1、1 初二数学“动点问题”分析所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察
2、图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等一、建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,
3、由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?1.应用勾股定理建立函数解析式。2.应用比例式建立函数解析式。3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。二、动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）以动态几何为
4、主线的压轴题。1.点动问题。 2.线动问题。3.面动问题。（二）解决动态几何问题的常见方法有:1.特殊探路，一般推证。2.动手实践，操作确认。3.建立联系，计算说明。（三）本大类习题的共性：1代数、几何的高度综合（数形结合） ；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。三、双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想
5、象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点，1.以双动点为载体，探求函数图象问题。2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。3.以双动点为载体，探求存在性问题。4.以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 ,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。四：函数中因动点产生的相似三角形问题 五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考
6、察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。2 例 1.如图，已知在矩形 ABCD 中，AD=8，CD =4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动设点 E 移动的时间为 t（秒） （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）求当
7、t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当 t 为何值时，BEC= BFC例 2. 正方形 边长为 4， 、 分别是 、 上的两个动点，当 点在 上运动时，保持ABCDMNBCDMBC和 垂直，MN（1）证明： ；Rtt （2）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动到什么位置时，四xyx边形 面积最大，并求出最大面积；（3）当 点运动到什么位置时 ，求此时 的值RttA xAB CDEFODMAB CN3 例 3.如图，在梯形 ABCD 中， 动点 从 点354245ADBCDAB ， ， ， ， MB出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度
8、的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个NCD单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 秒t（1）求 的长。BC（2）当 时，求 的值MNA t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tNC例 4.如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA3cm，OB4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设 P、Q分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t（0t4）（1）求 AB 的长，过点 P 做 PMOA 于 M，求出 P 点的坐标（用t 表示）（2）求OPQ 面积 S（cm 2） ，与运动时间 t（
9、秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当 t 为何值时，OPQ 为直角三角形？（4）若点 P 运动速度不变，改变 Q 的运动速度，使OPQ 为正三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值.yAOMQPB xA DCB MN4 动点问题专项训练1如图，在矩形 中，AB=2 ， ，动点 P 从点 B 出发，沿路线 作匀速运动，那ABCD1BCCD么 的面积 S 与点 P 运动的路程 之间的函数图象大致是（ ） xD CPB A O311 3SxAO11 3Sx O 3Sx3O11 3SxB C D22如图 a，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，
10、沿 BC，CD 运动至点 D 停止设点 P 运动的路程为 ，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 b 所示，则BCD 的面积是（ ）xA3 B4 C5 D6图 a2O 5 xA BCPD图 b3如图，ABC 和的DEF 是等腰直角三角形， C=F=90，AB=2.DE=4点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E在同一条直线上，将ABC 沿 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止设点 B,D 之间的距离为 x，DEABC 与DEF 重叠部分的面积为 y，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（ ）4如图，点 G、 D、 C 在直线 a 上，点 E、F 、 A、 B
11、 在直线 b 上，若 从如图所示的位置aRtGEF ， 出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合运动过程中 与矩形 重合部分的面积 ABCD（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ） G D CE F A B ba（第 4 题图）stOAstOB CstODstO5 5 如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 ABCD的边上有一动点 P沿 ABCDA运动一周，则 P的纵坐标 y与点 走过的路程 s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）6如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 ，xABP 的
12、面积为 y，如果 y 关于 的函数图象如图 2 所示，则矩形 ABCD 的面积是( )xA10 816 C. 20 D367如图，三个大小相同的正方形拼成六边形 ABCEF，一动点 P从点 A出发沿着 B C D E 方向匀速运动，最后到达点 E.运动过程中 P的面积（ s） 随时间（ t） 变化的图象大致是（ ）8如图，点 A、B、C、D 为圆 O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿 O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为 秒, APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是( )t1 2 3 412ysO 1 2 3 412ysO s 1 2
13、 3 412ysO1 2 3 412yOA B C DstA。OstB DstCt（第 7 题图） CE.F. P.6 9 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图 4 所示，设小矩形的长和宽分别为 x、y，剪去部分的面积为 20，若 2x10，则 y 与 x 的函数图象是（ ）10如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 ABO的路径运动一周设 OP为 s，运动时间为 t，则下列图形能大致地刻画 s与 t之间关系的是（ ）11.锐角ABC 中，BC6,S ABC =12 两动点 M、N 分别在边 AB、AC 上滑动，且 MNBC，以 MN 为边向下作
14、正方形 MPQN，设其边长为 x，正方形 MPQN 与ABC 公共部分的面积为 y（y 0）,当 x ，公共部分面积 y 最大，y 最大值 ,12. 如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合） ，Q是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合） ，过 P 作PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1）当BQD=30时，求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由PAO BstOsO t Ost
15、 OstABCD7 13.如图，已知双曲线 ，经过点 D（6，1） ，点 C 是双曲线第三象限上的动点，过 C 作 CAx 轴，过kyxD 作 DBy 轴，垂足分别为 A，B，连接 AB，BC（1）求 k 的值；（2）若BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式；（3）判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由14、如图，在AOB 中，AOB=90，OA=OB=6，C 为 OB 上一点，射线 CDOB 交 AB 于点D，OC=2点 P 从点 A 出发以每秒 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当点
16、 P 到达到点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止过点 P 作 PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形 PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边 MNOB，且 MN=QC设运动时间为 t（单位：秒） （1）求 t=1 时 FC 的长度（2）求 MN=PF 时 t 的值（3）当QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式（4）直接写出QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值8 15如图：直线 y=x+18 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线 y=2x 分别与 AB 交于 C 点，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于 D 点点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动，过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、OD 于 P、Q ，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与 ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位） ，点 E 的运动时间为 t（秒） （1）当 0t12 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）求（1）中 S 的最大值； （3）当 t0 时，若点（10， 10）落在正方形 PQMN 的内部，求 t 的取值范围
