1、考虑了回收率和违约率负相关的债券投资组合信用风险研究? 考虑了回收率和违约率负相关的债券投资#组合信用风险研究 *麦强，胡运权 5 （哈尔滨工业大学管理学院，哈尔滨 150001） 摘要：大量的实证研究表明回收率和违约概率之间存在一个负相关关系，但传统的投资组合信用风险模型如 CreditMetrics 将违约时的回收率看成是外生的一个常数参数或是与违约概率相独立的一个随机变量。本文基于 CreditMetrics的分析框架，应用 MonteCarlo 模拟方法对一个债券投资组合进行研究，比较了常数回收率，Beta 分布回收率，回收率与风险率负 10 相关这三种假设下债券投资组合的不同信用风险
2、（ VaR，CVaR） 。其中，通过假设不同信用等级债券的风险率遵循不同参数的 Gamma 分布，本文考虑了相同信用等级债券违约频率的异质性。并且，本文采用 Students t-copula 函数对投资组合中债券之间的相关性进行处理。最后，本文通过一个假设的债券投资组合对模型进行了应用。结果说明回收率风险是一个系统性风险因素，它可能引起风险溢价。 15 关键词：信用风险；回收率；违约率；VaR；CVaR；Students t-copula 中图分类号： F810.5 Study on the Credit Risk of a Bonds Portfolio with Considering
3、the 20 Mai Qiang, Hu Yunquan (Management School, Harbin Institute of Technology, Harbin, 150001) Abstract: IA large quantitative experimental researches indicate that there is a negative relationship between the recovery rate and the default probability. But the classical portfolio credit risk model
4、s such as CreditMetrics treat the recovery rate in case of default either as a constant 25 parameter or as a stochastic variable independent from the probability of default. Based on the analysis framework of CreditMetrics, this paper researches a bonds portfolio using MonteCarlo Simulation, and com
5、pares the different credit risks( such as VaR, CVaR) based on three assumptions about recovery rate: constant , Beta-distribution, negative to hazard rate. According to the assumption that the hazard rate of different rating class is Gamma-distribution with different 30 parameters, this paper also c
6、onsiders the heterogeneity of default frequency between bonds of the same rating class. At the same time, this paper uses the Students t-copula function to deal with the correlation between the bonds in the portfolio. At last, this paper applies the model to a hypothetic bonds portfolio. And the res
7、ults indicate that the risk of recovery rate is a systematic risk factor which can bring risk premium. 35 Key words: Credit Risk; Recovery rate; Default rate; VaR; CVaR; Students t-copula 0 引言 信用风险，利率风险，流动性风险和操作风险是银行面临的主要风险。其中，信用风险是指由于借款人或合约方违约而导致损失的可能性，在更广泛的意义上，还包括借款人信用 40 等级变动及履约能力变化而导致其债务价值变动而引起损
8、失的可能性。 随着 Basel协议的推广和各国对其的认同，金融机构迫切需要更有效的定量工具来进 基金项目：国家自然科学基金（70903017） ；高校博士点基金（20092302120012） ；黑龙江省自然科学基金（QC2010087） 作者简介：麦强（1977-） ，男，副教授，主要研究方向：风险分析，风险管理- 1 - ? /.paper.edu 行信用风险管理，进而开发了一些信用风险模型，其中包括 JP Morgan 的 CreditMetrics1（Gupton，Finger 和Bhatia，1997） ，Credit Risk Financial Products CreditRi
9、sk+（1997） ，23McKinseys CreditPortfolioView（ Wilson，1997a，1997b） ，和KMVs 45 CreditPortfolioManager。它们被称之为在险价值（value at risk, VaR）模型，主要是测度在提前给定的置信水平下的潜在损失，也就是说一个带有信用风险的投资组合在规定的时间期限内（通常是 1 年）可能遭受的损失。 这些模型还可以被看成是简化形式模型，其中，违约时的回收率（recovery rate, RR）通常被看成是外生的一个常数参数或与违约概率（probability of default, PD）独立的一个随机
10、50 变量。其中一些模型，例如CreditMetrics，CreditPortfolioView 和 CreditManager，将违约时的 RR 看成是一个 Beta 分布的随机变量，并且与 PD 独立。其它的模型，如 CreditRisk将 RR 看成是一个常数，并且需要对每个信用风险资产给定一个输入值。 但大量研究已经开始关注回收率的估计及违约概率和回收率之间的关系，如Fridson，Garman 和 Okashima（2000） ，Frye（2000） ，Jarrow（2001） ，Bakshi，Madan, Zhang（2001） ，45678955 Jokivnolle 和Peur
11、a（2003） ，Altman，Brady，Resti 和 Sironi（2004）等。他们的实证研究表明，违约概率和回收率之间存在一个负相关关系。 为了检验 PD 和 RR 负相关关系对信用风险投资组合的影响，本文基于 CreditMetrics 的分析框架，应用MonteCarlo 模拟对一个债券投资组合进行研究，并比较了以下三种假设情况的投资组合风险： 60 （1）回收率是一个常数。 （2）回收率是一个 Beta 分布的随机变量，与违约概率相独立。 （3）回收率与违约率负相关。 在对债券的信用风险进行分析时，本文应用了简化形式模型方法。对于投资组合中债券之间的相关性，本文采用了 Stud
12、ents t-copula 方法。 65 1 投资组合的信用风险 1.1 风险率 在简化形势模型中，违约过程通常被定义为一个带有给定强度 h 的 Poisson 过程的首次跳跃。设随机违约时间为 ，则违约过程被定义为：1if?tN=1= （1） ?tt0ifelse?70 该违约强度被称为风险率（hazard rate） ，其直观意义是，对于较小的 t 和 t，乘积 ht 近似于在(t,t+t)期间内违约发生的概率。根据 Mashal 和 Nald（i2002） ，Menequzzo101112和Vecchiato（2002） ，Di Clemente 和 Romano（2003） ，定义一个
13、随机变量 T，称0 为直到违约时间（time-until-default） ，它表示从现在到违约的存活时间。设 F(t)是该变量 0 的分布函数，则根据以上的风险率定义，有以下公式： t?75 F(t)=PrTt=1?exp?h(u)du （2） 00?0?设 tt，直到时间 t 的条件存活概率是： 122- 2 - ? /.paper.edu t2?PrTtTt=exp?h(u)du （3） 0201?t?1?则时间区间 (t,t)的条件违约概率是： 12t2?PrtTtTt=1?exp?h(u)du （4） 10201?t?1?80 在本文中，假设债务人每年的风险率 h 是一个常数。这样，
14、它可以根据信用评级机构的违约概率计算出来： ln(1?F(t)?ht0F(t)=1?e?h=? （5） 0t 可以看出，这时的直到违约时间遵循一个指数分布。 1.2 回收率 85 在对债券定价的信用风险模型中，对于违约时发生的回收率（RR）有以下几种假设：（1）零回收模型（Zero-Recovery） 。在违约发生后，债券持有者得到的价值为零，如Litterman13和 Iben（1991） ；（2）面值回收模型（Recovery of Face Value） 。一旦发生违约，债券持有者得到面值的一部分，如 Duffie（1999） ，Duffie 和 Singleton（1999）及 Lan
15、do（1998）141516；（3）价值回收模型（Recovery of Treasury） 。在违约的情况下，债券持有者得到 90 等同条件下无违约风险债券价值的一个外生给定部分（可能是随机的） ，即债券面值的当前价值的一部分，如 Longstaff 和 Schwartz（1995） ，Jarrow 和Turnbul（l1995）及 Collin-Dufresne171819和 Goldstein（2001） ；（4）市值回收模型（Recovery of Market Value） 。在违约时，15违约支付被描述成风险债券的违约之前价值的一部分，如 Duffie 和 Singleton（19
16、99） 。由于穆迪等信用评级公司的平均回收率数据都是按面值计算的，所以本文采用面值回收模型 95 的假设。 在传统的结构化模型和简化形式模型中，通常独立的处理违约概率（PD）和违约的回收率，认为它们之间没有关系。但在过去的30 年中，出现了许多对 PD 和 RR 之间的关系进行建模，并对两者之间的关系进行实证分析的研究。 例如，Frye（2000）应用 1982-1997 年间穆迪的违约风险服务数据（Moodys Default Risk 100 Service database）对于公司债券进行分析，结果显示违约率和 RR 之间存在一个极强的负相5关关系。Altman，Brady，Resti
17、 和 Sironi（2004）应用 1982-2000 年间的样本作为可违约债9券的数据进行了实证研究，结果与 Frye 的研究一致：违约率和 RR 之间负相关。 这些证据暗示出回收率风险是一个系统性风险因素。所以，它可能引起风险溢价并且应该在信用风险管理的应用中足够重视。这样，如果假设 PD和 RR 相互独立，潜在结果意味 105 着信用风险会被低估。所以，在本文中，将会考虑违约概率和回收率之间的负相关关系。 1.3 信用转移 债券价值的影响因素不仅仅是债券的违约风险，而且还有债务人信用等级的变化。这种变化通常可以从信用评级机构发布的信用等级转移矩阵中得到。设信用评级机构对债务人的信用评级有
18、 K 类，则在每个时间区间的末尾，任何债务人的可能状态有 K+1 个：违约或在 110 K 类的某个信用等级。 从公式（4）可以看出，直到违约时间遵循一个指数分布，可以应用该分布及信用转移- 3 - ? /.paper.edu 矩阵中的转移概率得到这 K+1 个可能信用等级状态的临界值。设 p 表示债务人 i 的违约 Dii 概率，s 表示违约临界值。根据公式（4） ，第一个临界值即违约临界值是： 1ln(1?p)iDis=? （6） 1hi115 其中，h 表示债务人 i 的风险率。设 p 表示该债务人在第 k 个信用等级的概率，它对 ikiii 应着两个临界值 s 和 s： kk+1iii
19、p=Pr (sT （7） s)kik0k+1 该概率是非条件概率，根据公式（2）和（3） ，它等于： iiiiiiiiip=Pr(sTsTs)?Pr(Ts)=exp(?h?s)?exp(?h?s) （8） kik0k+10k0kikik+1120 所以，债务人 i 期末信用等级为 1 的概率 p 是： 1i?ln(1?p)?iiDii? （9） p=exp(?h?s)?exp(?h?s)=exp?h?exp(?h?s)1ii1i2ii2?h?i? 对应的第二个临界值是： ln(1?p?p)iDi1is=? （10） 2hi 这样，类推得到的第 k 个临界值是： k?1?ln1?p?pDiji?
20、j=1?i125 s=? （11） khi2 债券价值及投资组合的损失风险测度 2.1 债券价值 假设债券投资组合中包含 n 个债券，其份额分别为设它们的到期日序列及在各期的现金iiiiiiii 流分别为 t=(t,t,K,t)和 C=(z,z,K,z)，其中 i=1,K,n。假设期初 t 的即期利 12T12T0130 率和一年期后的远期利率已知，分别为 r(t,t)和 R(t,t)。则每个债券在期初的价值为： 0j1jT?r(t,t)?(t?t)ii0jj0V=ze （12） tj0j=1 在一年期后，如果债券没有违约，则它的价值为： T?R(t,t)?(t?t)ii1jj1V=ze （1
21、3） tj1j=1 如果发生违约，则它的价值为： i135 V=FRR （14） tii1 其中，F 是债券 i 的面值，RR 是债券的回收率。 iim 设随机变量向量 yR 代表影响债券价值的不确定性（包括风险率，信用等级的改变和随机的回收率） 。则债券 i 的价值在一年期后发生的损失是： ?L(y)=V(y)?V(y) （15） iii?140 其中，V(y)表示信用特征（特别是信用等级）没有发生变化时债券的价值。用向量 i- 4 - ? /.paper.edu Tx=(x,K,x,Kx)表示每个债券的份额，用L(y)=(L(y),K,L(y),K,L(y)表示单 1in1in 个债务人的
22、损失函数向量，则债券投资组合的损失函数为： nL(x,y)=L(y)x=L(y)?x （16） iii=1 假设 y 的分布密度是 p(y)，则投资组合损失的均值，方差分别为： 145 (x)=L(x,y)p(y)dy （17） Y22(x)=(L(x,y)?(x)p(y)dy （18） Y2.2 投资组合的损失风险测度 对于债券投资组合的损失，本文用VaR 和 CvaR 来表示其风险。 所谓 VaR，即“Value at Risk”的缩写，含义为“在险价值” ，是指在给定的市场条件20150 与置信水平下，某一金融资产或证券组合在给定的时间区间内的最大期望损失。VaR 的最大优点在于测量的综
23、合性，可以将不同市场因子，不同市场的风险集成为一个数，较准确测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损失，较好的适应金融市场的动态性，复杂性。 CVaR（conditional value at risk）是在 VaR（value at risk）基础上发展出的一种投资风 155 险计量方法。许多实证研究表明，尽管 VaR 方法简单易操作，但有很多缺陷：首先，VaR 不满足一致性定理，即用 VaR 来计量风险，投资组合的风险不一定小于或等于在组合中各种资产分别计量的风险值之和，这违背了风险分散化的市场现象；其次，VaR 尾部损失测量的非充分性，它无法考察超过百分位点的下方风险信息；其三，Va
24、R 应用的前提必须是21债券收益率服从正态分布，这一点要求较为苛刻。 160 为了克服 VaR 的缺陷，Rockafeller 和 Uryasev（2000）年提出了条件风险价值22CVaR。CVaR是指投资组合的损失大于某个给定的 VaR 值的条件下，该投资组合损失的平均值。与 VaR 相比，CVaR 满足次可加性、正齐次性、单调性及转换不变性，因而CVaR 是个一致性的风险计量方法，所以越来越受到重视。 根据以上的损失函数 L(x,y)和分布密度 p(y)，则投资组合的损失不超过某一阈值?的 165 概率是 (x,?)=p(y)dyp(y)。这时，在置信水平 (0,1)下的 VaR 和 C
25、VaR 分别L(x,y)?为： ?(x)=min?R:(x,?) （19） 1?(x)=L(x,y)p(y)dy （20） 1?L(x,y)?(x)3 Student-t copula 170 对于 n 个债券的投资组合，直到违约时间的多元分布函数是： 1inF(t,K,t,K,t)=PrTt,K,Tt,K,Tt （21） 01in010i0n 对于这个多元分布，非常有用的工具是 copula 函数。该函数可以分别研究随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构，对边缘分布的选择也不加以限制。并且若对变量作单调增23的变换，由 copula 函数导出的一致性和相关性测度的值不会改变。 - 5 - ?
26、 /.paper.edu 175 Sklar 定理指出，对于一个具有一元边缘分布 F,K,F,K,F 的联合分布函数 F，一定 1in 存在一个 copula 函数 C，满足： F(x,K,x,K,x)=C(F(x),K,F(x),K,F(x) （22） 1in11iinn 如果 F,K,F,K,F 连续，则 C 唯一，并且： 1in?1?1?1C(u,K,u,K,u)=F(F(u),K,F(x),K,F(x) （23） 1in11iinn180 实际上， （）和（）意味着 copula 函数 C 将 F,K,F,K,F给定的边缘分布从联合分 1in 布函数 F 所包含的依赖结构中分离出来。它
27、为分析多元分布的相关结构提供了一条便利的途径。所以，许多模型应用 copula 函数方法表示信用投资组合的依赖结构。如：Li（2000）应用 Gaussian Copula函数来说明违约风险，扩展了 CreditMetrics 模型；Hull 和 White（2004）2425利用多因子 copula 模型与傅立叶转换等方法处理违约概率。 185 Copula函数有多元常态 Copula（Gaussian Copula） ，多元 Students t-copula 和多元 Archimedean Copulas。本文将应用 Students t-copula 函数来体现联合分布中依赖关系的两个
28、特点：相关性水平和尾部依赖。 设向量 X 包含 n 个变量，它们遵循自由度为 的标准 Students t 分布，并且协方差矩阵 是 R（对于 2） 。该向量可以表示为： ?2190 X=Y （24） S2 其中，S，随机向量 YN(0,R)，并且它们相互独立。 n 这样，向量 Y 的 copula 是自由度为 的 Students t-copula。该 copula 可以表示为： nn?1?1?1C(u)=t(t(u),K,t(u),K,t(u) （25） ,R,R1innn 其中，t 表示随机变量向量 Y 的多元分布函数，t 表示 t 的边缘，它与公式（）相 ,R,RS195 对应。这样，
29、就可以得到投资组合中各个债券的直到违约时间。 4 Monte Carlo 模拟过程 本文将应用MonteCarlo 模拟来计算债券投资组合的损失风险。在模拟过程中，对以上所讨论的各个部分进行如下的处理： 4.1 风险率和回收率 200 在对风险率的计算中，通常有三种方法：应用评级机构统计的历史违约频率；应用信用差额；应用 Merton 期权理论方法。这三种方法都有自己的优缺点，如第一种方法无法反应当前信息，并且暗示相同信用等级的债务人违约概率也相同，这与事实不符；第二种方法很难反映出债务人之间的违约相关性；第三种方法有着结构化模型固有的缺点，很难实际应用。 针对以上的分析，本文假设对于一个给定信用等级 k 的债务人 i，每年的风险率 h 是一 i205 个常数，并且该值遵循参数为 和 的 Gamma 分布，即 hGamma(,)。应用从 kkikkGamma 分布中得到的风险率，从公式（）中可以得到每个债券的直到违约时间的指数分布函数。该函数与所假设的 copula 函数的边缘分布相对应。同时，设该分布的均值为 h，它i 与该信用等级的历史违约频率相对应，这样可以应用公式（）从信用评级机构的信用转移矩- 6 -
