全等三角形判定经典.doc

1、111.2 三角形全等的判定 ABCDEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，BAD，ABC DEF （SSS ） 。例 1. 如图所示，ABCD，ACDB。求证：ABCDCB。 ABCD分析：由已知可得 ABCD，ACDB，又因为 BC 是两个三角形的公共边，所以根据 SSS 可得出ABCDCB。证明：在ABC 和DCB 中， ，AB CDAC DBBC CB)ABC DCB（SSS）评析：证明格式：点明要证明的两个三角形；列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面） ，用大括号括起来；条件按照“

2、SSS”顺序排序； 得出结论，并把判断的依据注在后面。2（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，BECF，ABC DEF（ASA） 。例 2. 如图所示，ABCD，AFDE，BECF ，求证：ABCD。ABEFCD分析：要证明 ABCD，由于 AB、CD 分别是ABF 和DCE 的边，可尝试证明ABFDCE，由已知易证：B C，AFB DEC，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由 BECF 可证得 BFCE，由 ASA 即可证明两三角形全等。证明：ABCD，B C（两直线平行，内错角相等）又AFDE，AFC

3、DEB（同上）AFBCED（等角的补角相等）又BECF，BEEFCFEF，即 BFCE在ABF 和DCE 中，()BCFEAD已 证已 证 已 证ABFDCE（ASA）ABCD （全等三角形对应边相等）3（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”。表示方法：如图所示，在 ABC 和DEF 中，ADBECF，ABC DEF（AAS ） 。例 3. 如图所示， RtABC 中，ACB90，ACBC，ADCD 于D，BFCD 于 F，AB 交 CD 于 E，求证：ADBFDF。ABCDF分析：要证 ADBFDF ，观察图形可得 CFCD DF，只需证明CF

4、 AD，CDBF 即可，也就是要证明CFB ADC。由已知BCAC，CFBADC90，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF CD，ACB90，易证得CBF ACD，问题便得到证明。证明：ACB 90 ，BF CDACDBCD 90 ，CBF BCD90CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFB ADC90在CFB 和ADC 中，CBFAD（已知）CFBADC（AAS）CF AD ， BFCD（全等三角形的对应边相等）又CFCDDF4ADBF DF评析：由条件 ACBC 和垂直关系可得，AC 、 BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用 AAS 证三角形全等；由条件可用余角

5、性质转换角度证明角相等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。表示方法：如图所示，在ABC 和DEF 中，ABDECF，ABCDEF（SAS） 。例 4. 已知：如图所示，ABDE，B DEF ，BECF 。求证：ACDF 。 ABCDEF分析：欲证 ACDF ，可通过证明 ACB F，由平行线的判定定理即可得证。而ACB 与 F 分别是 ABC 和DEF 的内角，所以应先证明 ABCDEF。由 BECF 易得 BCEF，再结合已知条件 ABDE ，B DEF 即可达到目的。证明：BECF，BEECCFEC，即 BCEF。在ABC 和 DEF 中，ABD

6、ECF，ABC DEF（SAS） 。ACB F。AC5ACDF。评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” 。表示方法：如图所示，在 Rt ABC 和 RtDEF 中，ABDE，BCEF，RtABCRtDEF（HL） 。ABCDEF注意：三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在ABC和ABD 中，ABAB ， ACAD，B B，显然它们不全等。三个角对应相等的两个三

7、角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。6例 5. 如图所示，Rt ABC 中，C90，AC10cm ，BC 5cm ，一条线段 PQAB ， P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动。问点 P 运动到 AC 上什么位置时，ABC 才能和PQA 全等？BCAPQM分析：要使ABC 与 PQA 全等，由于C PAQ90，PQAB，则只需 APCB 或 APCA，由 HL 即可知道它们全等，从而容易确定 P 点的位置。解：由题意可知，CPAQ90，又 ABPQ，要使ABC PQA，则只需 APCB 或 APCA 即可，从而当点 P 运动至 AP5cm ，即

8、AC 中点时，ABCQPA ；或点 P 与点 C 重合时，即 APCA10cm 时，ABCPQA 。评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。7例 6. 如图，ABC 和 EBD 都是等腰直角三角形，A、B、D 三点在同一直线上，连结 CD、AE，并延长 AE 交 CD 于 F。（1）求证：ABECBD。（2）直线 AE 与 CD 互相垂直吗？请证明你的结论。分析：根据已知条件易得 ABBC，BEBD，

9、ABC CBD90正好是ABE 和CBD 全等的条件。对于 AE 与 CD 垂直关系的证明需要推证出CFA90。证明：（1）ABC 和EBD 都是等腰直角三角形，ABCB ，BEBD，ABCCBD90ABECBD （SSA）（2）AE CD，在ABE 和CEF 中，EABECF ，AEBCEF，且ABE90，ECF CEFEAB AEBECF CEF180 （EABAEB）即AFCABE90AE CD。评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。拓展提高1.(07 北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边

10、形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在 中，点 分别在 上，ABC DE， ABC，设 相交于点 ，若 ，DE， O6012请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；ABCEFDOA8（3）在 中，如果 是不等于 的锐角，点 分别在 上，且ABC 60DE， ABC，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明12DE你的结论1. 解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.（2）与A 相等的角是BOD（或COE）四边形 DBCE 是等对边四边形.（3）此时存在等对边四边形 DBCE.证明 1：如图

11、，作 CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 的延长线于 F 点. DCB=EBC= A，BC 为公共边12BGCCFBBF=CGBDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+AGEC=ABE+ABDFCEGBD=CE故四边形 DBCE 是等对边四边形。 证明 2：如图，在 BE 上取一点 F，使得 BF=CD，连接 CF.易证BCDCBF，故 BD=CF，FCB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+ACEF=ABE+ACF=CEBF=CE故四边形 DBCE 是等对边四边形.2.(09 宣武一模)已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F

12、 分别为边 AB、AC、BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结 EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE 上？请写出结论，并说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量9AB CD EFMNPFEDCBAMN关系是否仍

13、然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由 （第 23 题图 1） （第 23 题图 2） （第 23 题图3）2解：（1）判断： EN=MF，点 F 在直线 NE 上证明：如答图 1,连结 DE、DF、EF ABC 是等边三角形， AB=AC=BC又 D、 E、F 是三边的中点， DE、DF、EF 为ABC 的中位线DE=DF=EF， FDE=DFE60DMN 是等边三角形，MDN60，DM=DN FDENDF=MDN+ NDF， MDF=NDE 在DMF 和 DNE 中，DF=DE， MDF=NDE ， DM=DN， （第 23 题答图1）DMFDNE MF=NE设 EN 与

14、BC 交点为 P，连结 NF由ABC 是等边三角形且 D、F 分别是 AB、BC 的中点可得 DBF 是等边三角形，MDN=BDF60,MDNBDN =BDFBDN ，即MDB= NDF.在DMB 和 DNF 中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFNABC =60，DBM =120，NFD =120. （第 23 题答图 2）NFD+DFE =120+60=180.NFEDCBAMAEFDBNCMFEDCBA M10NMAB CD EFN、 F、E 三点共线，F 与 P 重合，F 在直线 NE上4 分（2）成立。证明：如答图 2，连结 DE、 DF、EF ABC

15、 是等边三角形，AB=AC=BC又 D， E，F 是三边的中点，DE，DF，EF 为ABC 的中位线DE=DF=EF， FDE=60又MDF+FDN=60 ，NDE+FDN=60 ，MDF=NDE在DMF 和 DNE 中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN，DMFDNE MF=NE 6 分（3） MF=NE 仍成立 7 分 （第 23 题答图3.(09 崇文一模)在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，DABCD为 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别ABC60MN=120在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与

16、等A边 的周长 L 的关系D11图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是_； 此时 _； QL=（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q=_（用 、L 表示） xx3.解：（I）如图 1， BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 32LQ（II）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接

17、 DE ,且 CDB12030DCB又 是等边三角形，A9MN在 与 中：EDCB(SAS) DM=DE, EM60NEN在 与 中：12DNEM(SAS) MN=NE=NC+BM 的周长 Q=AM+AN+MNA=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边 的周长 L=3ABABC. 32LQ（III）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，x则 Q= 2 + （用 、L 表示） xx课堂试题（答题时间：60 分钟）一. 选择题1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是 （ ）ABCD第 8题13A. 有两边和夹角对应相等

18、B. 有三边分别对应相等C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等2. 下列条件能判定两个三角形全等的是 （ ）A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等3. 如图所示，已知 ABCD，ADBC ，那么图中共有全等三角形（ ）A. 1 对 B. 2 对C. 4 对 D. 8 对4. 如图所示，已知A D，12，那么要得到ABCDEF，还应给出的条件是（ ）A. E B B. EDBCC. AB EF D. AFCD5. 如图所示，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于 F，若12，EC，AEAC，

19、则 （ ）A. ABCAFE B. AFEADCC. AFE DFC D. ABCADE6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件， 有（ ）A. 5 种 B. 4 种 C. 3 种 D. 2 种7. 如图所示，ABEFCD，ABC 90，ABDC，那么图中的全等三角形有 （ ）A. 1 对 B. 2 对C. 3 对 D. 4 对8. 如图，在ABC 中，ABAC，ADBC ，垂足为 D，且 BC6cm，则BD 的值（ ）A. 1cm B. 2cmC. 3cm D. 4cmABCDE1第 4题FABCDE123第 5题 FABCEF第 7题ABCDO第 3题149. 如图所示，DEAB，DF

20、 AC ，AE AF，则下列结论成立的是 （ ）A. BDCD B. DEDFC. B C D. ABAC二. 填空题10. 如图所示，ACBD，ACBD，那么_，理由是_. 11. 已知 ABCABC，AB6cm，BC7cm，AC9cm ，A70，B80，则AB_，BC _，AC_C_，C_. 12. 如图所示，已知 ABAC ，在ABD 与ACD 中，要使ABDACD，还需要再添加一个条件是_. 13. 如图所示，已知ABCDEF，AB 4cm ，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A 70，B 65，则D_，F_，DE_，BE_. ABCDEF第 9题ABDO第 10题ABCD第 12题

21、1514. 如图，点 D、E 分别在线段 AB、AC 上，BE、CD 相交于点O，AE AD，要使ABEACD，需添加一个条件是 _（只要求写一个条件）. 15. 如图， AC、BD 相交于点 O，AD，请你再补充一个条件，使得AOBDOC，你补充的条件是_. 三. 解答题16. 已知：如图，12，CD，求证：ACAD. 17. 如图，A、E、B、D 在同一直线上，在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF ，AC DF. （1）求证：ABCDEF ；（2）你还可以得到的结论是_（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）ABCD121618. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小

22、 刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点 O 上下转动，立柱 OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA、BB有何数量关系？为什么？19. MN、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口 C 等距离的 B、E 两处，这时他们分别从 B、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达 A、D 两点，他们的行走路线 AB、DE平行吗？请说明你的理由. 20. 有一块不规则的鱼池，下面是两 位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端 A、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的 理由. 方案一：小明想

23、出了这样一个方 法，如图所示，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使CDBC ，再定出 BF 的垂线 DE，使A、C、 E 在同一条直线上，测得 DE 的长就是 AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？方案二：小军想出了这样一个方法，如图所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端 A、B 的点 C，连结 AC 并延长到点 D，使 CDCA，连结BC 并延长到 E，使 CECB，连结 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A、B 之ABEFCOA BMNPQABCDE17间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？ABCDEF AB CD18课堂试题答案1. C 2. D 3. C 4. D 5

24、. D 6. A 7. C 8. C 9. B10. AOCBOD；AAS 或 ASA11. 6cm 7cm 9cm 30 3012. BDCD 或BAD CAD13. 70 45 4cm 2cm14. BC、AEBADC、CEOBDO、ABAC 、BDCE（任选一个即可）15. AODO 或 ABDC 或 BOCO16. 证ACB ADB17. （1）证明：ACDF，AD，在 ABC 和DEF 中ABDECF，ABC DEF（SAS）（2）答案不唯一，如：AEDB，CF，BCEF 等. 18. 答：AABB，证AAOBBO19. 平行. 理由如下：由已知条件得，ABDE，BCCE，在 Rt ABC 和 RtDCE 中，AB=DEBC=CERt ABCRtDCE（HL ） ，ABC DEC ，ABDE. 20. 小明的做法有道理，其理由如下：因为 ABBF ，DE BF ，所以ABC EDC ，又因为 A、C、E 三点在同一条直线上，所以ACB ECD ，且 BCDC，所以ABC EDC （ASA） ，所以 ABDE（全等三角形的对应边相等） .小军的做法有道理，其理由如下：因为在ABC 和DCE 中，CDCA，ACB DCE（对顶角相等） ，CE BC，所以ABC DEC （SAS ） ，所以 ABDE（全等三角形的对应边相等） .