1、12018 年成人高考专升本高等数学考前复习重点分析第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、x 2
2、D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调减少( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x
3、 n , (n为实数)3.指数函数： y=a x , (a0、a1)4.对数函数： y=log a x ,(a0、a1)25.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极
4、限: Aynlim称数列 以常数 A 为极限;ny或称数列 收敛于 A.定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xfAfAxfxx )(lim)(lim当 时， 的极限：0)(fxfx)(li0左极限： Afx)(lim0右极限： 0函数极限存的充要条件：定理： AxfxfAxfxx )(lim)(li)(li 0002 无穷大量和无穷小量31.无穷大量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。X 再某个变化过程是指：, xxx 000, xxx2.无穷小量： 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。x3.无穷大量与无穷小量的关系：定理： )
5、0(,)(1li0)(li xfxff4.无穷小量的比较： lim,li若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；0lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理：若： ；， 21则： 212limli两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： （ n=1、2、3）nnzxy且： alimli则： xn2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()(xhfg4且： Axhxgx )(lim)(li00则： f0极限的运算规则若： BxvAxu)(li
6、m,)(li则： BAxvu)(lim)(li xxv )(lim BAuli)( )0(liv推论： )(21 xuxn)(lim(liliu )(lim xcxuc nn(li两个重要极限1 或 1sinlm0xx 1)(sinlm0)( xx2 ex)(li exx10li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义，0x)(xf01o 0)(limli xfyxx2o )()(00ff左连续： li00xffx右连续： )()(lim00ffx52. 函数在 处连续的必要条件：0x定理： 在 处连续 在 处极限存在)(f)(xf03. 函数在 处连
7、续的充要条件：0x定理： )()(lim)(li)()(lim00 000 xffxfxff xxx 4. 函数在 上连续：ba,在 上每一点都连续。)(xf在端点 和 连续是指：左端点右连续；)(limafxfax右端点左连续。bba+ 0 b- x5. 函数的间断点：若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(xf00)(f间断点有三种情况：1o 在 处无定义；)(xf02o 不存在；lim0x3o 在 处有定义，且 存在，)(f )(lim0xfx但 。)(li0ffx两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点： 和 都存在。)(lim0xfx)(li0xf可去间断点： 存在，但)(li0fx
8、6，或 在 处无定义。)()(lim00xffx)(xf02o第二类间断点：特点： 和 至少有一个为，)(lim0xfx)(li0xf或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点： 和 至少有一个为)(li0xfx)(lim0xf函数在 处连续的性质01. 连续函数的四则运算：设 ，)()(lim00 xfxfx )()(li 00 xgx1o )()()()(li0 fgfx 2o )()()(li 000 xgfxfx 3o )()(lim00xgffx )(lim0x2. 复合函数的连续性：)(),(),( xfyxufy )lili 0)(000 fuxxux 则： (lim)(lim00
9、0 xfffxx3. 反函数的连续性：)(),(),( 001xfyxfxfy lim)lim11000 yffyx 7函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,)(xf,bay y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b xa) 有界定理：在 上连续 在 上一定有界。)(f,ba)(xf,ba3.介值定理：在 上连续在 内至少存在一点)(xf,),(，使得： ， cf)(其中： Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm80 a 1 2 b x推论：在 上 连 续 ， 且 与 异 号 在 内 至 少 存
10、 在 一 点 ， 使 得 ：)(xf,b)(af)(f),(ba。0b) 初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数： 在 的某个邻域内有定义，)(xfy0xfxx )()limli 0000)()(li0ffx00)(0xxdyfy2左导数： 00)()(lim)(0xfffx右导数： 00)()(li)(0ffxfx定理： 在 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则： )(lim)(00xfxf（或： ）li0x3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续)(f0)(xf04. 函数可导的充要
11、条件：定理： 存在 ，)(00xfyx )()(00ff且存在。5.导函数： ),(f ),(ba在 内处处可导。 y )(xf,ba )(0xf )(xf96.导数的几何性质： y是曲线 上点 )(0xf )(xfy x处切线的斜率。 o x0 x,M求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuv)（2o （3o 2vv )0(v3.复合函数的导数：)(),(),( xfyxufy ，或 dx )( xf 注意 与 的区别：)(f)(x表示复合函数对自变量 求导；表示复合函数对中间变量 求导。)(xf )(4.高阶导数： ),(,)3(xfxff或4,2)()1( nfnn函数
12、的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分： 在 的某个邻域内有定义，)(xf)(xoAy其中： 与 无关， 是比 较高)( x阶的无穷小量，即： 0)(lim0x则称 在 处可微，记作：)(fyAd10dxAdy)()0(x2.导数与微分的等价关系：定理： 在 处可微 在 处可导，)(f )(f且： x3.微分形式不变性：dufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分 都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理: 满足条件:)(xf.0)(,).()(3;,210 fbabfaf使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在 上
13、 连 续 ；在y )(f)(xf)(xfa o b x a o b x2.拉格朗日定理： 满足条件:)(fabffba)()(,),(210 ， 使 得 ：在 一 点 内 至 少 存在内 可 导 ；在 上 连 续 ，在罗必塔法则：（ 型未定式）,0定理： 和 满足条件：)(xf)(g111o ；）或）或 (0)(limxgfax2o在点 a 的某个邻域内可导，且 ；0)(xg3o ）（ 或,)(li)(Axgfax则： ）（ 或 ,)(lim)(li)() Axgffaxax注意：1 o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是 型或 型
14、时，不可求导。03o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o若 和 还满足法则的条件，)(xf)(g可以继续使用法则，即： ）（ 或 Axgfxgfxgf aaax )(lim)(li)(lim)()()(5o若函数是 型可采用代数变,0形，化成 或 型；若是 型可0,1采用对数或指数变形，化成 或 型。0导数的应用1 切线方程和法线方程：设： ),(),(0yxMfy切线方程： 0f法线方程： )0(),()100 xfxfy2 曲线的单调性：1 ),(0)(baxf 内 单 调 增 加 ；在 ),()baf内 单 调 减 少 ；在x12),(0)(baxf 内 严 格
15、 单 调 增 加 ；在 ),(ba内 严 格 单 调 减 少 。在 ,3.函数的极值：极值的定义：设 在 内有定义， 是 内的一点；)(xf),ba0x),(ba若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有：0 )()()()(0xfxffxf 或则称 是 的一个极大值（或极小值） ，0称 为 的极大值点（或极小值点） 。0x)(f极值存在的必要条件：定理：0)()(.2)(1000 xfxff存 在 。存 在 极 值称为 的驻点0x极值存在的充分条件：定理一： 是 极 值 点 。是 极 值 ；时 变 号 。过 不 存 在 ；或 处 连 续 ；在 000 )()(.3)2.1xfxfff当 渐增通过
16、时， 由（+）变（- ） ；x)(f则 为极大值；)(0f当 渐增通过 时， 由（-）变（+） ；则 为极小值。xx)(f )(0xf定理二： 是 极 值 点 。是 极 值 ；存 在 。； 00)()(.21xff若 ，则 为极大值；x)(f若 ，则 为极小值。)(0f 0x注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 ；则 在 内是上凹的（或凹的） ， （） ；baxf,)( )(xf),ba132 ；则 在 内是下凹的（或凸的） ， （） ；baxf,0)( )(xf),ba3的 拐 点 。为 称时 变 号 。过 ， )()(.1000 ff 5。曲线的渐近线：水
17、平渐近线：的 水 平 渐 近 线 。是或若 )()(limxfAyxfx 铅直渐近线： 的 铅 直 渐 近 线 。是或若 )()(li xfCxfCx第三章 一元函数积分学3.1 不定积分一、 主要内容重要的概念及性质：1原函数：设： DxFxf),(),(若： 则称 是 的一个原函数，)()(f并称 是 的所有原函数,CxFx其中 C 是任意常数。2不定积分：函数 的所有原函数的全体，)(xf称为函数 的不定积分；记作：CFdf)()(其中： 称为被积函数；x称为被积表达式；f)(称为积分变量。3. 不定积分的性质：14 )()(xfdf或： d Cff)()(或： xd dxffxfn)(
18、)()(21dxfn)(2分项积分法 (k 为非零常数)dxfkdxkf)()(4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法：（又称“凑微元”法）dxf)()()(xdf凑 微 元CtFtfxt )()()(令 Fxt)(回 代常用的凑微元函数有：1o )(1)(baxdad)0,(aa为 常 数 ，2o )()1(11bxdmxmm 为 常 数 ）（3o ()(baeddex),0,lnxax4o )(1d5o )(sincos)ssi xdxxcot(tanec22xd6o )(ars)rcsi12 xdx15)cot()(arctn12 xardxdx2.第二换元法： )()()()( td
19、tfdxft 令 CtFdft)()(xxt)(1)(1反 代第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o 0, tntx为 偶 数 时(当被积函数中有 时)x2o 2),cos(,si tata或(当被积函数中有 时)23o )0(,0),cot(,tan 22 ttaxx或(当被积函数中有 时)24o )0(,0),cs(,sec 22tttaxtax或(当被积函数中有 时)2分部积分法：1. 分部积分公式：vdxudxvu2.分部积分法主要针对的类型：16 xdPxdPcos)(,sin)( e4 xdl)( xdPxdParcos)(,arcs
20、in)(tt bdebeaxaxcos,si其中： （多项式）nnnaP10)(3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令 ，uxP)(其余记作 dv;简称“三多选多 ”。在指数函数乘多项式中，令 ，)(其余记作 dv;简称“指多选多 ”。在多项式乘对数函数中，令 ，uxln其余记作 dv;简称“多对选对 ”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作 dv;简称“ 多反选反” 。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作 dv;简称“ 指三任选” 。简单有理函数积分：1. 有理函数： )()(xQPf其中 是多项式。x和2. 简单有理函数： 21)()(,1)()( xP
21、fxPf )()(baf xPf2)()173.2 定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b xiiiba ni iinx xfdf ,)()( 110lm定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号， yx 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x2. 定积分存在定理： baxfy,)(设 ：若：f(x) 满足下列条件之一 :;,)(.2;,1 点上 有 有 限 个 第 一 类 间 断
22、在连 续 ， baxf上 可 积 。在则 ： 上 单 调 有 界在f,)(3o若积分存在，则积分值与以下因素无关：上 任 意 选 取 。可 以 在的 选 取 无 关 ， 即与 点 可 以 任 意 划 分上 的 划 分 无 关 ， 即与 在即与 积 分 变 量 形 式 无 关 ， iiii babaxba dtfdf,13 ;,2 )()(1 有 关 。与 区 间积 分 值 仅 与 被 积 函 数 )(baxf3. 牛顿莱布尼兹公式：18)()()()(,aFbxFdffxbaba 则 ： 上 的 任 意 一 个 原 函 数 ：在是 连 续 函 数若牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是
23、将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理：)()()(,)()(,xfdtfxbafbatxf 且 ： 上 的 一 个 原 函 数 ，在是则 ： 连 续 ，若5. 定积分的性质：上 可 积 ， 则 ：在设 ,)(),(bagfbaba dxfkdxk(1bbaff)()(20)(4 )(3 dxf dxgxga baab )()(5 bcdffbccaba dxa16y y yf(x) g(x)1 f(x)0 a c b x 0 a b x 0 a b x19dxgdxfbabba)()(,7则 o 上 的 最 小 值 和 最 大 值 。在分 别 为其 中
24、估 值 定 理 ： baxfMmbba,)(, )(8y yM f(x) f(x) m0 a b x 0 a b x)()( ,9abfdxf baba 使 则 ： 必 存 在 一 点连 续若 积 分 中 值 定 理 ：o（二）定积分的计算：1. 换元积分)(,)( txbaxxf ，连 续 ，设,tt连 续 ，若,)(,)(,)(ba b变 到单 调 地 从时 ，变 到从且 当dttfdxfba )()(则 ：2. 分部积分babavduudv203. 广义积分00 )()()( dxfdxfdxf4. 定积分的导数公式)()(1xfdtfxax（o)()()(2)( xftfxxa o)(
25、)()()()(3 1122)(21 xffdtfxx o(三)定积分的应用1. 平面图形的面积: )(,0)(1 baxaxfy 由o与 x 轴所围成的图形的面积 y f(x)badfs)( )(),221 gfxgyxy 由odfsbba)()(,所 围 成 的 图 形 的 面 积与 )(,321 yxyx由odyyscdc)()(所 围 成 的 图 形 的 面 积与 ：求 平 面 图 形 面 积 的 步 骤.4. 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限；. 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积 bxaxfy,0)(1与曲 线o及 x 轴所围图形绕
26、 x 轴旋转所得旋转体的体积：dfVbax)(2210 a b xdycyx,0)(2与由 曲 线 o及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：dVdc)(2第四章 多元函数微积分初步4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：1. 多元函数的概念c) 二元函数的定义：Dyxfz),(,f定 义 域 ：d) 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 （而一元函数是平面上的曲线）2. 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 ),(10yx可 除 外 ）（ 点22Ayxfyx),(lim20 。极 限 存 在 ， 且
27、 等 于在则 称 Ayfz),(),(02. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件： 的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 ),(10yx),(,lim200 yxffyx 处 连 续 。在则 称 ),(),(0yxfz.偏导数： 点在定 义 ),(),(:0yxf xyfyfyxfx ),(),lim),( 0000 yyffyfyy ),(),(li),( 0000的 偏 导 数 。处 对 在分 别 为 函 数yx xff, ),(),(),( 00 处 的 偏 导 数 记 为 ：内 任 意 点在 ),()( yxDfzxx zfy, yy zyxff ),(),(.全微分：1.
28、定义：z=f(x,y) ),(),( yxfyxfz 若oBA） 是 比（无 关 ，、与、其 中 ， y较 高 阶 的 无 穷 小 量 。22xyBxAydfz ),(:则23在点(x,y)处的全微分。),(yxfz是3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),( Dyxffyx 连 续 ，定 理 ： 若 处 可 微 且在 点则 ： ,xzdyfdyfdy)()(.复全函数的偏导数：1. ),(),(),( yxvyxuvfz 设 ：,xvzxuzx则 ： yvzyzy2. )(),(),( xvxuvuf 设 ,ydxvydxudx.隐含数的偏导数：1. 0),(,0),( zFyfzyF
29、且设 zyzxFz,则2. 0),(,0),( yxfyF且设 yxd则24.二阶偏导数： )(),(2xzzyxf )(),(2yzyzfy )(),( xzxzfxy )(),(2yyfyx的 连 续 函 数 时 ，为和结 论 ： 当 xfxfyx,),( ),(,yy则 ：.二元函数的无条件极值1. 二元函数极值定义：某 一 个 邻 域 内 有 定 义 ，在设 ),(),(0yxz),(),(, 0yxzyzz或若)(),(0 值或 极 小的 一 个 极 大是则 称 yy值 点 。或 极 小的 一 个 极 大是称 )(,0xzx极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
30、2.极值的必要条件： ),(),(),( 00 yxyxyxfz 有 极 值 ， 且 在在 点若 两个一阶偏导数存在，则： ),(0),( 00 ffyx ，的 点使 ),(1 0yxxy 的 驻 点 。称 为 )(,fz的 必 要 条 件 ，定 理 的 结 论 是 极 值 存 在2而非充分条件。例： 12xyz25002yxyzxyx解 出 驻 点1),( 1),0(0, 2yzyx时 ，当 x时 ，当驻点不一定是极值点。e) 极值的充分条件： 的 某 个 领 域 内在设 ： 函 数 ),(),(0yxyfy为 驻 点 ，有 二 阶 偏 导 数 ， 且 0),(),(),( 0020 yxf
31、yfyxfp yxy 若 ： 为 极 小 值 。时 ， 为 极 大 值 。时 ，且当 ： ),(),(0 00ffx不 是 极 值 。当 ： ),(,0yfp不 能 确 定 。当 ： ,求二元极值的方法： 一 阶 偏 导 数 等 于 零 ，求 一 阶 偏 导 数 ， 令 两 个1解 出 驻 点 。 判 断 驻 点 是 否 是根 据 极 值 的 充 分 条 件 ，求 出 ,2p极值点。 极 值 。若 驻 点 是 极 值 点 ， 求 出326二倍角公式：(含万能公式) 21cosin2si tg 22222 1sin1csico tg 21tgtcoin22tg2cos1cs2第五章排列与组合（1
32、）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。排列：从 n 个不同元素里，任取 个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从 n 个不同元)1(nm素里取出 m 个元素的一个排列，计算公式： 1!0,)!(!)1().2)(1( nPmnmnnnnP 规 定27组合：从 n 个不同元素里，任取 个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的)1(nm一个组合，组合总数记为 ，计算公式：）或 （ nmnC 10)!(! )1().2)(1( nCmnmmnnnmnC 规 定 11),2(
33、nCnmnCmnCn组 合 的 性 质 ：mPnPnCmPnCmnP 或第六章概率论符号 概率论 集合论样本空间 全集不可能事件 空集基本事件 集合的元素A 事件 子集A 的对立事件 A 的余集事件 A 发生导致事件 B 发生 A 是 B 的子集A=B A 与 B 两事件相等 集合 A 与 B 相等事件 A 与事件 B至少有一个发生 A 与 B 的并集事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集A-B 事件 A 发生而事件 B 不发生 A 与 B 的差集事件 A 与事件 B 互不相容 A 与 B 没有相同元素由于随机事件都可以用样本空间 中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用
34、集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示：289.完备事件组 n 个事件 ，如果满足下列条件：（1） ；（2） ，则称其为完备事件组。显然任何一个事件 A 与其对立事件 构成完备事件组。10.事件运算的运算规则：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律率的古典定义定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为 。概率的基本性质与运算法则性质 1.0P
35、(A)1特别地，P()=0，P()=1性质 2.若 ，则 P(B-A)=P(B)-P(A)性质 3.（加法公式） 对任意事件 A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 。推论 1.若事件 A，B 互不相容（互斥） ，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 推论 2.对任一事件 A,有29推论 3.对任意事件 A，B，C，有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)条件概率、乘法公式、事件的独立性条件概率定义 1：设有事件 A，B，且 P(B)0,称类似地，如果 P(A)0，则事件 B 对事件 A 的条件概率为概率的乘法公式乘法
36、公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件 A,B,C,有事件的独立性一般地说, P(AB)P(A) ，即说明事件 B 的发生影响了事件 A 发生的概率。若 P(AB)P(A)，则说明事件 B 的发生在概率意义下对事件 A 的发生无关,这时称事件 A，B 相互独立。定义：对于事件 A，B，若 P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件 A 与事件 B 相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行 n 次试验，每次试验中事件 A 可能发生或可能不发生，且事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为一维随机变量及其概率分布（一）随机变量1.随机变量定义：
37、设 为样本空间，如果对每一个可能结果 ，变量 X 都有一个确定的实数值 与之对应，则称 X 为定义在 上的随机变量，简记作 。2.离散型随机变量定义：如果随机变量 X 只能取有限个或无限可列个数值，则称 X 为离散型随机变量。（二）分布函数与概率分布1.分布函数定义：设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则函数 称为随机变量X 的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：（2）F(x)是 x 的不减函数，即对任意30（4）F(x)是右连续的，即（5）对任意实数 ab,有 PaX b=F(b)-F(a)2.离散型随机变量的概率分布则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布（或概率函数或分布列）
38、。离散型随机变量 X 的概率分布也可以用下列列表形式来表示：3.分布函数与概率分布之间的关系若 X 为离散型随机变量，则 。随机变量的数字特征1.数学期望（1）数学期望的概念定义：设 X 为离散型随机变量，其概率函数为若级数 绝对收敛，则称 为 X 的数学期望，简称期望或均值，记作 EX，即（2）数学期望的性质若 C 为常数，则 E(C)=C若 a 为常数，则 E(aX)=aE(X)若 b 为常数，则 E(X+b)=E(X)+b若 X,Y 为随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差（1）方差的概念定义：设 X 为随机变量，如果 存在，则称 为 X 的方差，记作 DX，即方差的算术平方根称为均方差或标准差，
