1、工程数学复习资料一、线性代数1、 矩阵的初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一个非零常数，3）某一行的 K 倍加到另一行。2、 阶梯型矩阵：1）全为 0 的行写在最下面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大。如230146523、 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件的阶梯型矩阵：1）首非零元全为 1，2）首非零元所在列其余元素全为 0。如：02543104、 求矩阵 A 的秩：A 阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵 A 的秩即 r(A) 初 等 行 变 换例： 设矩阵 ，求矩阵 的秩151233897A解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 681403722587931152 151207
2、430由此可知矩阵的秩为 2 5、 求矩阵方程 AX=B：（A B） (I X)或 X= B 初 等 行 变 换 1A求矩阵 A 的逆矩阵：（A I） （I ） 初 等 行 变 换 11. 例：设矩阵 A= ,B= ,求 A B. 或解矩阵方程 AX=B3210501解：（AB）= 50321504321 1041 218 BA15208例：设矩阵 ，求： ,1032A1A解： 10I 10102/31032所以 102/31A6 、n 元线性方程组解的判定1）AX=b ：r(A b)=r(A) 时，方程组有解 个 自 由 未 知 量时 ， 有 无 穷 多 解 ， 且 有时 ， 方 程 组 有
3、 唯 一 解r-n)()(nrAbrr(Ab)r(A)时，方程组无解AX=0：方程组一定有解 个 自 由 未 知 量时 ， 有 非 零 解 ， 且 有时 ， 方 程 组 有 唯 一 零 解r-n)()(nrA2）求齐次线性方程组 AX=0 的基础解系：将方程组中的自由未知量分别取（k，0，0）,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的解向量3）求 AX=0 的一般解和全部解： 方 程 组 的 全 部 解基 础 解 系方 程 组 的 一 般 解行 简 化 阶 梯 型 矩 阵初 等 行 变 换 A求 AX=b 的一般解和全部解： 方 程 组 的 全 部 解原 方 程 组 的 一 个 特 解 解
4、系相 应 齐 次 方 程 组 的 基 础方 程 组 的 一 般 解行 简 化 阶 梯 型 矩 阵初 等 行 变 换)(b例：设齐次线性方程组 的系数矩阵经过初等行变换，得0AX0231求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解解： 因为 0012/31023得一般解： （其中 是自由元） 4321x43,x令 ，得 ；0,43x021X令 ，得 12所以， 是方程组的一个基础解系 21,X方程组的通解为： ，其中 是任意常数 21k21,k例：2.线性方程组 的全部解26240833143xx解：（A b）= 21621408 30852113 0123854方程组的一般解 将常数项视为零，取 得
5、00651984325689x14x相应齐次方程组的一个基础解系 ，取 原方程组的一个特解 故方程组的全部解15804x0691X= +C069158例：当 取何值时，线性方程组14796322421xx有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1902051214796312 8490051由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。 1此时齐次方程组化为432159xx分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系340, 1,105,1921XX令 ，得非齐次方程组的一个特解x34,080由此得原方程组的全部解为（其中 为任意常数） XkX012k12,二、概率
6、部分 1、假设 为两事件，已知 ，求 BA, 4.0)(,6.0)(,5.)( ABPAP )(BP解： 240)(P)(B70)()( APA2、正态分布 X ,2N, ,P(Xb)=1-P（X1.96Un91.532故认为这批砖的抗断强度不合格例：某钢厂生产了一批管材，每根标准直径 100mm,今对这批管材进行检验，随机取出 9 根，测得它们直径的平均值为 99.9mm,样本标准差 s=0.47,已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平 =0.05 ，）306.2)8(05.t解：假设 H :=100已知：n=9 s=0.47 =99.9X306.28.47.03.19nsT故认为这批管材的质量是合格的
