1、- 1 -23.1 直线与平面垂直的判定直线与平面的垂直提出问题鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直问题 1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能问题 2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线问题 3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平
2、面垂直吗？提示：不一定导入新知1直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l .直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足(2)图形语言：如图画直线 l 与平面 垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边 形的一边垂直(3)符号语言：任意 a ，都有 l al .2直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言： a ， b ， a b P， l a， l bl .
3、化解疑难1关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直- 2 -(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直” ，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为 l .2判定定理的条件中， “平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直3要判断一条已
4、知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.直线与平面所成的角提出问题斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的 一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种 结构体系其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁其可使梁体内弯矩减小， 降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成问题 1：图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？提示：不同问题 2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？提示：能问题 3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直
5、线所成角一样把空间角转化为平面角吗？提示：能导入新知1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫 做这条直线和这个平面所成的角如图， PAO 就是斜线 AP 与平面 所成的角2当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角是 90.3当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0.4线面角 的范围：0 90.化解疑难关于直线与平面所成的角的认识- 3 -(1)把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段(2)其定义反映了求线面角的基本思想平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解线面垂直的定义及判定定理
6、的理解例 1 下列说法中正确的个数是( )如果直线 l 与平面 内的两条相交直线都垂直，则 l ；如果直线 l 与平面 内的任意一条直线垂直，则 l ；如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直A0 B1C2 D3答案 D类题通法1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线活学活用下列说法中，正确的是( )A若直线 l 与平面 内无数条直线垂直，则 l B若直线 l 垂直于平面
7、，则 l 与平面 内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若 a b， a ， l ，则 l bD若 a b， b ，则 a 答案：C线面垂直的判定例 2 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC， AB AC1， AA12， B1A1C190， D 为 BB1的中点求证： AD平面 A1DC1.- 4 -解 证明： AA1底面 ABC，平面 A1B1C1平面 ABC， AA1平面 A1B1C1， A1C1 AA1.又 B1A1C190， A1C1 A1B1.而 A1B1 AA1 A1， A1C1平面 AA1B1B.又 AD平面 AA1B1B， A1C1 AD.由已知计
8、算得 AD ， A1D ， AA12.2 2 AD2 A1D2 AA ，21 A1D AD. A1C1 A1D A1， AD平面 A1DC1.类题通法1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法2线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直 线面垂直3解决线面垂直的常用方法：(1)利用勾股定理的逆定理(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线(3)利用线面垂直的定义(4)利用平行转化，即 a b， b c，则 a c.活学活用如图，四棱锥 PABCD 中， AP平面PCD， AD BC， AB BC
9、AD， E， F 分别为线段 AD， PC 的中点12(1)求证： AP平面 BEF；(2)求证： BE平面 PAC .证明：(1)设 AC BE O，连接 OF， EC.由于 E 为 AD 的中点，AB BC AD， AD BC，12- 5 -所以 AE BC， AE AB BC，因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点，因此在 PAC 中，可得 AP OF.又 OF平面 BEF， AP平面 BEF.所以 AP平面 BEF.(2)由题意知 ED BC， ED BC.所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE CD.又 AP平面 PCD，所以 AP
10、CD，因此 AP BE.因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC.又 AP AC A， AP， AC平面 PAC，所以 BE平面 PAC.直线与平面所成的角例 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点求直线 BE 与平面ABB1A1所成的角的正弦值解 取 AA1的中点 M，连接 EM， BM，因为 E 是 DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以 EM AD.又在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AD平面 ABB1A1，所以 EM平面ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1上的射影， EBM 即为直线 BE 与平面 A
11、BB1A1所成的角设正方体的棱长为 2，则 EM AD2， BE 3，22 22 12于是在 Rt BEM 中，sin EBM ，EMBE 23即直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值为 .23类题通法求斜线与平面所成角的步骤- 6 -(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算活学活用如图，已知 BOC 在平面 内， OA 是平面 的斜线，且 AOB AOC
12、60，OA OB OC1， BC ，求 OA 与平面 所成的角的大小2解： OA OB OC1， AOB AOC60， AOB， AOC 为正三角形， AB AC1，又 BC ，2 BAC 为直角三角形，同理 BOC 为直角三角形，取 BC 中点 H，连接 AH，则 AH BC，易得 AHB AOH， AH OH， AH平面 ， AOH 为 OA 与 所成的角，在 Rt AOH 中， AH ，22sin AOH ， AOH45，AHAO 22即 AO 与平面 所成的角为 45.6.证 明 线 面 垂 直典例 (12 分)如图，已知 P 是 ABC 所在平面外一点，PA， PB， PC 两两互相
13、垂直， H 是 ABC 的垂心求证： PH平面 ABC.解题流程- 7 -规范解答 名师批注如图所示，连接 CH， PC AP， PC BP，AP BP P ， AP平面 APB，BP平面 APB ， PC平面 APB.(3 分) AB平面 APB ， PC AB.(5 分) H 为 ABC 的垂心， CH AB.(7 分) PC CH C ， PC平面 PHC， CH平面 PHC ， AB平面 PHC. PH平面 PHC ， AB PH.(9 分)同理可证 PH BC.(10 分) AB平面 ABC， BC平面 ABC 且 AB BC B ， PH平面 ABC.(12 分)活学活用如图，已知
14、 PA圆 O 所在平面， AB 为圆 O 的直径， C 是圆周上的任意一点，过 A 作 AE PC 于 E.求证： AE平面 PBC.证明： PA平面 ABC， BC平面 ABC， PA BC. AC BC， AC PA A， BC平面 PAC. AE平面 PAC， BC AE.又 PC AE， BC PC C，处易漏掉APBPP，PCCHC 和ABBCB 的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密虽然写清了的条件，若没有写清楚处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分若漏掉处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的- 8 -PC平面 PBC， BC平面 PBC， AE平面 PBC.随
15、堂即时演练1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A BC D答案：A2.如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 上的射影 BO 的 2 倍，则AB 与平面 所成的角是( )A60 B45C30 D120答案：A3.如图所示，三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC， PA AB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于_答案：454已知正方形 ABCD 的边长为 1， AP平面 ABCD，且 AP2，则 PC_.答案： 65如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD
16、， AP AB2， BC2， E， F 分别是 AD， PC 的中点2证明： PC平面 BEF.证明：如图，连接 PE， EC，在 Rt PAE 和 Rt CDE 中，PA AB CD, AE DE， PAE CDE. PE CE，即 PEC 是等腰三角形- 9 -又 F 是 PC 的中点， EF PC.又 BP 2 BC，AP2 AB2 2F 是 PC 的中点， BF PC.又 BF EF F， PC平面 BEF.课时达标检测一、选择题1下列说法中正确的个数是( )若直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内的两条相交直线垂直，则 l ；若直线 l 与平面 内的任意
17、一条直线垂直，则 l .A3 B2 C1 D0答案：B2在空间四边形 ABCD 中，若 AB CD， BC AD，则对角线 AC 与 BD 的位置关系为( )A相交但不垂直 B垂直但不相交C不相交也不垂直 D无法判断答案：B3.如图所示，如果 MC菱形 ABCD 所在平面，那么 MA 与 BD 的位置 关系是( )A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直答案：C4如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )A AC SBB AB平面 SCDC SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D AB 与 SC 所成的角等
18、于 DC 与 SA 所成的角答案：D- 10 -5正方体 ABCDA1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成的角的余弦值为( )A. B. 23 33C. D.23 63答案：D二、填空题6菱形 ABCD 的对角线交于点 O，点 P 在 ABCD 所在平面外，且 PA PC， PD PB，则 PO与平面 ABCD 的位置关系是_答案： PO平面 ABCD7.如图， BCA90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所 在的直线中：(1)与 PC 垂直的直线有_；(2)与 AP 垂直的直线有_答案：(1) AB， AC， BC (2) BC8.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角为_答案：30三、解答题9如图，在直角三角形 BMC 中， BCM90， MBC60，BM5， MA3 且 MA AC， AB4，求 MC 与平面 ABC 所成角的正弦 值解：因为 BM5， MA3， AB4，所以 AB2 AM2 BM2，所以MA AB.又因为 MA AC， AB， AC平面 ABC，且 AB AC A，所以MA平面 ABC，所以 MCA 即为 MC 与平面 ABC 所成的角又因为 MBC60，所以 MC ，532所以 sin MCA .MAMC 3532 235
