1、 浅谈构造法在解题中的应用临川二中：刘胜军提 要:构造法是以创造性思维为依托，用已知条件中的元素为“元件” ，用已知数学关系为“支架” ，在思维中构造出一种新的数学形式，使解题突破常规另辟蹊径，表现出简捷、明快、精巧、奇异的特点。本文结合一些典型的例题，介绍构造法在解题中的巧妙运用。关键词: 构造法、解题、应用“构造法”是指为解决某个数学问题时先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式、方程等） ，寻求与问题的某种内在联系，使之简单明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法。此法重在“构造” 、深刻分析、正确思维和丰富联想。它体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验
2、、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解决问题的方法。数学问题千变万化，题型丰富，某些问题技巧性强，如果只用常规方法去处理可能很复杂，即使花费了大量时间和精力也难以凑效。如果我们能够根据题设条件和题型结构的特点，恰当地运用构造法，能使问题迎刃而解。下面举一些应用构造法的例题，介绍其在数学解题中的巧妙应用。一、构造图形解题:当题设条件中的数量关系有比较明显的几何意义或以某种方式与几何图形相连接时，我们可以根据已知条件构造出符合要求的特殊图形，明确反映各个变量之间的关系，就能准确快速地做出解答。例 1、在 ABC 中，角 A、B、C 的对边边长分别是 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的
3、高 h，则+ 的值是_.2sinCcosA.1 B. C. D.-1 13解:由于本题是选择题，可以根据题意构造边长分别为 a=1、b= 、c=2 的直角三角形3ABC，从而有 1=c-a=h，符合条件；因此 + =sin30+cos60=1，故选 A. 2sinACcos点评：这是一道比较典型的三角函数题，通过对题目的观察，由目标导向构造直角三角形，从而化难为易迅速求解，节省宝贵的时间。例 2、在 ABC 中，已知 2b=a+c, 且 a0 恒成立，试求 的取2cos2值范围？分析：初看此题，研究条件我们发现本题有两个函数：二次函数和三角函数，一时不知从哪里入手。分析之后，我们发现构造二次函
4、数，利用函数性质更容易解决问题。解：构造关于 x 的二次函数 f(x)=x cos -x(1-x)+(1-x) sin22=(sin + +1)x -(2sin +1)x + sincos2由 f(0)0,f(1)0,可知 sin 0,cos 0 故对称轴 x=- = = (0,1)ab2)sin1(ccos21sin于是必有 =(1+2sin ) -4sin ( +1+sin )02co解得 k + k + (k Z)。15评注：二次函数恒大于零的判定条件是函数的一个重要性质，本题就是充分利用这一性质构造二次函数，达到解题的目的。三、构造对偶式解题:在解题过程中合理地构造形式相似并具有某种对
5、称关系的一对对偶式，通过某种运算能够得到一些有用的关系式，促使原问题向简单明了的方向转化。例 5、求 cos 10+cos 50-sin40sin80 的值?22分析：三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。解:设 A= cos 10+cos 50-sin40sin80，22构造对偶式 B= ,则 80cos450sin1si2A+B=2-cos40 A-B=cos20+cos100+cos120=2cos60cos40- 21+得，A= ，即 10+ 50-sin40sin80= .432cos243点评：这是一道比较典型的三角求值
6、题，通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，这类试题在各类考试中深受命题者青睐。四、构造复数式解题:复数与三角函数有着非常密切的关系，解三角题时通过构造复数，巧妙运用复数的运算法则及几何意义，可使问题柳暗花明。例 6、试证：cos -cos +cos = .727321分析：由与上式匹配的对偶式构造复数方程，再利用复数性质解题。证:设 a=cos -cos +cos , b=sin -sin +sin ,73令 z= cos +isin (z =-1)，则：77a+bi= (cos -cos +cos )+ (sin -sin +sin )I237273=(cos +i
7、sin )-(cos + isin )+(cos +isin )=z-z +z723= = = = +iz1)(3z73)(312)73cos1(in比较等式两边的实部，得 a= ，即 cos -cos +cos = .72732点评：在构造复数式解题时，常构造“对偶式” 、 “对称式” ，有利于重组问题中的各个元素，汇聚题目条件，收到一定的效果。五、构造方程解题：对于一些数学题，可以利用根与系数的关系，联想构造一元二次方程来求解。 .2273 qpqp， 求 证 ：、 已 知例证： )()(,33 故因, .0k设 k则 的 两 个 实 根 。是 实 系 数 二 次 方 程和于 是 0322
8、kxqp.0342kk从 而 判 别 式, .0qp所 以评注：每个问题都有自己的内涵，结构上也都有各自的特点，在解决问题时若能了解它的本质，对我们解决问题有很大好处，而构造方程是构造法中的重要内容之一。六、构造几何模型解题：有些问题具有几何背景，用常规方法较难解决，而类比构造其几何意义，运用数形结合的数学思想，直观地反映元素之间的关系，使问题得到解决。 的 最 大 值 、 最 小 值 ？、 求 函 数例 xxfcos24in1)(8分析：考虑定点 P(4,1)和动点 ，则 .)sin2,(xAPAkf)(上 ，：因 为 动 点 在 圆 2yxO相 切 的 直 线 斜 率 。且 与 圆的 最
9、值 对 应 过 定 点所 以 OPxf)(.1430)(,1430minmax xff七、构造数列解题:等差数列与等比数列有着很好的性质，利用构造法，与数列建立联系，就可以利用数列的性质来解决问题，得到意想不到的效果。例 9、已知 sin = ,其中 ，求 sin , 的值?cos169024cos解：因为 sin = =( ) ,352所以可以构造等比数列 , , sin .cos1故可设 sin = , = （ ）,q1352352q由 得到 .sinco22 06196024解得 , 故 = , = .156qi3cos5构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学方法形式的构造决不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉融汇在一起共同作用的结果。上述所列举的各类构造，仅是就构造形式区分，旨在方便通过揭示构造法思维方式教会学生如何去构造。本文仅做抛砖引玉，总之笔者认为巧妙运用构造法解题确有事半功倍的效果。参考文献:管宏斌 构造对偶式的八种途径 数学教学 05 年 7 月
