1、1四年级下期第一讲 定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。例 1 设 a、b 都表示数，规定 ab3a2b。(1)求 43，34。(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(176)2，17(62)。(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知 5b1，求 b。解：像这样的题目叫做“定义新运算” 。这里， “”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出 3a 和 2b 的值，再求出 3a 与 2b 的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。
2、所以：(1)4334231266。343324981。(2)由(1)可知，43 与 34 的结果不同，所以，这种运算没有“交换律” 。(3)(176)2(31726)2(5112)2392339221174113。17(62)17(3622)17(184)1714317214512823。(4)由(3)可知，(176)2 与 17(62) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律” 。(5)因为 5b352b152b，而 152b1，所以 2b151，2b14，b7。通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚
3、新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。例 2 如果 ab2a3b，a*b(ab)2，那么(3*5)7？解：“”的意义是先求出 2a 和 3b，再求出 2a 与 3b 的和。 “*”的意义显然是求 a、b 的平均数。因为 3*5(35)24，所以，(3*5)747243729。例 3 规定：aba(a1)(a2)(ab1)，其中 a、b 表示自然数。(1)求 1100 的值；(2)已知 x1075，求 x。解：(1) a(a1)(a2)(ab1)1(11)(12)(11001)123100(1100)1002101100225050。(2) x(x1)(x2)(x101)7510x
4、(129)7510x457510x754510x30x3010x3例 4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼狼；狼羊狼；狼狼狼。以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么
5、求下式的结果：羊(狼羊)羊(狼狼)。解：羊(狼羊)羊(狼狼)羊羊羊狼羊羊狼羊狼狼练 习 一1设 a、b 都表示数，规定：ab 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab4a3b。试计算：(1)56； 65。2a、b 是自然数，规定 aba5b3，求 89。3设 ab8a18b，求 79？4规定 ab(a3)(b5)，求 5(67)的值。5设 ababab，试求 58。6如果规定 ab13ab8，那么 1724 的最后结果是多少？7设 a、b 都表示数，规定：ab2ab2。求(1)106； (2)7(48)。8规定 ABBBA，计算(23)(45)。39如果规定 ab4a3b1，那么 5
6、7 和 75 相等吗？10对于两个数 x、y，xy 表示 yAx2，并且已知 826531。计算：(1)2957；(2)38(1423)。11如果 34345618，6567891040。计算 20006。12如果“、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？(1)878；(2)7776；(3)(783)939；(4)333。第二讲 图形问题(一)例 1 有大、小两个正方形，它们的周长相差 16 厘米，面积相差 80 平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差 164
7、4(厘米)，所以图中正方形 B 的面积是 4416(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(8016)232(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形 A)的边长是 3248(厘米)，面积是8864(平方厘米)。AB例 2 下面的整个图形是一个边长 40 厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。解法一：图形的总面积是 40401600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是 20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以 2”，每个空白小正方形的面积是20202200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是 16002004800(平方厘米)。解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好
8、相等，所以，阴影部分的面积是 40402800(平方厘米)。例 3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是 240 厘米，面积的和是 1000 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是 10002500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是2402430(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图4这个新正方形的面积是 3030900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900500)2200(平方厘米)。例
9、4 如图，矩形 ABCD 被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于 1，矩形 ABCD的是多少？A BD C解：如果设右下角正方形的边长为 a，那么，左下角正方形的边长就是 a1，左上角正方形的边长就是 a11，右上角正方形的边长就是 a111。因为 CDAB，所以aa(a1)(a11)(a111)，即 3a12a5，于是 a4。从而，CDaa(a1)13，AD(a1)(a11)11。因此，矩形 ABCD 的面积是1311143。练 习 二1已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？甲3 乙15 82把所有周长为 22，且 4 条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？3一
10、个正方形，如果一组对边各增加 10 厘米，另一组对边各减少 6 厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？4下图中阴影部分 A 和阴影部分 B 的面积，哪个大？AB5一块长方形玻璃，长截去 5 分米，宽截去 3 分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是 71 平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40 厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？7如图，已知大、小两个正方形的边长之和是 20 厘米，并且大正
11、方形比小正方形的面5积大 40 平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？8有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。 2239如图，一个大长方形被分成了 4 个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？1957 4510将边长为 a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为 a 的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11在一个正方形水池四周，环绕着一条宽 2 米的路，这条路的面积是 120 平方米，那么水池的面积是多少平方米？12如图所示，阴影部分是一个长 3
12、分米、宽 2 分米的长方形，我们需要用 14 张边长1 分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为 124 平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长 1 分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？第三讲 枚举与计数例 1 数列 A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，。(1)数列 A 中的数 100 的个位数字 0 在数列 B 中是第几个数？(2)数列 B 中的第 100 个数是数列 A 中的第几个数的哪一位上的
13、数字？这个数字是什么？6(3)到数列 B 中的第 100 个数为止，数字 3 共出现多少次？解：(1)数列 A 中，1 到 9 共有 9 个数字；10 到 99 共有 180 个数字；100 有 3 个数字。所以数列 A 中的 100 的个位数字 0 在数列 B 中是第 91803192 个数。(2)数字 B 中前 9 个数是数列 A 中的一位数 1 到 9，100991，而 912461，说明数列 B 中第 100 个数是数列 A 中第 46 个两位数的第一位数，这个数是 94655，它的第一位（十位）数字是 5。(3)数列 A 中，55 以前的数含有数字 3 的依次是 3, 13, 23,
14、 30, 31, 32，33, ，39, 43, 53，所以数字 3 共出现 16 次。答：(略)。例 2 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？解：当十位数字是 1 时，满足题意的两位数有 8 个；当十位数字是 2 时，满足题意的两位数有 7 个；当十位数字是 8 时，满足题意的两位数有 1 个；共有 1234567836(个)。这些两位数的十位数字的和是8172635445362718120，个位数字的和是9887766554433221240，所以这些两位数的和是101202401440。答：个位数字大于十位数字的两位数共有 36 个，所有这些两位数的和是 1
15、440。例 3 有 10 个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？解：与某一小朋友不相邻的小朋友有 7 个，所以不相邻的小朋友有 71070(对)，每对小朋友都重复算了一次，所以共有 70235(种)选法。答：有 35 种不同的选法。例 4 在校级运动会上，运动员 A、B、C 分别获得 100 米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上，他们也是 100 米短跑的前三名。(1)如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能？(2)如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的排名不同，那么排名情况有多少种可能？解：(1
16、)设 A 的排名不变，那么 B 排第三，C 排第二，只有这 1 种情况。同理 B、C 的排名不变，也各有 1 种情况。因此，共有 3 种情况。(2)如果排名情况都改变，A 可能排第二或第三：当 A 排第二时，B 排第三，C 排第一，有 1 种情况；当 A 排第三时，B 排第一，C 排第二，也有 1 种情况。因此，排名均不同的可能性有 2 种。7答：(略)。练 习 三1三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是 114，那么这三个数中最小的是多少？2由数字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一张能组成多少个不同的三位数？把这些数按照从小到大的顺序排列，第 14 个数是多少？3一个
17、三位数，三个数字各不相同且不为 0，如果三个数字之和为 10，这样的三位数有个？4一个两位数的十位数字比个位数字大 5。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来小多少？5编排一本书的页码共用了 870 个阿拉伯数字，这本书一共有多少页？6新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有 36 人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少 180 人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人？最少是多少人。7一圈小朋友玩报数拍手游戏，从 1 开始顺序报数，规定：报 7 的倍数时要拍一次手，报带 7 的数时要拍两次手，报既带 7 又是 7 的倍数时要拍三次手。
18、则报到 100 时共拍了多少次手？8。一只口袋里有 5 个小球，另一只口袋里有 4 个小球，所有这些小球的颜色各不相同。(1)从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同的情况？(2)从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况？9某地区有 50 个县城，每个县城都有 3 条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路？10如图，从 B 逐步往下走到 A，有多少条不同的路线？BA11如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？小丽家学校12小明的爸爸买了 6 张电影票(如下图)，想和小张家一块去看电影。但因临时有事不能和小张同时出发，小明只好撕下 3 张连在一起的票给小张家送去。那么有多少种
19、不同的撕8法？第四讲 推理与判断例 1 小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学校读书还不清楚。只知道：(1)小东不在一中；(2)小兰不在二中；(3)爱好排球的不在三中；(4)爱好游泳的在一中；(5)爱好游泳的不是小兰。那么谁在一中？谁在二中？小兰爱好什么？解：由(4)爱好游泳的在一中，由(1)这个人不是小东，由(5)这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。由(3)爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的
20、小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。例 2 小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说：“小华做对了第一题” ，“小华第二题没有做对” ， “小华第一题没有做对” 。老师看完三道题后发现：小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题？解：假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符；假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符；假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。所以小华做对了第二题。例 3 标有 A、B、C、D、E、F、G、H 记号的 8 盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开
21、关。现在 B、E、G 开着，其余 5 盏灯关着，小明从灯 A 开始，循环逐个拉动 8 盏灯的开关，拉了 2004 次后，关着的灯是哪几盏？解：因为 20048 商 250 余 4，从 A 开始拉动开关 250 次后，由于 250 的双数，所以B、E、G 仍然开着，其余 5 盏灯 A、C、D、F、H 都灭着。而对前面的 4 盏灯 A、B、C、D 又各拉动一次以后，A、C、D 变成开着的，B 又灭了，所以最后关着的灯是 B、F、H。例 4 购物单上某商品的单价是 49.36 元千克，总价是 7.28 元，方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克？解：写成竖式进行推导。先考虑个位数：4
22、9 3.6 4 9 3.6 3 81 4 8 0 8 3 9 4 8 8 7.2 8 7.2 89进一步考虑十位数：4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 2 3 7 3 4 8 9 81 4 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 89 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4 4 8 3 7.2 8 7.2 8 7.2 8 7.2 8 所以至少购买 98 千克。练 习 四1甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说：我的对面是“南” ；丙说：我在乙的左边；丁说：我的对面不是乙。甲坐在哪边？2甲、乙、丙、丁、戊参加歌
23、咏比赛，获得前五名。他们的得分情况如下：(1)丙比乙低，但比戊高；(2)甲比丁高，但比戊低；(3)乙比戊高。这次歌咏比赛的第一名是谁？3甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。已知丙比教师的年龄大，甲与农民不同岁，农民比乙的年龄小。那么谁是教师？4甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说：“我会开。 ”乙说：“我不会开。 ”丙说：“甲不会开。 ”三人的话只有一句是真话。会开车的是谁？5、代表三个数，并且800那么、各代表多少？6下图中的“？”应填多少？23 13 ？5 8 3 5 3 2 5 4 571 号、2 号、3 号、4 号运动员取得了运动会 800 米赛跑的前四名。赛后他们接
24、受小记者的采访。1 号说：“3 号在我前面冲向终点。 ”另一个得第三名的运动员说：“1 号不是第四名。 ”小裁判员说：“他们的号码与他们的名次都不相同。 ”则第一名是几号？第二名是几号？第三名是几号？8将 99 棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装 12 粒，每个小盒子中装 5 粒。已知盒子数大于 10 个，那么有多少个大盒子？多少个小盒子？9会议室某排有 15 个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人？10某次数字竞赛有 20 道题，初始分为 60 分。规定：答对一题给 5 分，不答扣 1 分，答错一题扣 3 分。
25、最后得分是奇数还是偶数？11 “希” 、 “望” 、 “杯” 、 “赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分10别代表的是哪个数字？希 望希 望 杯 希 望 杯 赛2 0 0 512下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少？小 学 希 望 杯 赛 赛9 9 9 9 9 9第五讲 解决问题(一)例 1 祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的 6 倍，而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小 30 岁，孙子今年多少岁？解：当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的 615 倍。所以孙子今年 3056
26、(岁)。答：孙子今年 6 岁。例 2 幼儿园分饼干，如果每人分 3 块，余 14 块；如果每人分 4 块，还有 3 个小朋友没分到。一共有多少个小朋友？有多少块饼干？解：改变分法后，从余 15 块到缺 4312(块)，一共要多分 141226(块)，这是因为每人多分 431(块)的缘故，所以一共有 26126(个)小朋友，有 3261492(块)饼干。答：一共有 26 个小朋友，92 块饼干。例 3 运输公司为客户装运 1600 只瓷盘，每只运费 1 元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了 5 只瓷盘，并得到 1540 元。则瓷盘价格为每只多少元？
27、解：如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到 116001600(元)，实际少得了1600154060(元)。损坏一只瓷盘运输公司少得 60512(元)，其中有运费损失 1 元和瓷盘价格的一半，所以瓷盘的价格是(121)222(元)。答：每只瓷盘 22 元。例 4 怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题：A、B、C 三人各有硬币若干枚。A 将自己的硬币分给 B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B 将自己的硬币分给 A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C 将自己的硬币分给11A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是 8 枚。请问他们原来各
28、有硬币多少枚？解：用倒推法。第三次调整后：A 有 8 枚，B 有 8 枚，C 有 8 枚；第二次调整后：A 有 824(枚)，B 有 824(枚)，C 有 84416(枚)；第一次调整后：A 有 422(枚)，C 有 1628(枚)，B 有 42814(枚)；原来：B 有 1427(枚)，C 有 824(枚)，A 有 27413(枚)。答：原来 A 有 13 枚、B 有 7 枚、C 有 4 枚。练 习 五1有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的 2 倍。从甲队调出 10 人到乙队后，甲队仍比乙队多 5 人。甲队原来有多少人？2在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了
29、24 道题，其中，答对的题数是答错的题数的 2 倍；第二试答了 20 道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的 3 倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？3菜市场运来 6 筐萝卜，分别装着 24 千克、33 千克、35 千克、37 千克、38 千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中 3 筐，小李承包了另外 2 筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的 2 倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？4小光和小明，共有 48 枚纪念邮票和 20 枚特种邮票。已知，小光的纪念邮票是小明的5 倍，小明的特种邮票是小光的 3 倍。小光的邮票比小明多多少张？5幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分 7 个，少
30、 3 个；每组分 6 个，则多 4 个。苹果有多少个？小朋友共几组？6某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住 5 个人，还有 4 个人无法入住；每间安排 6 个人，最后一间还可以住 2 个人。那么预定了房间多少间？共有多少个人？7有三角形桌子和正方形桌子共 13 张，共有 44 条腿(桌子的每个角有一条腿)，则三角形桌子比正方形桌子多多少张？8一次口算比赛，规定：答对一题得 8 分，答错一题扣 5 分。小华答了 18 道题，得了92 分，小华在此次比赛中答错了多少道题？9购买 5 元、8 元和 10 元的公园门票共 100 张，用去 748 元，其中 5 元和 8 元的张数相
31、同，则 10 元的门票共多少张？10小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记 20 分，脱靶一发则扣 12 分。两人各打10 发，共得 208 分，小王比小李多得 64 分，小王打中多少发？小李打中多少发？11小明问老师今年多少岁，老师说：“我 6 年前的年龄和你 6 年后的相同，我 3 年后12的年龄和你 3 年前的年龄之和是 42 岁。 ”老师今年多少岁？小明今年多少岁？12将 786 个桃子分成四堆，第一堆比第二堆多 24 个，比第三堆多 16 个，比第四堆多46 个，那么第四堆有多少个？第六讲 解决问题(二)例 1 10 名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次，前 4 名平均得 92 分
32、，后 6 名的平均分数比 10 人的平均分数少 8 分，这 10 名同学的平均分数是多少分？解：如果从前 4 名的总分中拿出 6 个 8 分补给后 6 名同学，那么前 4 名的平均分数也就和 10 个同学的平均分数同样多了，所以这 10 名同学的平均分是(92486)480(分)。答：这 10 名同学的平均分是 80 分。例 2 一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了 9 秒，通过一座 468米长的铁桥用了 35 秒，这列火车长多少米？解：因为火车行驶一个车身的距离要 9 秒，而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度，所以火车行 468 米只需 35926(秒)，每秒行
33、驶 4682618(米)，这列火车长 189162(米)。答：这列火车长 162 米。例 3 星期天，妈妈从超市买了 4 支“小梦龙”和 3 支“可爱多”冰淇淋，用去 24 元钱。妈妈对小丽说：“上星期天我买 3 支小梦龙和 5 支可爱多冰淇淋用去 29 元钱。 ”“小梦龙”和“可爱多”冰淇淋每支各多少钱？解：把已条件整理成算式：4 支小梦龙3 支可爱多24(元) (1)3 支小梦龙5 支可爱多29(元) (2)为了消去“小梦龙” ，让(1)扩大 3 倍，(2)式扩大 4 倍，得：12 支小梦龙9 支可爱多72(元) (3)12 支小梦龙20 支可爱多116(元) (4)(4)式(3)式得：每
34、支“可爱多”(11672)(209)4(元)。再由(1)式得：每支“小梦龙”(2443)43(元)。答：“小梦龙”每支 3 元， “可爱多”每支 4 元。例 4 要用 1000 元钱买 23 元、22 元、21 元的三种物品，三种物品都要买，而且不能剩钱，则最多可以买多少件？最少可以买多少件？解：要想买的件数最多，就要尽量多买 21 元一件的，1000214713，说明可以47 件 21 元的，还余 13 元，可以用这 13 元补到几件 21 元的物品上换成 22 元和 23 元的物品，所以最多可以买 47 件。要想买的件数最少，就要尽量多买 23 元一件的，1000234311，也就是说如果
35、买 44 件就少 231112(元)，可以买 44 件 23 元的，超出 231112(元)，可以用几件 23 元的物品换 21 元和 22 元的物品，直到把超出的 12 元13抵消，所以最少可以买 44 件。答：最多可以买 47 件，最少可以买 44 件。练 习 六1有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这样的方法计算了 4 次，分别得到 4 个数：26, 32, 40, 46，那么原来四个数的平均数是多少？2有 6 个数排成一行，它们的平均数是 27。已知前 4 个数的平均数是 23，后 3 个数的平均数是 34。第 4 个数是多少？3甲筐苹果个数比乙筐多 6
36、4 个，从甲筐取出多少个苹果放入乙筐，可使乙筐苹果比甲筐多 12 个？4期末考试中，小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是 92 分，语文、外语两门课的平均成绩比数学低 3 分，语文比外语高 2 分。则外语多少分？5小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了，让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高，那么数学得了多少分？科目 思想品德 语文 数学 体育 科学 艺术 平均分数 88 81 79 76 876为了支援西部，四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书 44本，钱全部用完，小明要了 26 本，小光要了 18 本。回校后，小明补给小光 28 元。小明、小光各带了多少元？每本书多少元？7
37、三个工厂拿出相同的资金买煤，结果甲厂比乙厂多要了 15 吨，丙厂比乙厂多要了 15吨，因此甲厂和丙厂各付给乙厂 3000 元，每吨煤多少元？8空间站上的 5 位宇航员轮流值班和休息，值班岗位有 2 个。在 60 小时里，平均每个宇航员休息了几小时？9小明沿着长为 100 米的桥面步行。当他走到桥头时，一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100 秒钟后，小明走到桥尾，火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的 3 倍，则火车通达这座桥大约用了多少时间？10两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长 225 米，每秒行 25 米，乙列车每秒行 20 米，甲、乙两列车错车时间是 9
38、秒。求：(1)乙列火车长多少米？(2)坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？11甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，那么甲跑 5 秒钟可追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒钟，那么甲跑 4 秒钟可追上乙。求甲的速度。12小明去相距 9 千米远的同学家，已知他步行的速度是每小时 3 千米，他每走 50 分钟要休息 10 分钟，他想在中午 12：00 之前赶到同学家，则他最晚要在上午几时几分出发？第七讲 综合练习(一)1如果 ab3a2b，a*b(ab)2，那么(7*3)6？142一个两位数的十位数字比个位数字小 6。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来大多少？3有 10 个盒
39、子和 45 个乒乓球，能否把这 45 个乒乓球放入这 10 个盒子中，使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同？410公园里有一个正方形花坛，在花坛四周有一条 2 米宽的小路。如果这一圈小路的面积是 64 平方米，那么花坛(阴影部分)的面积是多少平方米？5一个长方形的宽去掉 3 厘米而长不变，其面积比原来减少 30 平方厘米；如果长增加6 厘米，而宽不变，其面积比原来增加 42 平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米？6个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？7某次会议有 30 人参加，如果见面时每两人都要握一次手，那么这些人总共要握手多少次？8幼儿园分饼干，如果每人分 3 块，那么余 10 块
40、；如果每人分 4 块，那么还有 2 个小朋友没分到。一共有多少块饼干？9甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；乙再把自己的邮票给甲、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；丙再把自己的邮票给甲、乙一些，使他们的邮票各增加一倍。这样一样，三个人的邮票正好都是 80 枚。原来甲有邮票多少枚？10一列以匀速行驶的火车，经过一根电线杆用了 10 秒，通过一座 600 米长的铁桥用了40 秒，这列火车全长多少米？1110 名同学的考试成绩(满分为 100 分)按分数排列名次，前 5 名平均得 90 分，后 5名的平均分数比 10 人的平均分数少 6 分，这 10
41、 名同学的平均分数是多少分？121999 年 12 月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中， “庆” 、 “澳” 、 “门” 、“归”四个汉字各代表一个数字，那么“庆”是 、 “澳”是 、 “门”是 、 “归”是 。澳 门澳 门 归 庆 澳 门 归1 9 9 9第八讲 等差数列上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如，等差数列 a1，a 2，a 3，a n 的和 Sn(a 1a n)n2；如果公差是 d，那么从 ap到 aq共有(a qa p)d1 项等。这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。例 1 从 1，2，3，100 这 100 个数中，每次取两个数，使其和大于
42、 100，共有多少15种取法？解：较小数取 1 时，较大数可以取 100，共 1 种取法；较小数取 2 时，较大数可以取 99、100，共 2 种取法；较小数取 3 时，较大数可以取 98、99、100，共 3 种取法；较小数取 50 时，较大数可以取 51、52、100，共 50 种取法；较小数取 51 时，较大数可以取 52、53、100，共 49 种取法；较小数取 52 时，较大数可以取 53、54、100，共 48 种取法；较小数取 99 时，较大数可以取 100，共 1 种取法。总共有(12349)250(149)4922502500(种)取法。例 2 计算：(101103399)(
43、9193389)。解：第一个等差数列共有(399101)21150 项，第二个等差数列共有(38991)21150 项。方法一：原式(101399)1502(91389)15021500。方法二：原式(10191)(10393)(399389)101501500。例 3 计算：1000999998997996995106105104103102101。解法一：观察发现：由于减数“998、995、104、101”的存在，使得加数失去了连续性，不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题，添上所缺的加数“998、995、104、101” ，同时把原有的减数扩大 2 倍，因为一共有(1000101)
44、1900 个加数，(998101)31300 个减数，于是：原式(1000999998102101)(998995992104101)2(1000101)9002(998101)30022165750。解法二：先对减号两边的进行计算，一共得到 300 个 1，同时，原有的 900 个加数减少到 300 个(参看解法一)于是：原式10001997110611031(1000103)30021300165750。例 4 计算 123246369100200300。解：原式(123)(246)(369)(100200300)1(123)2(123)3(123)100(123)(123100)(123
45、)(1100)1002630300。练 习 八1计算：(1351997)(2461996)？2计算：13467910121366676970？163计算：2481014162022929498100？4计算：(19941992199042)(13519911993)？5计算 (20041)(20032)(20023)(10031002)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)6在 1000 到 2000 之间，所有个位数字是 7 的自然数之和是多少？7小明从一月一日开始写大字，第一天写了 4 个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了 589 个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？
46、8袋子里共有 415 个小球，第一次从袋子里取出 1 个小球，第二次从袋子里取出 3 个小球，第三次从袋子里取出 5 个小球，第四次从袋子里取出 7 个小球依次地取球，如果剩下的球已不夠某次取了，则将余下的小球留在袋中。那么，袋子中留下多少个小球？(2004年浙江省小学数学竞赛试题)9学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78 场比赛。问：有多少人参加了选拔赛？10有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第 1993 个数的和。11计算 10095959090858580807575702015151010
