1、 问题一:鹿群增长模型 问题二:养老保险问题 问题三: 金融公司的支付基金流动 问题四:保险金问题摘要: 本篇实验报告主要是针对实验十:简单的鹿群增长问题而建立的模型。并且将此模型的求解方法,运用到其他的类似的模型当中。对该模型的求解,运用差分方程组和线性代数的有关知识,通过用 matlab 编程,实现对矩阵的特征值和特征向量的自动求解。以及将已知矩阵进行对角化。并且用该模型的建模思想和求解方法,对课后的四个实验任务,分别进行了模型的建立和求解。具体的四个实验任务如下:(1)鹿群增长模型的建立,算法编程以及程序的可行性验证;(2)养老保险问题模型的建立与求解;(3)金融公司支付基金的流动模型的
2、建立与求解;(4)人寿保险计划模型的建立与求解;针对这几个实验任务, 我分别建立了不同的数学模型,运用 Matlab 编程进行求解。通过书上给出的实际数据进行了算法的可行性检验,并且通过实际数据给出了该模型的优略性评价。问题一:鹿群增长模型问题重述: 假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内鹿群的增长受资源制约的因素较小。这里所说的资源包括:有限的食物空间水等。试建立一个简单的鹿群增长模型,并以适当的数据给出结果。给出数据一:x0=0.8 ,y0=1 ,a1=0.3 ,a2=1.5 ,b1=0.62 ,b2=0.75 ,s=0.8;数据二: x0=2.8 ,y0=3.4 ,a1=0.4
3、 ,a2=1.8 ,b1=0.61 ,b2=0.72 ,s=0.7;情况下的结果.模型假设: (1)只考虑母鹿,并将其分为两组,一岁以下为幼鹿组,其余的为成年组;(2)不考虑饱和状态,即在所考虑的时间段内,种群的增长基本上是不受自然资源的制约;(3)鹿的生育数与鹿的总数成正比。符号说明: : 第 年幼鹿的数量;nx: 第 年成年鹿的数量;y: 幼鹿的生育率;1a: 成年鹿的的生育率;2: 幼鹿的存活率;b:成年鹿的存活率;2: 系数矩阵;A:矩阵 A 的特征值;1:矩阵 A 的特征值;2: 开始时幼鹿的数量;0x:开始时成年鹿的数量;y: 刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率;s模型的建立:问题分析:
4、 根据鹿群数量增长的关系模型,建立幼鹿和成年鹿的数量关系式 (观测时间取为一年),建立如下的线性差分方程组:(1 )12nnnxsayyb令 , 代入方程(1)中,可以得到: (2)nxyu12A 1nnAu问题转化为对(2)进行求解。模型的求解原理:利用线性代数的知识,我们可以将矩阵 A 进行对角化 ,即找到矩阵 P,使得 为对角矩阵,并且对角线上的元素为 A 的特征值,即有:1PAB20从而有: ;1n100nuPu令 可得: 1cBc即可得到: 1222()()nnnxbby通过矩阵的方法可以得到第一年到第 n 年的幼鹿和成年鹿的数量分别为:11122212()()nnnxcbcb111
5、222nnnycb根据该公式可以通过编程直接给出第一年到第 n 年的幼鹿和成年鹿的数量。下面将给出编程的程序。实验程序:function x,y=nianshu(n)% 根据已知数据 x0,y0,a1,a2,b1,b2,s 进行求解% 其中 x0 是初始的幼鹿的数目,y0 是初始的成年鹿的数目;% a1 是幼鹿的生育率,a2 是成年鹿的生育率% b1 是幼鹿的存活率,b2 是成年鹿的存活率% s 是刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率% n 是年数 ;% 数据一 :x0=0.8 ,y0=1 ,a1=0.3 ,a2=1.5 ,b1=0.62 ,b2=0.75 ,s=0.8% 数据二 :x0=2.8 ,y
6、0=3.4 ,a1=0.4 ,a2=1.8 ,b1=0.61 ,b2=0.72 ,s=0.7x0=0.8 ;y0=1 ;a1=0.3 ;a2=1.5; b1=0.62 ;b2=0.75 ; s=0.8% x0=2.8 ;y0=3.4;a1=0.4 ;a2=1.8 ;b1=0.61;b2=0.72;s=0.7c=-(s*a1+b2);d=s*(b2*a1-a2*b1);m1=-c+sqrt(c2-4*d)/2m2=-c-sqrt(c2-4*d)/2a=(m1-b2) (m2-b2);b1 b1;cc=(inv(a)*x0;y0);4c1=cc(1);c2=cc(2);for i=1:nx(i)=
7、c1*(m1-b2)*(m1i)+c2*(m2-b2)*(m2i);y(i)=c1*b1*(m1i)+c2*b1*(m2i);endx=xy=y运行结果:对数据一: x0=0.8 ,y0=1 ,a1=0.3 ,a2=1.5 ,b1=0.62 ,b2=0.75 ,s=0.8 ,n=6 进行处理后得到的结果为: 年份 幼鹿的数量 成年鹿的数量1 年后 1.3920 1.24602 年后 1.8293 1.79753 年后 2.5961 2.48234 年后 3.6018 3.47135 年后 5.0300 4.83666 年后 7.0111 6.7461对数据二: x0=2.8 ,y0=3.4 ,
8、a1=0.4 ,a2=1.8 ,b1=0.61 ,b2=0.72 ,s=0.7,n=8 进行处理后得到的结果为: 年份 幼鹿的数量 成年鹿的数量1 年后 5.0680 4.15602 年后 6.6556 6.08383 年后 9.5292 8.44034 年后 13.3029 11.88985 年后 18.7059 16.67546 年后 26.2486 23.41697 年后 36.8549 32.87188 年后 51.7379 46.1492为了便于数据进行比较,我考虑将所有的数据用 Excel 进行作图,如下:024681 2 3 4 5 6系 列 1系 列 2图 1 :数据一得到的幼
9、鹿和成年鹿的数量比较图01020304050601 2 3 4 5 6 7 8系 列 1系 列 2图 2 :数据二得到的幼鹿和成年鹿的数量比较图问题三: 金融公司的支付基金流动问题重述:某金融机构为保证先进充分支付,设立一笔总额为$540 万的基金,分开放置在位于 A 城和 B 城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时 ,必须保证总额仍为$540 万。经过相当一段时期的业务情况,发现每经过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而 A 城公司有 10%的支付基金流动到B 城公司 ,B 城公司则有 12%支付基金流动到 A 城公司。此时 ,A 城公司基金额为$260 万
10、,B 城公司基金额$280 万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220 万,那么是否在什么时间需要将基金做专门调动来避免这种情形?符号说明:第 周 A 城公司的资金数量 ;nx:第 周 B 城公司的资金数量;y: A 城公司初始的资金数量;0: B 城公司初始的资金数量;y: 系数矩阵 A 的对角矩阵;d: 系数矩阵 A 的特征向量组矩阵;v问题分析:要保证总金额的数量保持不便,即有 ,根据第054nxy周的资金和第 周的资金之间的关系,建立如下关系式:n1n第 周 A 城公司的资金数量: 119%2nnn第 周 B 城公司的资金数量: 0
11、8yxy令 , ;nxuy0.9218, 0nA6考虑用问题一中的方法,将 A 进行对角化,找到矩阵 P,使 ,从而1APB,(其中 B 为对角矩阵) 1nnP 120nB从而 ,则可以得到 就是第 年 A 公司的情况和 B 公司的情况.10nnu,nxy实验程序:function shiyan104A=0.9,0.12;0.1,0.88;n=1000;un=260;280;for i=1:nt(i)=i;un=A*un;x(i)=un(1,1);y(i)=un(2,1);if(y(i) 实验报告实验十三:标尺的刻度设计 实验目的: 本实验设计微积分和线性代数的若干基本知识。通过实验复习函数的
12、反函数，定积分的应用和计算,解微分方程和解代数方程组等内容;并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧,例如插值法,二分法和两点边值问题的差分法等。问题一:问题重述:以实验十三中的的数值实例的数据 R=1,A=1,L=5(单位:m),分别用插值法和二分法求对应于 和 的刻度01,(1,2.7)iVVi318.024(:)Vm单 位位置 的值,并按 1:20 的比例制作一个具体的标尺模型。*iH问题分析:当 R=1,A=1,L=5 的时候,我们应该首先求出油量函数表达式,给出油量函数表,再根据此表给出油量和高度所在的区间,再分别求出一次和二次插值相应的高度 。*问题求解:当 R=1,A=1
13、,L=5 时的油量函数表达式为: 2223arcos(1)()arcsin() l 0 R HLRARVA具体情况如图所示:为了求出体积 V,我们需要将整个油罐分为两部分: 和 (其中()BVH)c和 分别表示的是相应的圆柱和圆锥部分的体积),则有: ()BVH()c()()2()CBVHV按照书上的方法给出油量函数表,如下: ii cBV0 0.0 0.0000 0.0000 0.00001 0.1 0.2936 0.0023 0.29822 0.2 0.8175 0.0128 0.84313 0.3 1.4775 0.0343 1.54614 0.4 2.2365 0.0682 2.372
14、95 0.5 3.0709 0.1153 3.30156 0.6 3.9634 0.1754 4.31427 0.7 4.8996 0.2481 5.39588 0.8 5.8674 0.332 6.53149 0.9 6.8557 0.4249 7.705510 1.0 7.8540 0.5236 8.901211 1.1 8.8523 0.6223 10.096912 1.2 9.8406 0.7152 11.27113 1.3 10.8084 0.7991 12.406614 1.4 11.7446 0.8718 13.488215 1.5 12.6371 0.9319 14.50091
15、6 1.6 13.4715 0.9790 15.429517 1.7 14.2305 1.0129 16.256318 1.8 14.8905 1.0344 16.959319 1.9 15.4144 1.0449 17.502420 2.0 15.7080 1.0472 17.8024进行一次插值的程序如下:function yicichazhifor i=1:17v(i)=i;enda=0.8431 ,1.5461 ,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,
16、14.5009,15.4295,16.9593;b=1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,10.0969,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.2563,17.5042;c=0.2 ,0.3 ,0.4 ,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.8;d=0.3, 0.4,0.5, 0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.9;fo
17、r i=1:17H(i)=(v(i)-b(i)*c(i)/(a(i)-b(i)-(v(i)-a(i)*d(i)/(a(i)-b(i);endH运行结果为: iiV对应的区间i 对应的区间iH一次插值 iH0 0 0,0 0,0 01 1 0.8431 ,1.5461 0.2,0.3 0.22232 2 1.5461 ,2.3729 0.3,0.4 0.35493 3 2.3729,3.3015 0.4,0.5 0.46754 4 3.3015,4.3142 0.5,0.6 0.56905 5 4.3142,5.3958 0.6,0.7 0.66346 6 5.3958,6.5314 0.7,0
18、.8 0.75327 7 6.5314,7.7055 0.8,0.9 0.83998 8 7.7055,8.9012 0.9,1.0 0.92469 9 8.9012,10.0969 1.0,1.1 1.008310 10 8.9012,10.0969 1.0,1.1 1.091911 11 10.0969,11.271 1.1,1.2 1.176912 12 11.271,12.4066 1.2,1.3 1.264213 13 12.4066,13.4882 1.3,1.4 1.354914 14 13.4882,14.5009 1.4,1.5 1.450515 15 14.5009,15.
19、4295 1.5,1.6 1.553716 16 15.4295,16.9593 1.6,1.7 1.669017 17 16.9593,17.8024 1.8,1.9 1.807518 17.8024 17.8024,17.8024 2.0,2.0 2.0进行二次插值的程序如下:function ercichazhi for i=1:17v(i)=i;enda=0.2936,0.8431 ,1.5461 ,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,7.7055,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009
20、,16.9593;b=0.8431 ,1.5461 ,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,8.9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,17.5042;c=1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,8.9012,10.0969,10.0969, 11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295 ,16.2563,17.8024;d=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0
21、.8,0.9,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.8;e=0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.9;f=0.3, 0.4,0.5, 0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,2.0;for i=1:17 H(i)=(v(i)-b(i)*(v(i)-c(i)*d(i)/(a(i)-b(i)*(a(i)-c(i)+(v(i)-a(i)*(v(i)-c(i)*e(i)/(a(i)-b(i)*(c(i)-b(i)+(v(i)
22、-b(i)*(v(i)-a(i)*f(i)/(c(i)-a(i)*(c(i)-b(i);endH运行结果为: iiV对应的区间i 对应的区间iH二次插值 iH0 0 0，0，0 0,0 01 1 0.2936，0.8431 ,1.5461 0.1，0.2,0.3 0.22502 2 0.8431 ,1.5461 ,2.3729 0.2，0.3,0.4 0.35733 3 1.5461 ,2.3729,3.3015 0.3，0.4,0.5 0.46904 4 2.3729,3.3015,4.3142 0.4，0.5,0.6 0.57005 5 3.3015,4.3142,5.3958 0.5，0
23、.6,0.7 0.66426 6 4.3142,5.3958,6.5314 0.6，0.7,0.8 0.75387 7 5.3958,6.5314,7.7055 0.7，0.8,0.9 0.84038 8 6.5314,7.7055,8.9012 0.8，0.9,1.0 0.92489 9 7.7055,8.9012,10.0969 0.9，1.0,1.1 1.008310 10 8.9012,10.0969,11.271 1.0,1.1，1.2 1.091911 11 10.0969,11.271,12.4066 1.1,1.2，1.3 1.176812 12 10.0969,11.271,
24、12.4066 1.1，1.2,1.3 1.263813 13 11.271,12.4066,13.4882 1.2，1.3,1.4 1.354314 14 12.4066,13.4882,14.5009 1.3，1.4,1.5 1.449815 15 13.4882,14.5009,15.4295 1.4，1.5,1.6 1.552816 16 14.5009,15.4295,16.9593 1.5，1.6,1.7 1.667917 17 16.9593,17.5042，17.8024 1.8,1.9，2.0 1.803818 17.8024 17.8024,17.8024，17.8024
25、2.0,2.0，2.0 2.0问题二:问题重述:在实际情形中,油罐还可能由一圆柱侧面两端拼接相同球冠组成,设圆柱长度为L=5,半径为 R=1,而球冠高度为:(1)A=1;(2)A=0.6,( 单位: )试对这种情况研究油3m量 V 关于储油高度的函数关系;做同问题一中的数值处理。问题分析:这个问题和问题一是一样的,首先需要给出体积的表达式,再进行插值求解。模型的建立:首先画出油库的图形,如下:为了求出体积 V,我们需要将整个油罐分为两部分: 和 (其中()BVH)c和 分别表示的是相应的圆球部分和圆柱体积),则有: ()BVH()c()()2()CBVHV当 , 0R2 2()cos11()c
26、 HLSRArR下面的问题是求 :BV设半球的方程为: 221(0)xyzRA则有: 22(1)xyzAR为了求出体积,需要给出 的积分区域, 的是从 ,而 的关系为:x()RHxy和,从而 ,用数学软件进行积分后得到体积的表达式为:22xy20y2322220()()()12(43/ )1BRxHVRHRAydAd下面可以给出油量函数表达式为: 322arcos)()() ) 0/2( 2 LRVHR下面按照问题一进行求解:情况一: 当 R=1,A=1,L=5 时首先给出油量函数表,如下: ii cVBVV0 0.0 0.0000 0.0000 0.00001 0.1 0.2936 0.00
27、76 0.30882 0.2 0.8175 0.0293 0.87613 0.3 1.4775 0.0636 1.60474 0.4 2.2365 0.1089 2.45435 0.5 3.0709 0.1636 3.39826 0.6 3.9634 0.2262 4.41587 0.7 4.8996 0.2950 5.48978 0.8 5.8674 0.3686 6.60469 0.9 6.8557 0.4453 7.746310 1.0 7.8540 0.5236 8.901211 1.1 8.8523 0.6019 10.056112 1.2 9.8406 0.6786 11.1977
28、13 1.3 10.8084 0.7521 12.312714 1.4 11.7446 0.8210 13.386615 1.5 12.6371 0.8836 14.404216 1.6 13.4715 0.9383 15.348117 1.7 14.2305 0.9836 16.197618 1.8 14.8905 1.0179 16.926219 1.9 15.4144 1.0396 17.493520 2.0 15.7080 1.0472 17.8024实验程序为:function shiyan1331r=1;a=1;l=5;for i=1:20h(i)=0.1*i;vc(i)=l*r*
29、r*(acos(1-h(i)/r)-(1-h(i)/r)*sqrt(1-(1-h(i)/r)2);vb(i)=a*pi*(2*r*sqrt(h(i)*r)/(3*sqrt(h(i)/r)- (sqrt(-h(i)*(h(i)-2*r)/(r*r)*(h(i)3-3*h(i)2*r+2*r2)/(3*sqrt(-h(i)*(h(i)-2*r)/4;v(i)=2*vb(i)+vc(i);endvbvcv进行一次插值的程序如下:function shiyan1332for i=1:17v(i)=i;enda=0.8761,1.6047,2.4543,3.3982,4.4158,5.4897,6.60
30、46,7.7463,8.9012,8.9012,10.0561,11.1977,12.3127,13.3866,14.4042 ,15.3481,16.9262;b=1.6047,2.4543,3.3982,4.4158,5.4897,6.6046,7.7463,8.9012,10.0561,10.0561,11.1977,12.3127,13.3866,14.4042,15.3481,16.1976,17.4935;c=0.2 ,0.3 ,0.4 ,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.8;d=0.3, 0.4,0.5,
31、0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.9;for i=1:17H(i)=(v(i)-b(i)*c(i)/(a(i)-b(i)-(v(i)-a(i)*d(i)/(a(i)-b(i);endH运行结果为: iiV对应的区间i 对应的区间iH一次插值 iH0 0 0,0 0,0 01 1 0.8761, 1.6047 0.2,0.3 0.21702 2 1.6047 , 2.4543 0.3,0.4 0.34653 3 2.4543 , 3.3982 0.4,0.5 0.45784 4 3.3982 , 4.4158 0.5,0.
32、6 0.55915 5 4.4158, 5.4897 0.6,0.7 0.65446 6 5.4897, 6.6046 0.7,0.8 0.74587 7 6.6046, 7.7463 0.8,0.9 0.83468 8 7.7463, 8.9012 0.9,1.0 0.92209 9 8.9012 ,10.0561 1.0,1.1 1.008610 10 8.9012 ,10.0561 1.0,1.1 1.095111 11 10.0561, 11.1977 1.1,1.2 1.182712 12 11.1977, 12.3127 1.2,1.3 1.272013 13 12.3127 ,
33、13.3866 1.3,1.4 1.364014 14 13.3866 ,14.4042 1.4,1.5 1.460315 15 14.4042 ,15.3481 1.5,1.6 1.563116 16 15.3481 ,16.1976 1.6,1.7 1.676717 17 16.9262, 17.4935 1.8,1.9 1.813018 17.8024 17.4935,17.8024 1.9,2.0 2.0进行二次插值的程序如下:function shiyan1334for i=1:17v(i)=i;enda=0.3088,0.8761,1.6047,2.4543,3.3982,4.41
34、58,5.4897,6.6046,7.7463,8.9012,10.0561,11.1977,12.3127,13.3866,14.4042 ,15.3481,16.9262;b=0.8761,1.6047,2.4543,3.3982,4.4158,5.4897,6.6046,7.7463,8.9012,10.0561,11.1977,12.3127,13.3866,14.4042 ,15.3481,16.9262, 17.4935;c=1.6047,2.4543,3.3982,4.4158,5.4897,6.6046,7.7463,8.9012,10.0561,11.1977,12.3127
35、,13.3866,14.4042 ,15.3481,16.9262, 17.4935,17.8024;d=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.8;e=0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.9;f=0.3, 0.4,0.5, 0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,2.0;for i=1:17 H(i)=(v(i)-b(i)*(v(i)-c(i)
36、*d(i)/(a(i)-b(i)*(a(i)-c(i)+(v(i)-a(i)*(v(i)-c(i)*e(i)/(a(i)-b(i)*(c(i)-b(i)+(v(i)-b(i)*(v(i)-a(i)*f(i)/(c(i)-a(i)*(c(i)-b(i);endH运行结果为:iiV对应的区间i 对应的区间iH二次插值 iH0 0 0,0 0,0 01 1 0.3088,0.8761, 1.6047 0.1，0.2,0.3 0.21932 2 0.8761,1.6047 , 2.4543 0.2，0.3,0.4 0.34883 3 1.6047 ,2.4543 , 3.3982 0.3，0.4,0.
37、5 0.45924 4 2.4543 ,3.3982 , 4.4158 0.4，0.5,0.6 0.56015 5 3.3982 ,4.4158, 5.4897 0.5，0.6,0.7 0.65516 6 4.4158,5.4897, 6.6046 0.6，0.7,0.8 0.74637 7 5.4897,6.6046, 7.7463 0.7，0.8,0.9 0.83498 8 6.6046,7.7463, 8.9012 0.8，0.9,1.0 0.92219 9 7.7463,8.9012 ,10.0561 0.9，1.0,1.1 1.008610 10 8.9012 ,10.0561, 1
38、1.1977 1.0,1.1，1.2 0.995111 11 10.0561,11.1977,12.3127 1.1,1.2，1.3 1.082512 12 11.1977,12.3127,13.3866 1.1，1.2,1.3 1.171613 13 12.3127,13.3866,14.4042 1.2，1.3,1.4 1.263314 14 13.3866 ,14.4042,15.3481 1.3，1.4,1.5 1.359315 15 14.4042 ,15.3481,16.1976 1.4，1.5,1.6 1.466616 16 15.3481 ,16.1976, 17.4935 1
39、.5，1.6,1.7 1.509517 17 16.9262, 17.4935,17.8024 1.8,1.9，2.0 1.806918 17.8024 17.4935,17.8024, ,17.8024 2.0,2.0，2.0 2.0对于 A=0.6 的情况和这个是一样的 ,在此处就不再进行讨论了。 实验报告实验十四:矿区面积的计算 实验目的: 本实验的目的是通过对矿区面积的计算,掌握定积分的近似计算方法,对有关数值积分的有关理论和数值计算方法有所了解。问题一:问题重述:已知函数 的一些数据点如下:()yfx分别用矩形,梯形和辛普生公式计算积分 的近似值。42()fxd问题分析:这个问题就是
40、基本的计算,我们可以直接套用公式进行编程计算即可。复合矩形求积公式,分为三种情况: 1111(1) ()2 (3) ()()2nbiiaiiiinbiiiaifxdfxxfxdfx梯形求积公式: ()2bafxdf辛普生求积公式: ()(62bff实验程序:function shiyan131x=2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0,3.2,3.4,3.6,3.8,4.0;y=1.65,1.56,1.38,1.12,0.77,0.34,-0.15,-0.7,-1.3,-1.91,-2.01;n=length(x)for i=2:ns1(i-1)=y(i-1)*(x(i)-x(i-1)
41、;s2(i-1)=y(i)*(x(i)-x(i-1);ends11=sum(s1)s12=sum(s2)for i=2:(n-1)s3(i-1)=y(i)*(x(i+1)-x(i-1);ends13=sum(s3)s4=(x(n)-x(1)*(y(n)+y(1)/2s5=(x(n)-x(1)*(y(1)+4*y(n+1)/2)+y(n)/6运行结果:复合矩形求积法: 方法一: s11 = 0.5520方法二: s12 = -0.1800方法三: s13 = 0.4440梯形求积法: s4 = -0.3600辛普生求积法: s5 = 0.3333问题二:问题重述:煤矿的储量估计,下表给出了某露天
42、煤矿在平面矩形区域(800m 600m)上,在纵横均匀的网格交点处测得的煤层厚度(单位:m)(由于客观原因,有些点无法测量煤层厚度,这里用/标出),其中的每个网格都为(10m 8m)的小矩形,试根据这些数据,来估算出该矩形区域煤矿的储藏量(体积)A B C D E F G H I J K1 / / 12.5 13.5 17.2 / 8.8 14.7 8.0 13.0 /2 / / / 15.6 18.2 13 6.4 8.9 9.2 11.7 /3 / 12 13.5 13.5 17.8 16.9 13.2 / / / /4 7.5 12.6 14.9 18.7 17.7 17.5 14.7
43、13 / / 6.55 8.9 7.8 12.4 13.5 15.7 17.6 11.7 9.6 9.2 9.5 8.66 / / / 13.7 13.6 16.5 12.5 8.7 9.7 / /7 / / 8.6 11.8 12.5 11.3 13.4 / / / /问题分析:这个问题时在计算矿区面积的基础上,扩展到计算矿区的体积。按照求体积的方法,我们可以知道,整个矿区的体积应为: ,其806()Vdxzy中 表示的是在 点处煤层的高度。但是题目中只给出了 51 个网格点()zxy(,)xy处的高度,所以我们可以采用书上介绍的求积分的近似值的方法来进行求解。模型的建立:(1)首先,由题目
44、可知,矿区的总面积为: ,而每个小网格的2806480m面积为: ,所以整个矿区被分成了 个小的网格。2108m6我们可以画出整个矿区的分割图,如图 1:实验程序: function shiyan141for i=1:75for j=1:80x(i-1)*80+j)=8*i;y(i-1)*80+j)=10*j;endendplot(x,y,+)运行结果:图 1(2)我们借用书上求面积的思想,对体积同样适用,将体积进行分割后,求积分和,即: 806()Vdxzy,将三维问题转化为二维问题,然后借用4800 ()zsd书上的二维求积分的计算方法进行求解。(3)要估计 6000 个区域当中各个区域的
45、高度值,我们考虑将 51 个已知数据进行编号,并记高度值为 ,设未知变量 为区域的面积,则 ,将已()fss80,4s知的 51 个数据列表如下:s80 80*120 80*240 80*360 80*480 80*600 80*720f (s) 12.5 13.5 17.2 8.8 14.7 8.0 13.080*840 80*960 80*1080 80*1200 80*1320 80*1440 80*1560f (s) 15.6 18.2 13 6.4 8.9 9.2 11.7s80*1680 80*1800 80*1920 80*2040 80*2160 80*2280 80*2400
46、f (s) 12 13.5 13.5 17.8 16.9 13.2 7.580*2520 80*2640 80*2760 80*2880 80*3000 80*3120 80*3240f (s) 12.6 14.9 18.7 17.7 17.5 14.7 13s80*3360 80*3480 80*3600 80*3720 80*3840 80*3960 80*4080f (s) 6.5 8.9 7.8 12.4 13.5 15.7 17.680*4200 80*4320 80*4440 80*4560 80*4680 80*4800 80*4920f (s) 11.7 9.6 9.2 9.5
47、 8.6 13.7 13.6s80*5040 80*5160 80*5280 80*5400 80*5520 80*5640 80*5760f (s) 16.5 12.5 8.7 9.7 8.6 11.8 12.580*5580 80*6000f (s) 11.3 13.4(4) 对上表中的数据按照书上的求积分的思想进行处理。 480()Vfsd 方法一: 采用样条函数积分法,实验程序如下:function shiyan1421x(1)=80;for i=2:51x(i)=80*120*(i-1);endy=12.5,13.5,17.2,8.8,14.7,8.0,13.0,15.6,18.2,13,6.4,8.9,9.2,11.7,12,13.5,13.5,17.8,16.9,13.2,7.5,12.6,14.9,18.7,17.7,17.5,14.7,13,6.5,8.9,7.8,12.4,13.5,15.7,17.6,11.7,9.6,9.2,9.5,8.6,13.7,13.6,16.5,12.5,8.7,9.7,8.6,11.8,12.5,11.3,13.4;ss=splin
