1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(五十五)椭圆(45分钟 100 分)一、选择题(每小题 6分，共 36分)1.方程 x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的椭圆，则 k的取值范围是( )A.(0，+) B.(0，2)C.(1，+) D.(0，1)【解析】选 D.因为方程 x2+ky2=2，即 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，所以 x22 y22 22，故 0b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P是 C上的点,x22y22PF2F 1F2,PF 1
2、F2=30,则 C的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33【解析】选 D.因为 PF2F1F2,PF1F2=30,所以|PF 2|=2ctan 30= c,|PF1|= c.2 33 4 33又|PF 1|+|PF2|= c=2a,所以 = ,6 33 c 33即椭圆的离心率为 ,选 D.33二、填空题(每小题 6分，共 18分)7.已知椭圆 + =1的焦点分别是 F1,F2,P是椭圆上一点,若连接 F1,F2,P三点x216y225恰好能构成直角三角形,则点 P到 y轴的距离是 .【解析】依题意:F 1(0,-3),F2(0,3).又因为 3b0)的左、右焦点 F1,F2
3、所作的两条互相垂直的直线x22y22l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 .【思路点拨】关键是由 l1,l2 的交点在此椭圆的内部,得到 a,b,c 间的关系,进而求得离心率 e 的取 值范围.【解析】由已知得交点 P 在以 F1F2为直径的圆 x2+y2=c2 上.又点 P 在椭圆 内部,所以有 c2b0)的两个焦点,若椭圆上存在点 Px22y22使得F 1PF2= ,则椭圆的离心率 e的取值范围为 . 3【解析】设椭圆的短轴的一个端点为 B,则F 1BF2 ,在BF 1F2 中,sinOBF 2= =3 cesin = ,故 eb0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右
4、焦点为 F.设x22y22线段 AB的中点为 M,若 2 + 0,则该椭圆离心率的取值范围为 .M MB 22【解析】由题意得 A(-a,0),B(0,b),M ,(-2,2)F(c,0),则 = ,M(-2,2)= , =(c,-b).M(c+2,2)B由 2 + 0 可得 c2+2ac-2a20,MM B 22解得 e-1- ,-1+ .3 3又 e(0,1),所以椭圆的离心率的取值范围为(0, -1.3答案:(0, -13三、解答题(1011 题各 15分，12 题 16分)10. 如图,F 1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左、x22y22右焦点,A 是椭圆 C的顶点,B
5、是直线 AF2与椭圆 C的另一个交点,F 1AF2=60.(1)求椭圆 C的离心率. (2)已知AF 1B的面积为 40 ,求 a,b的值. 3【解析】(1) F1AF2=60a=2ce= = .c12圆学子梦想 铸金字品牌- 6 -(2)设|BF 2|=m(m0),则|BF 1|=2a-m,在BF 1F2 中,|BF 1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|F1F2|cos120,即(2a-m) 2=m2+a2+am,所以 m= a.35AF1B 的面 积 S= |AF1|AB|sin60=12a =40 ,所以 a=10,c=5,12 (a+35) 32 3b=5 .3【一题多解
6、】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:设|AB|=t.因 为|AF 2|=a,所以|BF 2|=t-a.由椭圆定义|BF 1|+|BF2|=2a 可知,|BF 1|=3a-t,再由余弦定理(3a-t) 2=a2+t2-2atcos60可得,t= a.85由 = a a = a2=40 知,S112 85 32 2 35 3a=10,b=5 .311.(2015龙岩模拟)已知椭圆 C1： =1，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，且2xy4与 C1有相同的离心率.(1)求椭圆 C2的方程.(2)设 O为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上， ，求直线 AB的OB2A方程.【解析】(1)
7、 由已知可 设椭圆 C2 的方程为 2yx1a2.a4圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -其离心率为 故 ，则 a=4，32， 2a43故椭圆 C2 的方程为2yx1.6(2)方法一：A， B 两点的坐标分别记为(x A，yA)，(xB，yB)，由 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB2的方程为 y=kx(k0).将 y=kx 代入 =1，得(1+4k 2)x2=4，所以 ，将 y=kx 代入2xy42A24x1k中，得(4+k 2)x2=16，所以2y162B264k，又由 得 ，OBA2BAx4即 解得 k=1，2264k1，故直线 AB 的方程为
8、y=x 或 y=-x.方法二：A，B 两点的坐标分别记为(x A，yA)，(xB，yB)，由 及(1)知，O2AO，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y=kx(k0).将 y=kx 代入 =1，得(1+4k 2)x2=4，2xy4所以 ，2A21k由 得 ， ，OBB216x42B16ky4将 代入 =1 中，2Bxy， 2得 =1，24k1即 4+k2=1+4k2，解得 k=1，圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.【加固训练】设 A,B分别为椭圆 + =1(ab0)的左、右顶点, 为椭圆上x22y22 (1,
9、32)一点,椭圆长半轴的长等于焦距.(1)求椭圆的方程.(2)设 P(4,x)(x0),若直线 AP,BP分别与椭圆相交异于 A,B的点 M,N,求证:MBN 为钝角.【解析】(1) 依 题意,得 a=2c,b2=a2-c2=3c2.则椭圆方程为 + =1,将 代入,得 c2=1.x242y232 (1,32)故椭圆方程为 + =1.x24 y23(2)由(1)知,A(-2,0),B(2,0),设 M(x0,y0),则-20,BB 6200+252即MBP 为锐角,则MBN 为钝角.12.(能力挑战题) 如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x轴上,离心率 e= ,过左焦点 F1作 x轴的垂线交
10、椭圆于22A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程.圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -(2)取平行于 y轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P,过 P,P作圆心为 Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q外.求PPQ 的面积 S的最大值,并写出对应的圆 Q的标准方程.【解析】(1) 设椭圆 的标准方程为 + =1(ab0),由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则x22y22+ =1,从而 e2+ =1.(-)22 222 42由 e= ,得 b2= =8,从而 a2= =16,22 412 b212故该椭圆的标准方程为 + =1.x216y28(2)由椭圆 的 对称性,可设 Q(x0,0),
11、又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM| 2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x + +8 1- = (x-2x0)2- +8(x ).x20 x21612 x20 -4,4设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点 ,因此,上式当 x=x1时取最小值,又因为 x1 ,所以上式当 x=2x0时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP| 2=8- .(-4,4) x20由对称性知 P(x1,-y1),故|PP|=|2y 1|,所以 S = |2y1|x1-x0|12= 2 |x0|12 8(12116)= = .2 (420)20 2 (202)2+ 4当 x0= 时,PPQ 的面积 S 取到最大值 2 .2 2此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q( ,0),半径 |QP| = = ,因此,这样的圆2 820 6圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -有两个,其标准方程分别为(x+ )2+y2=6,(x- )2+y2=6.2 2关闭 Word 文档返回原板块
