1、 函数中任意性和存在性问题探究2011-12-22高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论 1： ；【如图一】212minax,()()()xabcdfxgfxg结论 2： ；【如图二】ain结论 3： ；【如图三】1212mini,()()()xcfxfx结论 4： ；【如图四】aaxabdgg结论 5： 的值域和 的值域交集不为空；1212,()()xcfxfx()【如图五】【例题 1】：已知两个函数 ;232()816,()54,3,fxxkgxxkR(1) 若对 ,都有 成立，求实数 的取值范围；3x()(2)
2、 若 ,使得 成立，求实数 的取值范围；()fxk(3) 若对 ,都有 成立，求实数 的取值范围；12x12()gx解：（1）设 ,（1）中的问题可转化为：3()()hgf k时， 恒成立，即 。3,x0xmin0hx； 2()616(2)1当 变化时， 的变化情况列表如下：x(),hx-3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3(x)+ 0 0 +h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9因为 ,所以，由上表可知 ，故 k-450，(1)7,(2)0hkhkmin()45hxk得 k45,即 k45,+).小结：对于闭区间 I，不等式 f(x)k对 x
3、I 时恒成立 f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法：由f(x) maxg(x) min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x) maxg(x) min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知， （2）中的问题等价于 h(x)= g(x)f(x) 0 在 x-3,3 时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x) max= k+7，因此 k+70，即 k7,+).小结：对于闭区间 I，不等式 f(x)k 对 xI 时有解 f(x)maxk, xI.此题常见的错误解法：由f(x) ming(x) min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误
4、在于条件“f(x) ming(x) min”既不是是原题的充分要条件，也不是必要条件.(3)根据题意可知， （3）中的问题等价于f(x) maxg(x) min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x) max=120 k.仿照（1） ，利用导数的方法可求得 x-3,3时, g(x) min=21.由 120k21 得 k141,即 k141,+).说明：这里的 x1,x2 是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“ x”恒成立，还是“ x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同
5、的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜【例题 2】：(2010 年山东理科 22) 已知函数 ;1()ln()afxRx(1) 当 时，讨论 的单调性；1a()fx（2）设 ，当 时，若对 ， ,使2()4gxb1a1(0,2)x1，求实数 的取值范围；12()f解：（1） （解答过程略去，只给出结论）当 a0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增；当 a= 时，函数 f(x)在（0， +）上单调递减；2当 00,此时与（）矛盾； 当 b1,2时, 因为g(x) min=4b 20，同样与（ ）矛盾； 当 b（2，+）时，因为g(x) min=g(2)=
6、84b.解不等式 84b ，可得 b .187综上，b 的取值范围是 ,+).二、相关类型题：一 、 型；“()afx形如 型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基,()“f础是“ 在 上恒成立，则 在 xD 上恒成立，()fxDmax();f()f则 ”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.min;a例 1 ：已知二次函数 ，若 时，恒有 ，求实数 a2()fxa0,1x|()|1fx的取值范围.解： ， ；即 ；|()|fx212a当 时，不等式显然成立， aR.0当 时，由 得： ，而2xax2211xxmin21()x. . 又 ， ，综上得 a 的范围0amax21(
7、),0a是 。 ,二 、 型12“()()“fxfx例 2 已知函数 ，若对 ，都有()2sin()5xfxR成立，则 的最小值为_.12“()()“fxfx12|x解 对任意 xR，不等式 恒成立，2()()ffx 分别是 的最小值和最大值.12(),fx()fx对于函数 ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期.siny又函数 的周期为 4， 的最小值为 2.()()25fx12|x三 、. 型112(“fxf例 3： (2005 湖北 )在 这四个函数中，当22,log,cosyxyx时，使 恒成立的函数的个数是( )120x121()“(“xfxffA.0 B.1 C.2
8、 D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 的函1212()(“xfxff数，应是凸函数的性质，画草图即知 符合题意；2logy四 、. 型12()“0“fxf例 4 已知函数 定义域为 ， ，若 ， 时，都()f1,()f,1,mn0n有 ，若 对所有 ， 恒成立，求实()“0“fmfn2xtaxa数 取值范围.t解：任取 ，则 ，由已知12121212()()()ffff x，又 ， f，即 在 上为增函数.12()0fxf120x12()0fxf(), ， ，恒有 ；()f,f要使 对所有 ， 恒成立，即要21xta1,x,1a恒成立，21ta故 恒成立，令 ，只须 且 ，0t
9、 2()gt()0g()解得 或 或 。2t评注： 形如不等式 或 恒成立，实际上是函12()“0“fxf12()“fxf数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五 、. 型：“()“fxg例 5： 已知 ， ，若当 时， )1l()2x(lg2)xt0,1x(fxg恒成立，求实数 t 的取值范围 .解： 在 恒成立，即 在 恒成立()fxg0,1t,在 上的最大值小于或等于零.12t,1令 ， ，()Fxxt 4()21xF0,1 ，即 在0,1上单调递减，F(0) 是最大值.0() ，即 。()1fxtt六 、 型2“()“gx例 6：已知函数 ，若对任意
10、 ，3249,()2xcfxg12,x都有 ，求 的范围.12()fxc解：因为对任意的 ，都有 成立，12,x12()fx ， ，令 得 x3main()()fxg2()3f()0fx,1或 x-1； 得 ； 在 为增函数，在 为减函数.03xx,2 ， . ， 。(1)3,(2)6ffma()f182c4七 、 （ 为常数）型；“|“xt例 7 ：已知函数 ，则对任意 （ ）都有43()2fx12,t12t恒成立，当且仅当 =_， =_时取等号.12|()|_fxf解：因为 恒成立，12maxin|()|()|fxff由 ，易求得 ，43(),fxmax327()16f， 。min5216
11、12|()|fxf例 8 ：已知函数 满足：(1) 定义域为 ；(2) 方程 至少有两个实y,()0fx根 和 ；(3)过 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.1()fx(1)证明 |；|01(2)证明：对任意 ，都有 .2,x12|()|fxf证明 (1)略；(2)由条件(2) 知 ，(1)0ff不妨设 ，由(3)知 ，2x12121|()|fxfxx又 112 2|()|()|()|()|fff fff；2212|()|xxfx1|x八 、 型11“|()|“ff例 9： 已知函数 ，对于 时总有3()fxab12123,(0,)xx成立，求实数 的范围.1212|()|fxfx解 由 ，得 ，3(ab 2()3fxa当 时， ， ，0,)x1f1212|()|ffx ， 12(|ff0aa评注 由导数的几何意义知道，函数 图像上任意两点 连()yfx12(,)(,)PxyQ线的斜率 的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话) 的212(ykx范围，利用这个结论，可以解决形如 |或1212|)(|fxfmx(m0)型的不等式恒成立问题 .1212|()|fxfmx
