1、常微分方程一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的一阶微分方程形如 的方程，称为可分离变量的微分方程dygxf)()(将上式两边同时积分即可求得通解即Cdygxf)()(其中 、 在所考察的范围内是连续函数若给定了初始条件，)(xfyg则可求得方程的特解(2) 齐次微分方程形如 的方程，称为齐次微分方程xyfd令 ，则 ，从而有 ，原方程化为可分vvd)(vfdx离变量的方程：，xvf)(从而两边积分求得通解(3) 一阶线性微分方程形如 的方程，称为一阶线性微分方程分两步求)()(xQyP解 求对应的齐次方程 的通解0)(yxPd将 分离变量得 ，从而通解0)(yxPd d为 xCy)(e 用常
2、数变易法求非齐次方程 的通解)()(xQyP设 ，代入原方程求得 ，所以dxPCy)(e CdxQxCxP)(e)()(为方程 的通解dxPdxQx)()()( y注意 在具体解题时，可直接代上述公式求一阶线性微分方程的通解若一阶线性微分方程的标准型 ，则其通解)()(xQyPddxPCQxy)()( ee)(4) 贝努利方程形如 的方程，称为贝努利方程nyxPdxy)()()1,0令 ，则原方程化为nZ1，)()(xQnZxpndxZ这是关于 的一阶线性方程，代入公式求通解即可(5) 可降阶的高阶微分方程 型的微分方程)(xfyn对 两边积分，有，11)()(Cdxfxyn，22依次进行 次
3、积分即得通解n 型的微分方程yxf,方程的特点是右端不显含 ，令 ，则 ，于是原方程ypy化为 ，是关于 的一阶方程，若其解为 ，即),(pxf p ),(1Cx，积分求解即可1Cdxy 型的微分方程yf,方程的特点是右端不显含自变量 ，令 ，则xpy，于是原方程化为 ，是关于 的一dypxydpy ),(fdp阶方程，若其解为 ，即 ，再积分求解即可),(1C,1Cypx二阶线性微分方程关于二阶常系数线性微分方程的解法：1线性齐次方程 的通解0cyba解法 先解特征方程 的根设特征根为2r，分以下三种情况：acbr242,1（1） 当 时，特征方程有两个相异的实根0，则方程的通解为cbar4
4、22, xrxrCy21e（2） 当 时，特征方程有重根 ，则方程的通解为02c abxrye21（3） 当 时，特征方程有一对共轭的复根042acb，abcar 2i42i2,1 则方程的通解为 xCyxsinoe1定理 若 为齐次方程 的两个解，则21,y0cb21yCy亦是齐次方程的解，其中 是任意常数又若 为线性无关时，21, 21,y则 是齐次方程的通解21yCy2线性非齐次方程 的通解)(xfcyba定理 设 是非齐次线性方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方*y y程的通解，则其和 *y为线性非齐次方程的通解具体解法：（1）先求 的特解 ，由下表通过待定系数法可得)(xfcyba
5、 y自由项 )(xf右端项与特征根 特解形式，其中ePnx为 n 次多)(项式 不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根)(e2xGnnxxPnxsi)(e或 xnxcos)(e不是特征方i程的根是特征方程i的根xTxQxnnsi)(cos)(e其中 均为 次多项式)(,),(,xTQxGPnn（2）再求对应线性齐次方程的通解，根据定理相加即可常微分方程*典型例题例 1 求微分方程 的通解和特解。102xyyd分析：该方程看似复杂，其实右端项因式分解后为可分离变量的微分方程。解：方程变形为 2yd分离变量 xy12两边积分 dd2得通解 ，即cxy21arctn cxy21tan将
6、初始条件 代入上式得 ，故原方程的特解为0x4 421tanxy例 2 求微分方程 的通解2y解：方程变形为 xd该方程为齐次微分方程，得 （1）xy2令 ，则 ，uxyxduy代入（1）式 得 d21dxu212两边积分得 （2）cxulnlnarct将 代入（2）式得原方程通解xyucyxy2lnarct例 4 求微分方程 的通解。251xyd分析：该方程为一阶线性非齐次微分方程，有两种解题方法。解法一：利用常数变易法求解。先求对应的齐次微分方程 的通解012xyd分离变量 12xyd两边积分 dcxyln1l2ln齐次微分方程的通解为 21xy用常数变易法，令非齐次微分方程的通解为 21
7、xcy上式求导得 212xcxcdy代入所给微分方程 2511222 xxc化简得 21xc所以 d21cx23原方程通解为 y232解法二：利用公式求解。 2511xQxP微分方程的通解为 cdxeeyPdP cdxexedx 12512xx1ln21ln25cd2225xx2112c232例 4 yxd1分析：一般地，一阶微分方程中变量 ， 地位是同等的，可以将 看作是 的函数，也xyyx可以将 看作是 的函数。有时必须将 看作是 的函数才易求解微分方程。解：方程变形为 yxd即 ，该方程为一阶线性非齐次微分方程yxQP1微分方程的通解为 cdyeexPdyPdy1ceyy1cey例 5
8、求方程 的通解02x解：该微分方程为伯努利方程 xyd2令 ，则2yzdxyz代入方程得 z24xQxP则 cdeezPdxx 442cee22xx2212xce所以原方程的通解为 212xcey例 6 求微分方程 的通解0)4()5(x分析：该方程为高阶微分方程，可以采用作变换法，达到降阶的目的。解：令 ，则)()4(Py)()5(xPy代入方程得 ，该方程为可分离变量微分方程0x分离变量 d两边积分得 ,化简为 ，即1lnlcxPxCP1xy1)4(两端积分得 21Cy连续积分三次得 542325160Cxx故微分方程的通解为 5423251 ddy例 8 求微分方程 的通解3)(分析：这
9、是一个既不显含自变量 ，也不显含因变量 的可降阶方程。用第二种方法较为xy简单。解：令 ，则)(yp dyp代入方程得 )1(2d若 ，则0p2py解得 ，即 ，该方程为可分离变量微分方程1arctnc)tan(1cy分离变量 dxy)t(1积分得 ，即2sinlcxecy21)sin(若 ，则0py综上可知微分方程的通解为 xecy21)si(例 9 求方程 ，当 ， 时的解。042dttss10s解：该方程为二阶常系数齐次微分方程。特征方程为 2r0)(2特征根 21r微分方程的通解为 （1）tecs21对（1）式求导 （2）t2将初始条件 , 代入(1) 、 （2）式得 ，0s1c32则
10、微分方程的特解为 te31例 10 求方程 的通解。xyy23分析：该方程为二阶常系数线性非齐次方程，属 类型。xmePxf)()(解 ：对应齐次方程 的特征方程为 ，解得特征根为023yy 0232r，从而齐次方程通解为 .2,1r xxeCY21因为 ，且 是特征方程的单根，则 。故设)()(2,mxef 1m，把 及 的各阶导数代入方程 ，得bay*y xey23，解得 ，则 .x212b,axey2)(*原方程通解为 xxxeCy221)(*【例】将下列二阶常系数线性非齐次微分方程设出一个特解 的*y形式，并说明理由（1） （2） xy4e365xye12（3） （4）sin18 co
11、s解 （）自由项 ，特征根为 ，而 不是特征根，xf4e3)(3,12r4于是设特解形式为xAy4*e（）自由项 ，特征根为 ，而 是单根，1e)(2xf 1,21r于是设特解形式为xCBAxye2*（） 自由项 ，特征根 ，3i 不是特征方程xf3sin)( 5,321r的特征根，于是设特解形式为xBAy3sinco*（）自由项 ，方程右端为xxf 412s)(之和 ,fxf4co,1)(2由可加性，设 ，其中 ，而特征方*21*yxCByA4sinco,*2*1程的根为 ，而对 的方程， 是特征方程的单根，,021r)(xf 0对 的方程 不是特征方程的根，于是设特解形式为xf4cos)(
12、2iCBAyn*求解 ， xye(0)1,()0.y该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.特征根为 相应齐次方程的通解为1,23i1223(cossin).xyexx设非齐次方程的一个特解为 ，代入方程得xyAe3.y1.A非齐次方程的通解为 21231(cossin).3x xyexe令 ，由初始条件 0x12(0),310.ycc 12,0.3c因此 231()cos().xxyee*求解：（1） udxuln（2） y2sita（3） 5xd解：（1） uuln分离变量 dx1l两边积分 uln凑微分 dxd1l1l得 cxulnnlc解：(2) xy2sintaQxPtn微分方程的
13、通解为cdxeQeyPdxP tantan2siceexxcoslcosl dsicxin2cossc2（3） 5xyd解：等式两边同除以 ，方程变形为 （1）5 xyd45令 ，则4yzdxyz54代入（1）式得 （2）z方程（2）为一阶线性非齐次微分方程xQxP44则微分方程（2）的通解为 cdeezxPdxP 44cdexex44ceexx441xce41所以原微分方程的通解为 xcey441无穷级数 考察知识点复习*几何级数、P 级数、调和级数敛散性；*级数收敛必要条件；级数发散充分条件*比较判别法*比值判别法*条件收敛、绝对收敛*将函数*展为*的幂级数。*将函数*展成以*为周期的傅里叶级数(或余弦级数或正弦级数)。求傅里叶系数*求幂级数*的收敛域。求和函数。常微分方程 考察知识点复习*可分离变量的微分方程+齐次*一阶线性非齐次+伯努利*全微分方程*可降阶*二阶齐次+非齐次*应用偏微分方程 考察知识点复习*弦振动方程*热传导方程*初始条件+边界条件*分离变量法解定解问题
