1、1带电粒子在磁场中运动的最小范围问题一、磁场范围为圆形例 1 一质量为 、带电量为 的粒子以速度 从 O 点沿 轴正方向射入磁感强度为 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 处穿过 轴，速度方向与 轴正向夹角为 30，如图 1 所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从 O 点进入磁场区到达 点所经历的时间；（3） 点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由 点经半个圆周偏转到 点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到 点。可知，其离开磁场时的临界点与 点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2，过 点逆着速度 的方向
2、作虚线，与 轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于 轴上，距 O 点距离和到虚线上 点垂直距离相等的 点即为圆周运动的圆心，圆的半径 。由 ，得 。弦长 为： ，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为 的一半，即： ，面积（2）粒子运动的圆心角为 1200，时间 。（3） 距离 ，故 点的坐标为（ ，0）。点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。二、磁场范围为矩形例 2 如图 3 所示，直角坐标系 第一象限的区域存在沿 轴正方向的匀强电场。现有一质
3、量为 ，电量为 的电子从第一象限的某点 （ ， ）以初速度 沿 轴的负方向开始运动，经过 轴上的点 （ ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与 轴、 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点 O，并沿 轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过 点的速度 ；（2）该匀强磁场的磁感应强度 和磁场的最小面积 。解析：（1）电子从 点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到 点，可知竖直方向： ，水平方向： 。2解得 。而 ，所以电子经过 点时的速度为：，设 与 方向的夹角为 ，可知 ，所以30 0。（2）如图 4，电子以与 成 30进入第四象限
4、后先沿 做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿 轴向上的速度经过 点。可知圆周运动的圆心一定在轴上，且 点到 O 点的距离与到直线 上 M 点（ M 点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出 点，画出其运动的部分轨迹为弧 MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。设偏转半径为 ， ，由图知 ，解得 ，方向垂直纸面向里。矩形磁场的长度 ，宽度 。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例 1 中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场范围为三角形例 3 如图 5，一个质量为 ，带 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度 垂直于
5、BC 边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上的 N 点（ CM CN）垂真于 AC 边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：C（1）粒子在磁场里运动的轨道半径 及周期 T；（2）该粒子在磁场里运动的时间 t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；解析：（1）由 和 ，得： ， （2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由 M 点作圆周运动到 N 点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图 6 作出圆 O，粒子
6、的运动轨迹为弧 GDEF，圆弧在 点与初速度方向相切，在 F 点与出射速度相切。画出三角形 ，其与圆弧在 D、 E 两点相切，并与圆 交于 F、 G 两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知FOG60 0，所以粒子偏转的圆心角为 3000，运动的时间 3（3）连接 并延长与 交与 点，由图可知 ，点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从 AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。四、磁场范围为树叶形例 4 在 平面内有许多电子（质量为 、电量为
7、 ），从坐标 O 不断以相同速率 沿不同方向射入第一象限，如图 7 所示。现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于 轴向 正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图 8 所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆 O1和圆 O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆 O2在 轴上方的 1/4 个圆弧 odb 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R 为半径的圆弧 O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于 x轴向右
8、飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线 O1O2）向上平移一段长度为 的距离即图 9 中的弧 ocb 就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域积： 。还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度 V0与 x 轴夹角为 ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（ x， y），从图 10 中看出， ，即 （ x0， y0），这是个圆方程，圆心在（0， R）处，圆的 1/4 圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。
