1、立体几何查漏补缺 第 - 1 - 页立体几何中的最值问题、内接外切、球面距离1. 一条长为 2 的线段，它的三个视图分别是长为 的三条线段，则 ab 的最大值为3,abA B C D35652【答案】C【解析】构造一个长方体，让长为 2 的线段为体对角线，由题意知，即 ，又2221,3aybxy2235abxy，所以 ，当且仅当 时取等号，所以选 C. 5a5b2. 四棱锥 的三视图如右图所示，四棱锥 的五个顶点都在一PABCD- PABCD-个球面上，E、F 分别是棱 AB、CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 ，2则该球表面积为A. B.24 C. D. 12p36p48【答案
2、】A 【解析】将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥 P-ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球且该正方体的棱长为 .设外接球的球心为 O，a则 O 也是正方体的中心，设 EF 中点为 G，连接 OG，OA，AG.根据题意，直线 EF被球面所截得的线段长为 ，即正方体面对角线长也是 ,可得22,所以正方体棱长 ,在直角三角形 中，2AGa2aGA, ,即外接球半径 ，得外接球表面积为 ,选 A. 1O33R241R3. 若三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，SABCOSABC3,SAB2AC，则球 的表面积为 （ ）60A B C D4161
3、24【答案】B【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 。2AC0221cos603B 3BC所以 ，即 为直角三角形。因为三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，所以斜边90ABBSAOAC 的中点是截面小圆的圆心 ，即小圆的半径为 .,因为 是半径，所以三角形 为O132rC,SAS等腰三角形，过 作 ,则 为中点，所以 ,所以半径MSA2 3OAM立体几何查漏补缺 第 - 2 - 页，所以球的表面积为 ,选 B. 22(3)14OAr2416R4. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的高为 ，外接球的体积是 ，则 A、B 两点的球面距离为232p_.【答案】 23【解析】因为正四棱柱外接球
4、的体积为 ，所以 ,即外接球的半32p342Rp=径为 ，所以正四棱柱的体对角线为 ，设底面边长为 ，则Rx，解得底面边长 。所以三角形 为正三角形，所22()()4xxAOB以 ，所以 A、B 两点的球面距离为 .3AO235. 设 A、 B、 C、 D 为球 O 上四点，若 AB、 AC、 AD 两两互相垂直，且 ， ，则 A、 D 两点间的球6ABC2面距离 。【答案】 23【解析】因为 AB、AC、AD 两两互相垂直，所以分别以 AB、AC、AD 为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径 ，所以球半径为 ,在正三角形 中，22(6)164R2RAOD，所以 A、D
5、 两点间的球面距离为 .3AO3R6. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积是 立体几何查漏补缺 第 - 3 - 页【答案】 43【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,7. 在棱长为 的正方体 中， ， 分别为线段 ， （不包括端点）上的动点，且11ABCD1P2AB1D线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是 12P12ABA B C D4262【答案】A【解析】过 做 底面于 O,连结 , 则 ，即 为三棱锥2PO1P1OAB1P的高，设 ，则由题意知 ,所以有 ，1AB10x， /D1OBPA
6、即 。三角形 ，所以 四面体 的体积为x12APBS12，当且仅当1()()()3364APBxSOx ，即 时，取等号，所以四面体 的体积的最大值为 ，选 A. x2x12PAB128. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，1ABCD, EF1,BC是侧面 内一点，若 平面 则线段 长度的取值范围是P1BC1/P,EF1APA B. C. D. 5,2325,45,22,B1C1D1A1 FEBCDA立体几何查漏补缺 第 - 4 - 页【答案】B【解析】取 的中点 M, 的中点 N,连结 ，可以证明平面 平面 ，所以点 P 1BC11,AMN1/AMNEF位于线段 上，把
7、三角形 拿到平面上，则有 ,MN1N21 5()21()所以当点 P 位于 时， 最大，当 P 位于中点 O 时， 最小，此时 ，所,N1A1AP22153()4AO以 ，即 ，所以线段 长度的取值范围是 ，选 B. 11AOM1325413,49. 正三棱柱 内接于半径为 1 的球，则当该棱柱体积最大时，高 。1CBA h【答案】 32【解析】根据对称性可知，球心 位于正三棱柱上下底面中心连线的中点上。设正三棱柱的底面边长为 ，则O x，所以 ,所以高 ，由3,22ABxx2231()1xB2213hOB得 ，即正三棱柱底面边长 的取值范围是 。三棱柱的体积为1033x0,2222113xVxA22(1)3xA,2222 346()36()()xA即体积 ,当且仅当 ，即22341xVA2216x时取等号，此时高 。2x2 31h立体几何查漏补缺 第 - 5 - 页10. 已知球与棱长均为 2 的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .【答案】 2【解析】将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以 ,则球的表面积为 .2,R214SR
