1、第 1 页（共 24 页）初三数学九上压轴题难题提高题培优题 一解答题（共 8 小题）1如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0 ） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为
2、M 的抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A（2，0） ，B（6 ，0）两点，交 y 轴于点 （1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作D 与 x 轴相切，D 交 y轴于点 E、F 两点，求劣弧 EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足
3、为点 G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线 AC 分为 1：2 两部分？第 2 页（共 24 页）4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 2，4 ） ，OB=2 ，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A、O、B 三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1） ，B （4，3） （1）求抛物线的函数解析式；（2）求 tanABO 的值；（
4、3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标6如图 1，已知抛物线的方程 C1：y= （x +2） （x m） （m0）与 x 轴交于点第 3 页（共 24 页）B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M（2，2） ，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使
5、得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由7如图，已知抛物线 y= x2 （b +1）x + （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和QAB
6、 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0） ，C（ 3，0） ，D（3，4） 以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点 A出发，沿线段 AB 向点 B 运动同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值
7、时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值第 4 页（共 24 页）第 5 页（共 24 页）初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析 一解答题（共 8 小题）1如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0 ） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并
8、求此时点 D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：由题意可知 解得 抛物线的表达式为 y= （2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1点 M 的坐标为（0，1） 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 解得 直线 MA 的表达式为 y= x+1设点 D 的坐标为（ ） ，则点 F 的坐标为（ ） DF= 第 6 页（共 24 页）当 时， DF 的最大值为 此时 ，即点 D 的坐标为（ ） （3）存在点 P，使得以点 P、A 、
9、N 为顶点的三角形与MAO 相似设 P（m，） 在 RtMAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0解得 m=3（舍去）或 m=8又3 m0，故此时满足条件的点不存在当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MA 上，只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0解得 m=3 或 m=8此时点 P 的坐标为（8， 15） 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则 3 ，即m2+m6=0解得 m=3（舍去）或 m=2当 m=2 时， 此
10、时点 P 的坐标为（2， ） 若 PN=3NA，则 ，即 m27m30=0解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，39） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（8， 15） 、 （2， ） 、 （10，39） 第 7 页（共 24 页）2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=4，AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标【解答】解：（1）如图，过点 A 作 ADy 轴
11、于点 D，AO=OB=4，B（4，0） AOB=120，AOD=30 ，AD= OA=2，OD= OA=2 A（2 ，2 ） 将 A（2 ，2 ） ，B（4，0）代入 y=ax2+bx，得：，解得： ，第 8 页（共 24 页）这条抛物线的表达式为 y= x2 x；（2）过点 M 作 MEx 轴于点 E，y= x2 x= （x2 ） 2 ，M（ 2， ） ，即 OE=2，EM= tanEOM= = EOM=30 AOM=AOB+EOM=150（3）过点 A 作 AHx 轴于点 H，AH=2 ，HB=HO+OB=6，tanABH= = ABH=30，AOM=150，OAM 30，OMA 30，点
12、 C 不可能在点 B 的左侧，只能在点 B 的右侧ABC=180 ABH=150 ，AOM=150，AOM=ABCABC 与AOM 相似，有如下两种可能：BAC 与OAM ，BAC 与OMAOD=2，ME= ，OM= ，AH=2 ，BH=6 ，AB=4 第 9 页（共 24 页）当BAC 与OAM 时，由 = 得，解得 BC=4C 1（8，0） 当BAC 与OMA 时，由 = 得，解得 BC=12C 2（16 ，0） 综上所述，如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，则点 C 的坐标为（ 8，0 ）或（16，0） 3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c 交 x
13、 轴于 A（2，0） ，B（6 ，0）两点，交 y 轴于点 （1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作D 与 x 轴相切，D 交 y轴于点 E、F 两点，求劣弧 EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线 AC 分为 1：2 两部分？【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B （6，0） ，；第 10 页（共 24 页） ，解得 ；抛物线的解析式为： ；（2）易知抛物线的对称轴是 x=4，把 x=4 代入 y=2x，得 y=8
14、，点 D 的坐标为（ 4，8） ；D 与 x 轴相切，D 的半径为 8；连接 DE、DF，作 DMy 轴，垂足为点 M；在 RtMFD 中，FD=8，MD=4，cosMDF= ；MDF=60，EDF=120；劣弧 EF 的长为： ；（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b；直线 AC 经过点 ， ，解得 ；直线 AC 的解析式为： ；设点 ，PG 交直线 AC 于 N，则点 N 坐标为 ，S PNA ：S GNA=PN：GN ；若 PN：GN=1：2，则 PG：GN=3：2，PG= GN；即 = ；第 11 页（共 24 页）解得：m 1=3，m 2=2（舍去） ；当 m=3 时， = ；
15、此时点 P 的坐标为 ；若 PN：GN=2：1，则 PG：GN=3：1，PG=3GN；即 = ；解得：m 1=12，m 2=2（舍去） ；当 m=12 时， = ；此时点 P 的坐标为 ；综上所述，当点 P 坐标为 或 时，PGA 的面积被直线 AC 分成 1：2 两部分4如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 2，4 ） ，OB=2 ，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A、O、B 三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐
16、标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由 OB=2，可知 B（2，0） ，将 A（2 ，4） ，B（2 ，0） ，O （0，0）三点坐标代入抛物线 y=ax2+bx+c，第 12 页（共 24 页）得解得：抛物线的函数表达式为 答：抛物线的函数表达式为 （2）由 ，可得，抛物线的对称轴为直线 x=1，且对称轴 x=1 是线段 OB 的垂直平分线，连接 AB 交直线 x=1 于点 M，M 点即为所求MO=MB，则 MO+MA=MA+MB=AB作 ACx 轴，垂足为 C，则 AC=4，BC=4，AB=MO+MA 的最小值为 答：MO+MA 的最小值为 （3）若 OBAP，此时点 A 与点 P
17、关于直线 x=1 对称，由 A（2 ，4） ，得 P（4，4） ，则得梯形 OAPB若 OABP，设直线 OA 的表达式为 y=kx，由 A（2， 4）得，y=2x 设直线 BP 的表达式为 y=2x+m，由 B（2，0）得， 0=4+m，即 m=4，直线 BP 的表达式为 y=2x4由 ，解得 x1=4，x 2=2（不合题意，舍去）当 x=4 时，y=12，点 P（ 4，12） ，则得梯形 OAPB若 ABOP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m，则 ，解得 ，AB 的表达式为 y=x2ABOP，第 13 页（共 24 页）直线 OP 的表达式为 y=x由 ，得 x2=0，解得 x=0，
18、（不合题意，舍去） ，此时点 P 不存在综上所述，存在两点 P（4，4）或 P（4， 12）使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形答：在此抛物线上，存在点 P，使得以点 P 与点 O、A 、B 为顶点的四边形是梯形，点 P 的坐标是（ 4，4）或（ 4， 12） 第 14 页（共 24 页）5已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1） ，B （4，3） （1）求抛物线的函数解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点
19、M 的坐标【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，1） ，B （4，3） ， ，解得 ，所以，抛物线的函数解析式为 y=x2+ x+1；（2）如图，过点 B 作 BCx 轴于 C，过点 A 作 ADOB 于 D，A（0，1 ） ， B （4，3 ） ，OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB= = =5，OAD+ AOD=90，AOD+BOC=90，第 15 页（共 24 页）OAD=BOC，又ADO=OCB=90 ，AOD OBC， = = ，即 = = ，解得 OD= ，AD= ，BD=OBOD=5 = ，tanABO= = = ；（3）设直线 AB 的解析式
20、为 y=kx+b（k 0，k、b 是常数） ，则 ，解得 ，所以，直线 AB 的解析式为 y= x+1，设点 M（a， a2+ a+1） ，N（a， a+1） ，则 MN=a2+ a+1 a1=a2+4a，四边形 MNCB 为平行四边形，MN=BC，a 2+4a=3，整理得，a 24a+3=0，解得 a1=1，a 2=3，MN 在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线 x= = ，a=1，第 16 页（共 24 页）1 2+ 1+1= ，点 M 的坐标为（ 1， ） 6如图 1，已知抛物线的方程 C1：y= （x +2） （x m） （m0）与 x 轴交于点B、C，与 y 轴交于点 E，且点
21、 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M（2，2） ，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将 x=2，y=2 代入抛物线的解析式得： 4（2 m）=2 ，解得：m=4，经检验：m=4 是分式方程的解m 的值为 4（2）y=0 得：0= （x +2） （xm） ，解得 x=2 或 x=m，B（2，0 ）
22、 ，C （m ，0 ） 由（1）得：m=4 ，C （4，0） 第 17 页（共 24 页）将 x=0 代入得：y= 2（ m）=2，E （0 ，2 ） BC=6，OE=2S BCE = BCOE= 62=6（3）如图 1 所示：连接 EC 交抛物线的对称轴于点 H，连接 BH，设对称轴与 x轴的交点为 Px= ，抛物线的对称轴是直线 x=1CP=3点 B 与点 C 关于 x=1 对称，BH=CHBH+ EH=EH+HC当 H 落在线段 EC 上时，BH+EH 的值最小HP OE，PHC EOC ，即 解得 HP= 点 H 的坐标为（ 1， ） （4）如图 2，过点 B 作 EC 的平行线交抛物
23、线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F第 18 页（共 24 页）BFEC，BCE=FBC 当 ，即 BC2=CEBF 时，BCEFBC设点 F 的坐标为（x， （x +2） （xm） ） ，由 ，得 解得 x=m+2F （ m+2，0） BCE=FBC ，得 ，解得： 又BC 2=CEBF， ，整理得：0=16此方程无解如图 3，作CBF=45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，OE=OB，EOB=90，EBO=45CBF=45 ，EBC=CBF ，第 19 页（共 24 页）当 ，即 BC2=BEBF 时，BCEBFC 在 RtBFF中，由 FF=BF，得 （x+2 ） （x
24、 m）=x+ 2，解得 x=2mF （ 2m，0） BF=2m+2，BF=2 m+2 由 BC2=BEBF，得（m+2） 2=2 （2 m+2 ） 解得 m0，m=2+2 综上所述，点 m 的值为 2+2 7如图，已知抛物线 y= x2 （b +1）x + （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 （b，0） ，点 C 的坐标为 （0， ） （用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角
25、三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）令 y=0，即 y= x2 （b+1）x+ =0，解得：x=1 或 b，b 是实数且 b2，点 A 位于点 B 的左侧，点 B 的坐标为（b，0） ，第 20 页（共 24 页）令 x=0，解得：y= ，点 C 的坐标为（ 0， ） ，故答案为：（b，0） ， （0， ） ；（2）存在，假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积
26、等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形设点 P 的坐标为（ x，y） ，连接 OP则 S 四边形 PCOB=SPCO +SPOB = x+ by=2b，x+4y=16 过 P 作 PDx 轴，PE y 轴，垂足分别为 D、E，PEO=EOD=ODP=90 四边形 PEOD 是矩形EPD=90 EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即 x=y由 解得由PECPDB 得 EC=DB，即 =b ，解得 b= 2 符合题意P 的坐标为（ ， ） ；（3）假设存在这样的点 Q，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ ，QAB A
27、QO 要使QOA 与QAB 相似，只能QAO= BAQ=90，即 QAx 轴第 21 页（共 24 页）b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ= AQB此时 OQB=90 ，由 QA x 轴知 QAy 轴COQ= OQA要使QOA 与OQC 相似，只能QCO=90或 OQC=90（I）当OCQ=90 时， CQOQOA AQ=CO= 由 AQ2=OAAB 得：（ ） 2=b1解得：b=84 b2，b=8+4 点 Q 的坐标是（ 1，2+ ） （II）当OQC=90时，OCQQOA， = ，即 OQ2=OCAQ又 OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即 AQ=1b解得：AQ=4，此时 b=172
28、 符合题意，点 Q 的坐标是（ 1，4） 综上可知，存在点 Q（1，2+ ）或 Q（1，4） ，使得QCO，QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似第 22 页（共 24 页）8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0） ，C（ 3，0） ，D（3，4） 以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C动点 P 从点 A出发，沿线段 AB 向点 B 运动同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位运动时间为 t 秒过点 P 作PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式
29、；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值【解答】解：（1）A（1，4） 由题意知，可设抛物线解析式为 y=a（x 1） 2+4抛物线过点 C（3，0 ） ，0=a（31） 2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为 y=（x1） 2+4，即 y=x2+2x+3（2）A（1，4） ，C （3，0） ，可求直线 AC 的解析式为 y=2x+6第 23 页（共 24 页）点
30、P（1 ，4t ） 将 y=4t 代入 y=2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x=1+ 点 G 的横坐标为 1+ ，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为4 GE=（4 ）（4t）=t 又点 A 到 GE 的距离为 ，C 到 GE 的距离为 2 ，即 SACG =SAEG +SCEG = EG + EG（2 ）= 2（ t ）= （t 2） 2+1当 t=2 时，S ACG 的最大值为 1（3）第一种情况如图 1 所示，点 H 在 AC 的上方，由四边形 CQEH 是菱形知CQ=CE=t，根据APEABC，知= ，即 = ，解得 t=208 ；第二种情况如图 2 所示，点 H 在 AC 的下方，由四边形 CQHE 是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t， EM=2 t，MQ=42t则在直角三角形 EMQ 中，根据勾股定理知 EM2+MQ2=EQ2，即（2 t）2+（4 2t） 2=t2，解得，t 1= ，t 2=4（不合题意，舍去） 综上所述，t=20 8 或 t= 第 24 页（共 24 页）
