1、设函数 ()1,2)nux 都在集合 E上有定义， 0xE。若数值级数 0102001()()()n nxu 收敛，则称 0x为函数项级数 1()n的收敛点，否则称为该函数项级数的发散点。所有收敛的集合，称为该函数项级数的收敛域。发散点的集合称为该函数项级数的发散域。若 E上每一点均是函数项级数 0()nux的收敛点，则称该函数项级数在 E上处处收敛。设 J是函数项级数 0()nux的收敛域。 xJ，设对应的级数和为 ()Sx，这样，便在 中定义了一个函数 S，称为该函数项级数的和函数。例如，几何级数201nnxx 它的收敛域为 ，发散域为 1；在收敛域内，和函数是1x，即有10(,)nx设
2、()nSx是函数项级数 1()nu的前 项和，则当 xJ时，有lim()nSx称 ()nnrx为该函数项级数的余项和。显然， J，有li()0nrx例 4.1 设11(),(),23,nnuxx，讨论函数项级数 1()nux的收敛性，并求其和函数 。解 由于2321()()()()nnSxxx故当 1时，limli0nn；当 时，lim(nS；当 1x时，()nnS，当 时，它的极限不存在；当 1x时，lilinx，故知该级数的收敛域为 (1,，在收敛域上，它的和函数为0()xS注：1）即使每个 ()nu都连续，和 ()Sx也仍然可以是不连续的函数。2）函数的可微性和可积性可能不再成立。即函数
3、项级数 11()()nnuxx（4.1）11()()bbnnaadud(4.2)都不成立。若如果式（4.1）成立，则说级数 1()nx可以逐项微分；如果式（4.2）成立，则说 1()nux可以逐项计分。7.4.2 函数项级数的一致收敛性处处收敛的 “ N” 语言，应该是这样的：0,(,)xJNx，使得当 nN时，有 ()()nnrxSx(,)表明， 不但依赖于 ，还依赖于 。即对给定的 、 J中不同的 ，可以有不同的 ，对所有的 x不一定有通用的自然数 。若存在着通用的自然数 N使级数收敛，则称级数一致收敛。定义 4.1 设函数项级数 1()nux在 J上收敛于和函数 ()Sx。若 0,当nN
4、时，()nSx对所有的 J都成立，则称该级数在 J上一致收敛或一致收敛于 ()Sx。类似地，可以给出函数列 ()nfx在 上一致收敛于函数 f的定义。一致收敛性的几何形象，（以序列为例）。设函数序列 ()nx在区间 I上一致收敛于函数 ()fx。如果以曲线 ()yfx为“中心”，作一“ 宽度”为 2的带形区域，则不论正数 如何小，总有一个正整数 N，使当 n时，曲线 ()nyfx都完全在上述带形区域之内（图 4.1）。再分析例 4.1 中的级数。当 01x时()()nnnrxS故 0，若要 n，必须 l()x，即 ln(1)x当 1时，由于lnx，所以当 x在 (0,1)内找不到通用的 N。从
5、而所讨论级数在区间 (0,)内部不一致收敛，在 ,上更不可能一致收敛（图 4.2）。但是，对于任何小于 1的正数 r，所讨论级数在上是一致收敛的，因为这时可以取lnrN。证明一个函数项级数在 J上不一致收敛的一般方法是：0，使得无论自然数 n多么大，总存在 nxJ，使得()nSx一致收敛性的判别方法：定理 4.1 （Cauchy 一致收敛准则） 函数项级数 1()nux在 J上一致收敛的充分必要条件是： 0,(),N当 n时，对 xJ及任何的自然数 P，有1()()PnPknSxu(4.3)证明 必要性 设该级数在 J上一致收敛于和函数 ()Sx。则 0,()N当 nN时，对 x，有2 2()
6、()nnPSSx 从而有()()()nPnnPnSxSxSx充分性 设不等式（4.3）成立，则有数列的 Cauchy 收敛准则，对于任意固定的xJ，部分和数列 ()nSx收敛，即该级数在 J上处处收敛，设其极限函数为 ()Sx。在式（4.3）中，令 P，便得到：当 ()N时， xJ，即()nSx由定义 4.1，级数在 J上一致收敛。推论 设级数 1()nux在 上一致收敛，则函数列 ()nux在 J上一致收敛于零。定理 4.2 （Weierstrass 准则或 M判别法）如果存在一个收敛的正项级数 1nM，使得对 xJ，有 ()1,2nnux 则函数项级数 1()nux在 J上一致收敛。证明
7、由于正项级数 1n收敛，根据数值级数的 Cauchy 收敛准则，0,(),N当 n时，恒有12(1,2)nnPM 由已知， xJ，有 (),nnuxM ，故1212()()()nnPnnuM 根据定理 4.1，该级数在 J上一致收敛。定理 4.2 中的级数 1nM称为控制级数或优级数。例 4.2 判断级数421xn在 0上的一致收敛性。解 因为42,x，所以 42211xnn而正项级数21n是收敛的 P-级数，故所讨论的函数项级数在区间 0,)上是一致收敛的。7.4.3 和函数的分析性质定理 4.3 若函数项级数 1()nux在区间 I上一致收敛于和函数 ()Sx，且级数的每一项 ()nux都
8、在 I上连续，则和函数 S也连续。证明 任意取 0xI，由于 1()nux在 I上一致收敛，对任意给定的 0，存在自然数 N，使得对任意的 ，有3()Sx（ 4.4）由于级数的每一项均在 I上连续，部分和 1()()NnSxu也在 I上连续，特别是在0x处连续，所以，存在 0，使当 0x时，有3()NSx由式（4.4）和式（4.5），得 0 00()()()()NNSxSxSxSx这就证明了 在 处连续的。由 0的任意性可知， 在区间 I上连续。定理 4.4 若函数序列 ()nfx在区间 I上一致收敛于函数 ()fx，且每一个 ()nfx都是在 I上连续，则 ()f在 I上也连续。注：极限函数
9、（级数的和）不连续，常常是判断不一致收敛的简单方法。如在区间 0,1上连续函数列 nx收敛于不连续的函数1()0xf，所以必然是不一致收敛。例 4.3 2(1)nx在 0,上不一致收敛。证明 因为当 时，级数的和为零；当 0x时，22221(1)(1)0nnxxxx可见，()Sx。而2(1)nxnu在 0,上连续，所以级数 1()nux在0,1上不能一致收敛。定理 4.5 若函数项级数 1()nux在区间 ,ab上一致收敛于和函数 ()Sx，且级数的每一项 ()nux都在区间 ,ab上连续，则和函数可积，且可逐项积分，即11()()()b bnnaaaSduxduxd（4.6）证明 由定理 4
10、.3 知， ()在 ,上连续，因而可积。由于111lim()li()nbbnkaaknnuxduxdS只需证明()lim()bbnaaSxdSxd（4.7）注意到级数一致收敛，对 0,N当 时，对所有的 ,xab，有 ()nSx 因而 ()()()bbbnaaaSxdxdx这就证明了式（4.7）。定理 4.6 设 ()nfx在区间 ,ab上一致收敛于 ()fx，且每一个 ()nfx都是在,ab上连续，则 f在 ,ab上可积，并且可以逐项积分，即()lim()li()bnnaaafxdfxdfxd（4.8）定理 4.7 设级数 1()nu在区间 I上处处收敛于和函数 ()Sx，如果它的各项()n
11、ux都在 I上又连续的导数，并且有导函数 ()nx所组成的级数在 I上一致收敛，则和函数 S在 上可微。并且可以逐项微分，即 11()()()dnnxux（4.9）证明 设*1()()nS取 ,axI，由式 (4.6)得 *1()()xxnaaSutd但 ()()xnnautdxu，这就是说， *11()()()xnnaxStd根据定理 4.3，*S在 I上连续，所以111*()()()ddnnnxxdxanuuaStx定理 4.8 若函数序列 ()nfx在区间 I上处处收敛于函数 ()fx，且每一个 ()nfx都在 I上有连续的导数 nf，又 在 上一致收敛，则极限函数 在 I上可微，并且(
12、)lim()nfxx注：逐项求导后的级数的一致收敛性，是不能由原级数的一致收敛性代替的。例如，级数 2 22sin()sin()sin1xxx 因为22sin()1x，级数21n收敛，由 M判别法知，级数2sin()1x在任何区间上都是一致收敛的。但逐项积分后的级数22cos()cos()xnx 因其通项不趋于零，所以级数的收敛域为空集。因此，原级数不可能逐项微分。注：1）求极限、求积分和求导数都可以与求和交换次序。因为求积分、求导数和求和也是一个极限问题。2）一致收敛仅是求极限、求积分和求导数能与求和交换次序结论成立的充分条件，而不是必要条件。例 4.4 设 2,3n1220()nnnxxf则每个 ()nfx都是 0,1上的连续函数。他的图形是一根折线（图 4.3），在1n处达到最高点，此时， y。容易证明， ()nfx在 0,1上处处收敛于零。因此，极限函数是 0,1上的连续函数。但()nfx在 0,1上不一致收敛于零。为证明这一点，取102,nx，则12()nfx。
