表示无穷大，以记述这个特点。比如x 从右侧趋于 0 时 ， lim lnx = - x 从左侧趋于/2 时 ， lim tgx
31、 = +(潜台词：仅仅表明其绝对值有无限增大的趋势，并不表示极限存在。)2.无穷大与无界变量无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。而无界变量的意思是，在某个区间内，其绝对值没有上界。在适当选定的区间内，无穷大可以是无界变量。y = tgx（在 x /2 左側时）是无穷大。在（0，/2）内 y = tgx 是无界变量x 趋于 0 时，函数 y =（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。不仿再用高级语言来作个对比。任意给定一个正数 E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以
32、后，无穷大量的绝对值能全都大于 E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于 E 。3. 运算与比较有限个无穷小量的线性组合是无穷小 ；“-”则结果不确定。 （未定式！）乘积的极限有三类可以确定：有界变量?无穷小 = 无穷小 无穷小?无穷小 = （高阶）无穷小无穷大?无穷大 = （高阶）无穷大其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式” 。例 1 作数列 x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -y = 0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - - 两个数列显然都无界，但乘积 xy 是零数列。这表示可能会有 无界?无界
33、= 有界 ！两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较” 。如果极限为 1，分子分母为等价无穷小；极限为 0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。无穷大有类似的比较。无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。x 趋于 0 时， = x sin（1/x）和 = x 都是无穷小，且显然有；但是它们的商是震荡因子 sin（1/x） ，没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了“极限存在”是“比较”的前提，又再一次显示了震荡因子 sin（1/x）的用途。更有意思的是，若 = x 的 k 次方，则无论 k = 0.9 , 还是 k = 0.9
34、9, k = 0.999,， 总是比 高阶的无穷小。回到基本初等函数，我们看到x 趋于 + 时，y = x 的 次方，指数 0 的幂函数都是无穷大。且习惯地称为 阶无穷大。（潜台词：这多象汽车的 1 档，2 档，- 啊。 ）x 趋于 + 时，底数 a 大于 1 的指数函数 y = a 的 x 次方 都是无穷大；底数小于 1 的都是无穷小。x 趋于 + 或 x 趋于 0+ 时，对数函数 y = lnx 是无穷大。x 趋于 时，sin x 及 cos x 都没有极限。 正弦，余弦，反三角函数都是有界变量。请体验一个很重要也很有趣的事实。（1） x + 时， lim（ x 的 n 次方 e 的 x
35、次方） = 0 ， 这表明：“x 趋于 + 时，指数函数 e xp（x ）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。 ”（2） x + 时， lim（ ln x x 的 次方）= 0； 是任意取定的一个很小的正数。这表明： “对数函数 ln x 是比 x 都还要低阶的无穷大。 ”只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。例 2 函数 f (x) = xsinx ，则（A）当 x 时为无穷大。 （B）在（-，+）内有界。（C）在（-，+）内无界。 （D）在 x 时有有限极限。分析 这与 y =（1/x）s
36、in（1/x）在 x 趋于 0 时的状态一样。 （选（C） ）例 3 已知数列 x n 和 y n 满足 n 时，lim x n y n = 0 ，则（A）若数列 x n 发散，数列 y n 必定也发散。 （B）若数列 x n 无界，数列 y n必定也无界。（C）若数列 x n 有界，数列 y n 必定也有界。 （D）若变量 1 x n 为无穷小量，则变量 y n 必定也是无穷小量。分析 尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例 10 给了我们一个很好的反例。对本题的（A） （B） （C）来说，只要 y n 是适当高阶的无穷小，就可以保证 lim x n y n =
37、0无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明 x n 为无穷大。要保证 lim x n y n = 0 ，y n 必须为无穷小量。应选答案（D） 。线性代数（37）欲说线代先方程初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解” 。什么东东叫一个方程（组）的根 把东东代入这个方程（组） ，方程（组）化为恒等式。这个概念是学习线性代数的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解”感觉盲然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是“解” ，代入方程（组）算一算。（潜台词：关
38、键是要勤动笔。 ）由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展：（1）一元 n 次方程（2）n 元一次方程组（线性方程组）大学数学线性代数教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造” 。 第二板块是矩阵特征理论基础知识，在更高层次讨方阵及其应用。n 阶方阵 A 的特征方程是个一元 n 次方程。一元 n 次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。 （二重根算两个根。 ）有韦达定理显示根与系数的关系。从十六世纪到十八世纪，人们努力探索了近两百年，也没能找到一元五次方程及
39、五次以上方程的求根公式。回头又花去整整六十年，才证明了所期盼的求根公式不存在。以后在理论方向发掘，又证明了“一元 n 次方程在复数范围内有 n 个根。 ”（k 重根算 k 个根。 ）还同样找到了高次方程的 “韦达定理” 。对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，）都得到了园满解决。在研究非线性问题时，人们找到了“有限元” ， “边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。描述一个齐次线性方程 a1x1
40、 + a2x2 + - + a nx n = 0 ，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的 n 维向量（a1，a2， ，an） 。方程组的两种同解变换，即“方程两端同乘以一个数”与“两个方程相加（减） ”，正好相应照“数乘向量”与“向量加法” 。如果是有 m 个方程的齐次线性方程组，则 m 个系数行就排成一个 mn 阶矩阵。如果把 n 个未知量也按顺序排成一个向量， （x1，x2， ，x n） ，则每个方程的左端 “a1x1 + a2x2 + - + a n x n” ，正好是，系数向量与未知量向量的 “对应分量两两相乘，加在一起” 。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积
41、（数量积） ”。进而规定出“矩阵的乘法” 。运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。 （如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。 ）这就产生了第二个问题：“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”由此有相应概念 矩阵的秩，n 维向量组的秩。解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学
42、爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算； 。愿这能有助于你减少一点抽象感。（38）提升观念学集合数学所说的集合，往往依赖“数”或“形”而生。隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。1. 集合与线性运算线性代数的基本研究对象是矩阵集合 全体 m n 阶矩阵 m n 个元所排成的矩形阵列。n 阶方
43、阵是矩阵集合最重要的子集合。在我们学习范围内，n 阶方阵有两个特殊的重要的子集合 ：满秩方阵 （下含）正交阵 ， 对称阵 （下含）正定阵n 维向量集合就是全体 n 元有序数组（a1，a2，-，a n） 。有时候也把 n 维向量看成特殊的矩阵，即（n 1）阶行矩阵或（1 n）阶列矩阵。矩阵集合与 n 维向量集合上都定义了“数乘”与“加法” 。在微分学中，常用集合记号 Ca，b 表示区间 a，b 上的全体连续函数。用C1（a，b）表示在区间（a，b）上有连续的一阶导数的全体函数。 ，用 C（a，b）表示在区间（a，b）上任意阶可导的全体函数。只不过一般高等数学教材上都没有引入这些记号。研究函数集合
44、时，首先考虑的也是“数乘”与“加法” 。“数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数，因而“加法”实际上包含了通常的减法。人们在讨论一般的集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作“线性组合” 。学到这个地步，要会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合” ，有时就指的是线性运算最终所得到的向量。还比如：有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。 （“线性组合”表示运算结果）有限个连续函数的线性组合连续。 有限个可导函数的线性组合可导。 （画外音：也不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无
45、穷大。 “ - ” 是未定式。 ）对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是“封闭”的。即集合中的任意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是！我们就说“集合对于线性运算是封闭的。 ”高一个层次的理论中，这是集合能否被称为“线性空间”首要条件。显然，m n 阶矩阵集合，n 维向量集合，Ca，b 函数集合，C k（a，b）函数集合，对于线性运算都是封闭的。2.向量内积与矩阵乘法由于理论或应用的需要，人们经常需要考虑在集合上定义更特殊的“运算” 。这些“运算”在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中任意两个元与唯一的“第三者”的特
46、殊对应规律。 高级语言称之为集合上的 一个“二元关系” 。内积是 n 维向量集合上的一个“二元关系” 两个 n 维向量对应唯一确定的一个数。即对任意两个 n 维行向量 = (1, 2, ，n) , = (1,2 , ，n) , 规定内积 ? = = 11 + 22 + + nn （ = ?）（画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。 ）内积又叫数量积。定义内积是深化讨论的常用手段，理论背景深远，应用范围广阔。比如，更高层次的讨论中，在 Ca，b 函数集合上定义内积为 内积 （f，g）= 积函数 f（x）g（x）在a，b上的定积分线性代数教材中通常把 n 维向量设为列向量。借助于列向
47、量可以把 mn 阶矩阵 A 表示为 A = (a1，a2，a n ) ，称为矩阵 A 的 列分块式 。其中，列向量 a1 = ( a 11，a n 1 ) ， ， a n = ( a 1n ， ，a n n ) 如果把每个列块视为一个元素，可以说 A = (a1，a2， ，a n) 是一个“形式向量” 。这个观念对学习线性代数大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量 x 作“形式内积” ，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为(a1，a2， ，a n) （x1，x 2， ，x n）= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 + x n a n = 0后面将会利用这个形式转换，把“（列）向量
48、组的线性相关性”与“齐次线性方程组有无非零解”相连系。矩阵乘法是矩阵集合上的一个“二元关系” 。它的计算基础是向量内积。具体规定为 mn 阶矩阵 A（a i j）与 ns 阶矩阵 B（b i j）可以有乘积矩阵 AB =（c i j） ，AB 是 ms 阶矩阵，它的元素 c i j 具体为 c i j = A 的第 i 行与 B 的第 j 列的内积。即 c i j = a i 1b j1 + a i2 b j 2 + + a i n b j n ，1 i m ， 1 j s阶数规则 （mn） （ns）=（ms） ， 保证“左行右列作内积”可行。最特殊的两种情形是 （m1） （1s）=（ms） 与 （1n） （n1）=（11）后一情形就是两个向量作内积。进一步有分块矩阵乘法。按照应用需要， 线性代数常常
