1、1.5 条件概率 一条件概率为了考虑在事件 A 已发生的条件下，事件 B 发生的概率，先看一个例子：例 1 抓阄问题:设 5 个人分 3 张电影票,采用抓阄方式(补 2 张假票),记A=第一个人抓到真票B=第二个人抓到真票.用 1,2,3 表示真票; 4,5 表示假票.观察前两个人的结果:1 2 2 1 3 1 4 1 5 1 1 3 2 3 3 2 4 2 5 2 (*) 1 4 2 4 3 4 4 3 5 31 5 2 5 3 5 4 5 5 4 . , .PA()0B()0现在已知 A 发生（即已知第一个人抓到真票） ，问事件 B 发生的概率是多少？记为.(|)由样本空间(*)知( );
2、P61|2P)另一方面, ,A)0则有 .PABPBA6()20(|)1上式有如下二个特点: B 看着是缩小了的样本空间; 可用两个事件的概率之比来表示.(|)一般的,将上式作为条件概率的定义.定义 1 设 A,B 为两个事件,且 ,称PA()0BP(|)为在 A 已发生的条件下事件 B 发生的条件概率.直接验证可得,条件概率符合概率定义的三条(自证):1 , ;PB(|)0S2 ;SA13若 , ,则有ijij.i iiPA11(|)(|)条件概率有与概率相应的那些性质(自证) 如:PABCBC|)(|)(|)(|)例 2 在有 3 个孩子的家庭中，已知至少有一个女孩，求至少有一个男孩的概率
3、.例 3 一次掷 10 颗骰子,已知至少出现一个1 点,问至少出现两个 1 点的概率是多少 ?二乘法公式设 ,则有PA()0BPA()|)一般,设 为 个事件, , n12, n2且()0则有 nPA12 nnP121(|)AP2(|)( 例 4（传染病模型）设袋中有 只红球， 只rt白球，每次取一只，记其颜色后放回，并再放入 只同色的球.若在袋中连取a四次,试求第一、二次取红球且第三、四次取白球的概率.三.全概率公式和贝叶斯公式定义 2 设为 E 试验,S 为样本空间,是一组事件,若nB12,1) , , ;ijijin1,22) .niS1则称 是 S 的一个划分.n2,定理 1 对于样本
4、空间 S, A 为一个事件, 为 S 的一个划分,且 , nB2, iPB()0. 则i. nPAPB1()|)(|上式称为全概率公式.定理 2 设 S 为样本空间, A 为一个事件, 为 S 的一个划分,且 , nB1, iPB()0, .则i P()0,iiinjjjBA1|()(| n12,上式称为贝叶斯公式.例 5 当机器良好时, 产品的合格率为 0.9,当机器出故障时,产品的合格率为 0.3,每天开机时,机器良好的概率为 0.75.试求:已知某日的第一件产品是合格品时,机器良好的概率.现在我们来讨论全概率公式与贝叶斯定理之间的关系。首先，它们都是用简单事件的概率来计算复杂事件概率问题
5、。在全概率公式中，如果把 看作导致事件 A 发生iB的原因，则全概率公式是一个“由因求果”的问题，这里 是事先已知的，称为()iP“先验概率” 。在贝叶斯定理中， “结果”事件 A 已经发生，我们要求是 A 发生是由于“原因” 引起的概率，则贝叶斯定理iB是一个“执果寻因”的问题，这里是得到信息 A 之后得出的概率，称(|)iP为“后验概率” 。我们看到，后验概率的计算要以先验概率 为基础，|i ()iPB所以两者有不可分割的联系。例 6 某服装车间有一、二、三 3 个工段生产同一种服装。各工段产量分别占总量的 25%，35%，40%，它们的次品率分别为 5%，4%，2%。若从中任取一件发现是
6、次品，求恰为各工段生产的概率。A 表示抽到一件产品是次品事件。表示产品是 i 工段生产的事件。iB， ()0.345P1(|)0.362PBA，2|63这种从总产品中抽取一件，由某个条件（如次品）的概率大小来确定它由哪个部门生产的方式称为“贝叶斯决策” ，在经济决策中有很大用处。作 业1、 由长期统计资料得知,某一地区在四月份下雨(记作事件 A)的概率为 ,刮风154(记作事件 B)的概率为 ,既刮风又下7雨的概率为 .10求: , ,)|BAP)|()(BAP2、某考生回答一道四选一的选择题，已知他知道正确答案的概率为 0.5，不知道答案但猜对的概率为 0.25.那么他答对题的概率是多大？3、有两个口袋，甲袋中有两个白球，一个黑球，乙袋中有一个白球，两个黑球。现由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球。问：（1）取到白球的概率；（2）若发现从乙袋中取出的是白球，那么从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色的可能性大？（具体计算说明）
