1、1全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，ABC 与DEF 全等，记作ABCDEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC和 DF 是对应边；A 和D，B 和E，C 和F 是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等
2、三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）全等三角形判定一（SSS，SAS）全等三角形判定 1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS” ）.要点诠释：如图，如果 AB， AC， BC，则ABCABCB.ABC要点二、全等三角形判定 2“边角边”1. 全等三角形判定 2“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或2“SAS”）.要点诠释：如图，如果 AB ，A ，AC ，则ABACABC . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.ABC2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定
3、全等.如图，ABC 与ABD 中，ABAB，ACAD，BB，但ABC 与ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1“边边边”1、已知：如图，RPQ 中，RPRQ，M 为 PQ 的中点求证：RM 平分PRQ证明：M 为 PQ 的中点（已知） ，PMQM在RPM 和RQM 中，(),RPQM已 知公 共 边RPMRQM（SSS） PRMQRM（全等三角形对应角相等） 即 RM 平分PRQ.举一反三：3【变式】已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.类型二、全等三角形的判定 2“边角边”2、已知：如图
4、，ABAD，ACAE，12求证：BCDE证明： 121CAD2CAD，即BACDAE在ABC 和ADE 中ABDCEABCADE（SAS）BCDE（全等三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D 三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90） ，连接 AE、CD，试确定 AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论证明：延长 AE 交 CD 于 F，ABC 和DBE 是等腰直角三角形ABBC，BDBE在ABE 和CBD 中490ABCEDABECBD（SAS）AECD，12又1390，34（对顶角相等）2490，即AFC90AECD举一反三：【变式】已知
5、：如图，PC AC，PB AB，AP 平分BAC，且 ABAC，点 Q 在 PA上，求证：QCQB类型三、全等三角形判定的实际应用 4、 “三月三，放风筝” 下图是小明制作的风筝，他根据 DEDF，EHFH，不用度量，就知道DEHDFH请你用所学的知识证明【答案与解析】证明：在DEH 和DFH 中，5DEFHDEHDFH(SSS)DEHDFH一、选择题1. ABC 和 中，若 AB ，BC ，AC .则（ ）ABCABCAA.ABC B. ABC C. ABC D. ABC 2. 如图，已知 ABCD，ADBC，则下列结论中错误的是（ ）A.ABDC B.BD C.AC D.ABBC3. 下列
6、判断正确的是（ ）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ABCD，BCED，以下结论不正确的是（ ）A.ECAC B.ECAC C.ED AB DB D.DC CB 二、填空题9. 如图，在ABC 和EFD 中，ADFC，ABFE，当添加条件_时，就可得ABCEFD（SSS）10. 如图，ACAD，CBDB，230，326，则CBE_.612. 已知，如图，ABCD，ACBD，则ABC ，ADC .三、解答题13. 已知：如图，四边形 ABCD 中，对角线
7、 AC、BD 相交于O，ADCBCD，ADBC，求证：CODO14. 已知：如图，ABCD，ABCD求证：ADBC分析：要证 ADBC，只要证_，又需证_证明： ABCD （ ） ， _ （ ） ，在_和_中，),_(, _ （ ） _ （ ） _（ ） 715. 如图，已知 ABDC，ACDB，BECE 求证：AEDE.全等三角形判定 3“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果A ，AB ，B ，则ABCAB.ABC要点二、全等三角形判定 4“角角边”1.全等三角形判定 4“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角
8、形全等（可以简写成“角角边”或“AAS” ）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC 和ADE 中，如果 DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC 和ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件 可选择的判定方法一边一角对应相等 SAS AAS ASA两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS8类型一、全等三角形的判定 3“角边角”1、已知：如图，E，F 在 AC 上，ADCB 且 ADCB，DB求证：AECF证明：ADCBAC 在ADF 与CBE
9、中ACDBADFCBE （ASA）AF CE ，AFEFCEEF故得：AECF举一反三：【变式】如图，ABCD，AFDE，BECF.求证：ABCD.类型二、全等三角形的判定 4“角角边”2、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB求证：ADAC9证明：ABAE，ADAC，CADBAE90CADDABBAEDAB ，即BACEAD在BAC 和EAD 中BACED= BACEAD（AAS）AC AD 举一反三：【变式】如图，AD 是ABC 的中线，过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线CF、BE.求证：BECF.【答案】证明：AD 为ABC 的中线BDCDBEAD，CFAD，BE
10、DCFD90，在BED 和CFD 中BEDCF（ 对 顶 角 相 等 ）BEDCFD（AAS）BECF103、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC（1）求证：AC 与 BD 互相平分；（2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点，求证：OEOF.证明：ABDC在ABO 与CDO 中AC(OBD 对 顶 角 相 等 ） =ABOCDO（AAS）AOCO ，BO=DO在AEO 和CFO 中AC(OEF= 对 顶 角 相 等 ）AEOCFO（ASA）OEOF.一、选择题1. 能确定ABCDEF 的条件是 （ ）AABDE，BCEF，AEBABDE，BCE
11、F，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE2如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ）图 43A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙113AD 是ABC 的角平分线，作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，下列结论错误的是（ ）ADEDF BAEAF CBDCD DADEADF4 如图，已知 MBND，MBANDC，下列条件不能判定ABMCDN 的是 （ ）AMN BABCD CAMCN DAMCN6如图，12，34，下面结论中错误的是（ ）AADCBCD BABDBACCABOCDO DAODBOC二、填空题7. 如图,12，要使ABE
12、ACE，还需添加一个条件是 .(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在ABC 和 中，A44，B67， 69，ABCC 44，且 AC ，则这两个三角形_全等.（填“一定”B或“不一定” ）9. 已知，如图，ABCD，AFDE，AFDE，且 BE2，BC10，则EF_.11. 如图, 已知：1 2 , 3 4 , 要证 BD CD , 需先证AEB 12AEC , 根据是 ，再证BDE ，根据是 12. 已知:如图，BDEF，ABDE，要说明ABCDEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 三、解答题13阅读下题及
13、一位同学的解答过程：如图，AB 和 CD 相交于点 O，且OAOB，AC那么AOD 与COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由答：AODCOB证明：在AOD 和COB 中，),(),对COBAD AODCOB （ASA） 问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E、F 在 BD 上，且 ABCD，BFDE，AECF，求证：AC 与 BD互相平分.1315. 已知：如图, ABCD, OA OD, BC 过 O 点, 点 E、F 在直线 AOD 上, 且AE DF.求证：EBCF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三
14、角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS” ，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL” ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABCD：（2）ADBC证明：（1）ABBD，CDBD，ABDCDB9014在 RtABD 和 RtCDB 中，ADBCRtABDRtCDB（HL
15、）ABCD（全等三角形对应边相等）（2）由ADBCBDADBC .举一反三：【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“” ，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“” ；错误的画“” ，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）（3）有两边
16、和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）3、已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD求证：ADBC；15证明：连接 DCADAC，BCBDDACCBD90在 RtADC 与 RtBCD 中，DCABRtADCRtBCD（HL）ADBC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90 .求证：OCOD.4、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 上，且过 A，B 两点l分别作直线 的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角l形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1下列说法正确的是 （ ）A一直角边对应相等的两个直
17、角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等163. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A形状相同 B周长相等 C面积相等 D全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空题7如图，BE，CD 是ABC 的高，且 BDEC，判定BCDCBE 的依据是“_”8. 已知，如图，AD90，BECF，ACDE，则ABC_.9. 如图，BADC，A90，ABCE，BCED，则 AC_.10. 如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ECAC，ACEC，若DE2，AB4，则 DB_.12. 如图，已知 AD 是ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且BFAC，FDCD.则BAD_.17三、解答题14. 如图，已知 ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF. 求证：ACEF. 15. 如图，已知 ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分别是点 E、F.求证：12.
