1、1、常用函数1)求解常微分方程的命令 dsolve.dsolve(常微分方程)dsolve(常微分方程，待解函数，选项)dsolve(常微分方程，初值，待解函数，选项)dsolve(常微分方程组，初值，待解函数，选项)其中选项设置解得求解方法和解的表示方式。求解方法有 type=formal_series(形式幂级数解)、type=formal_solution(形式解)、type=numeric(数值解)、type=series(级数解)、method=fourier(通过 Fourier 变换求解)、method=laplace(通过 Laplace 变换求解)等。解的表示方式有 expl
2、icit(显式)、implicit(隐式)、parametric(参数式)。当方程比较复杂时，要想得到显式解通常十分困难，结果也会相当复杂。这时，方程的隐式解更为有用，一般也要简单得多。dsolve 为标准库函数。2)求解一阶线性常微分方程的命令 linearsol.在 Maple 中求解一阶线性方程既可以用 dsolve 函数求解，也可以用 Detools 函数包中的 linearsol 函数求解。linearsol 是专门求解线性微分方程的命令，使用格式为:linearsol(线性方程，待解函数)linearsol 的返回值为集合形式的解。3)偏微分方程求解命令 pdsolve.pdsol
3、ve(偏微分方程，待解变量，选项)pdsolve(偏微分方程，初值或边界条件，选项)pdsolve 为标准库函数，可直接使用。如果求解成功，将得到几种可能结果：方程的通解；拟通解(包含有任意函数，但不足以构造通解)；一些常微分方程的集合；数理方程与逻辑函数期中考试论文22、方法1)一阶常微分方程的解法a 分离变量法I 直接分离变量法。如 ，方程右端是两个分别只含 x 或 y 的函数因式乘()dyfxg积，其通解为 。()fCgII 换元法之后再用分离变量法。对于以 为中间变量的函数，如 ，令 u= ,yx()dygxyx则原方程变为 ，再用分离变量法可得 。()dux()uCgb 常数变易法I
4、 对于线性非齐次方程来说，线性非齐次方程的通解=它所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。如 y+P(x)y=f(x)，若 f(x) 0,y+P(x)y=0 为一阶线性齐次方程，其通解为，令 代入非齐次方程，求出 C(x),再的特解。()PxdyCe()PxdyCeII 对于伯努利方程(非线性一阶)来说，先将其化为线性。如 ,两端除以 ，得 ，令 z= ,则原()01)nfny1()()nnPxyf1ny方程可化为 。1(dzPxf2)二阶线性常微分方程的解法a 二阶线性齐次方程,y+p(x)y+q(x)y=0若 与 是方程的解，且 (即线性无关)，则1()yx2 12()yx常 数是通
5、解，考虑常系数，即 p.q 都是常数，y+py+qy=0。其特征12()cyx方程为 。解为 ， 。20kpq214pqk224pqkI 0，两个不等实根，且 常数时， 。2421xke12kxye数理方程与逻辑函数期中考试论文3II eq:=diff(y(x),x)=sin(x)/sin(y(x); :=eqx()y()sinx DEtoolsodeadvisor(eq); _parble dsolve(eq); ()yx()cosx_C1 dsolve(eq,implicit); s)y0 dsolve(eq,y(0)=1); ()yx()arcox1(cos dsolve(eq,y(0)
6、=1,numeric,range=-22);p) .end prkf45_ plotsodeplot(%);数理方程与逻辑函数期中考试论文52、齐次方程例 2: tan()dyyxx eq:=D(y)(x)=y(x)/x+tan(y(x)/x); :=eq()Dyxtan()yx DEtoolsodeadvisor(eq); ,_homgnuscl A_dlembrt dsolve(eq); ()yx()ariC1x dsolve(eq,y(1)=1); csin dsolve(eq,y(1)=3); ()yx()ari3x dsolve(eq,y(1)=3,numeric,range=16)
7、;poc .end prockf45_ plotsodeplot(%);3、线性方程 sin():dyxy例 eq:=D(y)(x)=(sin(x)-y(x)/x; :=eq()Dyxsin()yx DEtoolsodeadvisor(eq); _liear dsolve(eq);数理方程与逻辑函数期中考试论文6()yx()cos_C1 DEtoolslinearsol(eq); ()() dsolve(eq,y(1)=2,numeric,range=-55);proc .end prockf45_x plotsodeplot(%);4、Bernoulli 方程126dyxy例 ： eq:=D
8、(y)(x)=6*y(x)/x-x*y(x)2; :=eq()Dyx6x()y2 DEtoolsodeadvisor(eq); ,_homgnuscla G_rtionalBeruli dsolve(eq); ()yx86C1 plotsodeplot(dsolve(eq,y(1)=1,numeric,range=-5-1);数理方程与逻辑函数期中考试论文7第二部分:二阶线性常微分方程1、二阶常系数线性齐次方程例 5:y“+2y+y=0 eq:=diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+y(x)=0; :=eq2x()yx()y0 dsolve(eq); ()_C1e()x2
9、()x DEtoolsconstcoeffsols(eq); ,()x plotsodeplot(dsolve(eq,y(0)=0,D(y)(0)=1,numeric,range=-22);数理方程与逻辑函数期中考试论文82、二阶常系数线性非齐次方程例6: 2“3yx eq:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)=2*x2-3; :=eq2x()yx()23 dsolve(eq,y(x); ()32e()x_C1 plotsodeplot(dsolve(eq,y(0)=0,D(y)(0)=1,numeric,range=-33);3、Euler 方程( 变系数)例7: y“+
10、5xy+13y=02x eq:=x2*diff(y(x),x$2)+5*x*diff(y(x),x)+13*y(x)=0; :=eq x2()y5x()y13()x0 DEtoolsodeadvisor(eq); ,_EmdenFowlr dsolve(eq); ()yxC1()si3lx2C()cs3lnx2 plotsodeplot(dsolve(eq,y(1)=0,D(y)(1)=1,numeric,range=15);数理方程与逻辑函数期中考试论文9第三部分:偏微分方程1、波动方程例8: .xtu pde:=diff(u(x,t),x$2)=diff(u(x,t),t$2); :=pd
11、e2x()u,t2(),xt pdsolve(pde); (),t()_F1t()t这里给出了通解，其中_F1,_F2是任意两个具有二阶连续导数的一元函数。2、热传导方程例9: 0,txut pde:=diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x$2); :=pdet()u,x2(),xt pdsolve(pde);()u,xt(_F12t :=pde()D1z,xy,()D2z,xy0 PDEtoolsPDEplot(pde,0,y,sech(y),y=-55);四、总结1、解微分方程按照不同的标准可以分为很多种类：按照阶数的不同：一阶，二阶，高阶；按照是否线性：线性，非线性；按
12、照未知数个数：常微分，偏微分；按照是否齐次：齐次，非齐次；2、各种常微分方程具体的解法：1)若一阶微分方程具有形式 ，则称为可分离变量方程。一般可以通过对()dyfxg方程 两边分别积分，得到方程的隐式解。()dyfxg数理方程与逻辑函数期中考试论文112)若常微分方程具有形式 ，则称为齐次方程。通常用变量代换 将齐次()dyfx yux方程转换为可分离变量方程 。u3)形如 y(x)+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，在 Maple 中既可以用dsolve 函数求解，也可以用 Detools 函数包中的 linearsol 函数求解。4)形如 的微分方程称为 Bernoul
13、li 方程。当 时，变量代换()ndypxqy 0,1n将 Bernoulli 方程转化为线性方程 。1nu (1)()dunpxuqx5)形如 ，其中 为常数的微分方程称为 n 阶常系数线()(1)()nnyccyfx1,c性微分方程。当 f(x)=0 时，称为齐次方程；当 f(x) 0 时，称为非齐次方程。6)齐次 Euler 方程的一般形式为： ，其中()1()10nnnnaxyaxy都是常数。求解方法是做变换 ，求出 y(t),然后再将 t=lnx 代入，即可12,nate得到原方程的解 y(x)。3、偏微分方程的形式1)一维波动方程：22(,)(,)uxtuxta2)二维波动方程： 2()0txy3)泊松方程： 2u4)拉氏方程： 05)一维热传导方程：2uatx6)二维热传导方程：2()ty7)三维热传导方程：222()uuatxz在使用 Maple 解决微分方程的求解与作图时，要分清各种类型的方程分别用什么方法。比如，如果是一阶线性方程，则可以用 dsolve 或 linearsol 均可以求解，而如果是偏微分方程，那么必须用 pdsolve 才能求解，而对于一般的常微分方程通用方法是用 dsolve 求解。同样地，画图的命令中，odeplot 是常微分方程数值解作图命令，PDEplot 是偏微分方程数值解作图命令。数理方程与逻辑函数期中考试论文12
