1、 港中数学网 12008 年全国中考数学压轴题精选精析（五）41（08 浙江宿迁 27 题） （本题满分 12 分）如图， O的半径为 1，正方形 ABCD顶点 坐标为 )0,5(，顶点 D在 O上运动(1)当点 D运动到与点 、 在同一条直线上时,试证明直线 C与 相切；(2)当直线 C与 相切时，求 所在直线对应的函数关系式；(3)设点 的横坐标为 x，正方形 的面积为 S，求 与 x之间的函数关系式，并求出 S的最大值与最小值（08 浙江宿迁 24 题解析）如图，在矩形 ABCD中， 9， 3A，点 P是边 BC上的动点（点P不与点 B，点 C重合） ，过点 P作直线 Q ，交 边于 Q
2、点，再把 沿着动直线 PQ对折，点 的对应点是 R点，设 的长度为 x， PR 与矩形 BCD重叠部分的面积为 y（1）求 Q的度数；（2）当 x取何值时，点 落在矩形 ABCD的 边上？（3）求 y与 之间的函数关系式；当 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 72？51DCBAO xy第 27 题D Q CBPRA（第 24 题）BAD C（备用图1）BAD C（备用图2） 港中数学网 242（08 浙江温州 24 题） （本题 14 分）如图，在 RtABC 中， 90， 6AB， 8C， DE， 分别是边 ABC， 的中点，点 P从点D出发沿 E方向运动，过点 P作 Q于 ，过点 Q
3、作 R 交 于，当点 Q与点 重合时，点 停止运动设 x， y（1）求点 到 BC的距离 DH的长；（2）求 y关于 x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）是否存在点 P，使 R 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x的值；若不存在，请说明理由（08 浙江温州 24 题解析） （本题 14 分）解：（1） RtA， 6B， 8AC， 10B点 D为 中点， 13290HB， C ，A， 312805BDA（2） QR ， 9R， ，CAB， 106yx，即 y关于 x的函数关系式为： 365（3）存在，分三种情况：当 PQR时，过点 P作 MQR于 ，则 RM1290，
4、 290C， 84cos15， 45QP，AB CD ERPH Q（第 24 题图）AB CD ERPH QM 港中数学网 3136425x， 185x当 PQR时， 326，6x当 时，则 为 PQ中垂线上的点，于是点 为 EC的中点，1224RAtanB，36528x， 152x综上所述，当 为 或 6 或 时， PQR 为等腰三角形43(08 安徽省卷 23 题)（本题满分 14 分）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30 千米的 A 镇；二分队因疲劳可在营地休息 a（0a3）小时再往 A 镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生
5、塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用 1 小时打通道路，已知一分队的行进速度为 5 千米/时，二分队的行进速度为（4a）千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到 A 镇？【解】若二分队和一分队同时赶到 A 镇，二分队应在营地休息几小时？【解】下列图象中，分别描述一分队和二分队离 A 镇的距离 y(千米)和时间 x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。(08 安徽省卷 23 题解析)解：（1）若二分队在营地不休息，则 a0，速度为 4 千米/时，行至塌方处需102.54（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要 105 （小时） ，故二分队在塌方处需停
6、留 0.5 小时，所以二分队AB CD ERPH QAB CD ERPH Q第 23 题图 港中数学网 4在营地不休息赶到 A 镇需 2.5+0.5+ 2048（小时） 3 分（2）一分队赶到 A 镇共需 35+17（小时）（）若二分队在塌方处需停留，则后 20 千米需与一分队同行，故 4+a5，即 a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去； 5 分（）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7a)=30，即 a23a+20,解得 a1=1，a 2=2 均符合题意。答：二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时。 （其他解法只要合理即给分） 8 分(3)合理的图像为（b） 、 （d）. 12 分
7、图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3） ，后于一分队赶到 A 镇；图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2） ，先于一分队赶到 A 镇。 14 分44（08 北京市卷 24 题） （本题满分 7 分）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2yxbc与 x轴交于AB，两点（点 在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为 (30)， ，将直线 k沿 y轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 ， 两点（1）求直线 C及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，点 P在抛物线的对称轴上，且 APDCB，求点 P的坐标；（3）连结 ，求 OA与 两角和的度数解：（1）（2）（3
8、）（08 北京市卷 24 题解析）解：（1） ykx沿 轴向上平移 3 个单位长度后经过 y轴上的点 C，(03)C，设直线 B的解析式为 3ykx()，在直线 上，30k解得 1直线 BC的解析式为 3yx 1 分抛物线 2yxbc过点 BC， ，930c，1Oyx2 3 44321-1-2-2- 港中数学网 5解得 43bc，抛物线的解析式为 243yx 2 分（2）由 2yx可得 (1)(0DA， ， ， 3OB， C， 1O， 2AB可得 是等腰直角三角形45， 3如图 1，设抛物线对称轴与 x轴交于点 F，2AFB过点 作 EC于点 90可得 2BA， 在 EC 与 FP 中， 90
9、AECFP， ACEPF， A， 21解得 PF点 在抛物线的对称轴上，点 的坐标为 (2)， 或 )， 5 分（3）解法一：如图 2，作点 (10A， 关于 y轴的对称点 A，则 (10)， 连结 ACD， ，可得 ， OC由勾股定理可得 20， 21A又 21AC， 2D是等腰直角三角形， 90CAD，45CA1Oyx2 3 44321-1-2-2-1PEBD ACF图 11Oyx2 3 44321-1-2-1BDACF图 港中数学网 645OCAD即 与 两角和的度数为 45 7 分解法二：如图 3，连结 B同解法一可得 20CD， 1A在 RtF 中， 9， FD，2B在 C 和 O
10、A 中，1DA， 32， 201CABACO 45，AD即 OC与 两角和的度数为 45 7 分45（08 北京市卷 25 题） （本题满分 8 分）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABC和菱形 EFG中，点 ABE， ， 在同一条直线上， P是线段 DF的中点，连结 PG， 若 60，探究 P与 C的位置关系及 G的值小聪同学的思路是：延长 P交 D于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与 C的位置关系及 PG的值；（2）将图 1 中的菱形 BEF绕点 顺时针旋转，使菱形 BEF的对角线 恰好与菱形
11、ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？DA B EFCPG图 1D CGPA BEF图 21Oyx2 3 44321-1-2-2-1BDACF图 港中数学网 7写出你的猜想并加以证明（3）若图 1 中 2(09)ABCEF，将菱形 BEFG绕点 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 PG的值（用含 的式子表示） 解：（1）线段 PG与 的位置关系是 ； C （2）（08 北京市卷 25 题解析）解：（1）线段 PG与 的位置关系是 PGC；PC3 2 分（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，
12、延长 GP交 AD于点 H，连结 C， 是线段 F的中点， 由题意可知 H， GFPD ， 四边形 ABC是菱形， 60AB由 EF，且菱形 EFG的对角线 B恰好与菱形 ABCD的边 在同一条直线上，可得 60GBC HD四边形 是菱形，F B CG， CG 120DHHB即 120， P，GC， 60C3 6 分（3） Ptan(90) 8 分46（08 湖北鄂州 27 题） （1）如图 13，D CGPA BEFH 港中数学网 8123A， ， 是抛物线 214yx图象上的三点，若 123A， ， 三点的横坐标从左至右依次为 1，2，3求的面积（2）若将（1）问中的抛物线改为 2yx和
13、2(0)yaxbc，其他条件不变，请分别直接写出两种情况下 123A 的面积（3）现有一抛物线组： yx； 216yx； 2315yx；2410yx； 2530； 依据变化规律，请你写出抛物线组第 n个式子 ny的函数解析式；现在 轴上有三点 (1)(30)ABC， ， ， ， ， 经过 ABC， ， 向 x轴作垂线，分别交抛物线组123nyy ， ， ， ，于 ， ， ； 22， ， ； 3， ， ； ； nnB， ， 记 1ABCS 为S， 2ABC 为 2S， ， nABC 为 nS，试求 110SS 的值（4）在（3）问条件下，当 10时有 1098nn 的值不小于 24，请探求此条件
14、下正整数 n是否存在最大值，若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由（08 湖北鄂州 27 题解析） （1） 1239(1)44AA， ， ， ， ， 1 分123131223AACBBCSS 梯 形 梯 形 梯 形99444 3 分（2） 123AS 4 分 123 5 分（3）由规律知：1yxOA322 3A B C图 港中数学网 9211()()2nyxxn或写成（ 21132nyxxn） 6 分由（1） （2）知： 1310SS602341110 8 分（4）存在由上知： 1098nnnSS 11()()()7()n11098nnn20 9 分1098142nnnSS 2142290
15、n142 10 分解得 又 0n 11 分存在 的最大值，其值为 21n 12 分 港中数学网 1047（08 湖北黄石 27 题） （本小题满分 10 分）如图，已知抛物线与 x轴交于点 (20)A， ， (4)B， ，与 y轴交于点 (08)C， （1）求抛物线的解析式及其顶点 D的坐标；（2）设直线 C交 轴于点 E在线段 O的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 到直线 CD的距离等于点 P到原点 O的距离？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B作 x轴的垂线，交直线 C于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF总有公共点试探究：抛物线向上最多可平
16、移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？（08 湖北黄石 27 题解析） （1）设抛物线解析式为 (2)4yax，把 (08)C， 代入得 1a28yx2()9x，顶点 (19)D， （2 分）（2）假设满足条件的点 P存在，依题意设 (2)Pt， ，由 (08)C， ， ， 求得直线 CD的解析式为 8yx，它与 x轴的夹角为 45，设 OB的中垂线交 于 H，则 (210)， 则 10PHt，点 P到 的距离为 2dPt又 224Ott （4 分）2410tt平方并整理得： 29t1083t存在满足条件的点 P， 的坐标为 (21083)， （6 分）（3）由上求得 (0)(4)E
17、F， ， ， 若抛物线向上平移，可设解析式为 2(0)yxmA BCO 港中数学网 11当 8x时， 72ym当 4时， 720或 1 （8 分）若抛物线向下移，可设解析式为 28(0)yxm由28yxm，有 2014， 14 向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移 14个单位长 （10 分）48（08 湖北襄樊 25 题） （本小题满分 12 分）如图 15，四边形 OABC是矩形， 4， 8OC，将矩形 ABC沿直线 折叠，使点 B落在 D处，AD交 于 E（1）求 的长；（2）求过 ， ， 三点抛物线的解析式；（3）若 F为过 ， ， 三点抛物线的顶点，一动点 P从点 出发，沿
18、射线 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，当运动时间 t（秒）为何值时，直线 F把 分成面积之比为 :3的两部分？A BCO xyDFHPE 港中数学网 12（08 湖北襄樊 25 题解析）解：（1） 四边形 OABC是矩形，90CDEAO， D （1 分）又 ， CE （2 分）22()，即 48OE，解之，得 3 （3 分）（2） 5C如图 4，过 D作 GEC于 ，DG （4 分）E， E 125， 92415， （5 分）因 O点为坐标原点，故可设过 OCD， ， 三点抛物线的解析式为 2yaxb264801.55ab，解之，得532.4ab，234yx （7 分）（3） 抛物线的对
19、称轴为 4x， 其顶点坐标为 542， 设直线 AC的解析式为 ykb，则 80.k， 解之，得14.kb，142yx （9 分）设直线 FP交直线 AC于 142Hm， ，过 H作 MOA于 MO :AC:3FAHCS 或 ，1或 ， :1:4或 32或 6，即 2m或 61()， ()， （10 分） 港中数学网 13直线 1FH的解析式为 1742yx当 4y时， 18x直线 2的解析式为 9当 时， 57当 81t秒或 57秒时，直线 FP把 AC 分成面积之比为 1:3的两部分 （12 分）说明：只求对一个值的给 11 分49（08 湖北孝感 25 题） （本题满分 12 分）锐角
20、ABC 中， 6， 12ABCS ，两动点 MN， 分别在边 ABC， 上滑动，且 MNBC ，以MN为边向下作正方形 MPQN，设其边长为 x，正方形 PQ与 公共部分的面积为 (0)y（1） ABC 中边 上高 AD ；（2 分）（2）当 x 时， PQ恰好落在边 BC上（如图 1） ；（4 分）（3）当 P在 外部时（如图 2） ，求 y关于 x的函数关系式（注明 x的取值范围） ，并求出 x为何值时 y最大，最大值是多少？（6 分）（08 湖北孝感 25 题解析）解：（1） 4AD； 2 分（2） .4x（或 25） ； 6 分（3）设 BC分别交 MPNQ， 于 EF， ，则四边形
21、MEFN为矩形设 EFh， A交 于 G（如图 2）GDN， 4， BCA，即 6x243h 8 分A ABBCCM M NNP P QQDD（第 25 题图1）（第 25 题图2）AB CM NP QD（第 25 题图2）GE F 港中数学网 14yMNFA243x24(.6)3 10 分配方得： 2yx 11 分当 x时， 有最大值，最大值是 6 12 分注意：1按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；2第 19 题至第 25 题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数50（08 湖南长沙 26 题） （本题满分 10 分）如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为 r（
22、常数）的O，其中 AD为直径，且 AB=CD=DE=FA.（1）当BAD=75时，求 的长；BC （2）求证：BCADFE；（3）设 AB=x，求六边形 ABCDEF 的周长 L 关于 x的函数关系式，并指出 x为何值时，L 取得最大值.（08 湖南长沙 26 题解析）(1)连结 OB、OC，由BAD=75，OA=OB 知AOB=30， （1 分）AB=CD，COD=AOB=30，BOC=120 ， （2 分）故 的长为 3r2 （3 分）BC (2)连结 BD，AB=CD，ADB=CBD，BCAD， （5 分）同理 EFAD，从而 BCADFE （6 分）(3)过点 B 作 BMAD 于 M，由(2)知四边形 ABCD 为等腰梯形，从而 BC=AD-2AM=2r-2AM （7 分）AD 为直径，ABD=90，易得BAMDABAM= AD2= rx，BC=2r- rx2，同理 EF=2r- rx2 （8 分）L=4x+2(2r- )= 4= 6，其中 0x r2 （9 分）当 x=r 时，L 取得最大值 6r （10 分）AB CDEFO
