1、1龙格 -库塔法在水下滑翔机动力学研究中的应用姓名：梁 岩 学号： 1014201066 专业：机械工程摘 要：水下滑翔机（Underwater Glider）是一种新型的水下自航行器（Autonomous Underwater Vehicle，简称 AUV），由于其在位作业时间长、巡航范围广、能耗少等优点，已经逐渐应用于海洋监测和探测领域，发挥着越来越重要的作用，受到广泛关注。在水下滑翔机设计过程中，为了能够预先估计其水动力特性和操纵性特性，避免大量的约束模型实验，需要建立动力学模型以仿真分析水下滑翔机的动力学行为、预报水下滑翔机的操纵性。在求解过程中首先给定水下滑翔机运动的初始条件和边界条
2、件，然后采用龙格-库塔（Runge-Kutta）法进行数值求解，可获取各广义坐标和相关运动参数的最终解。关键词：水下滑翔机 动力学 龙格-库塔法1 引言由于海洋资源开发的需要以及海洋环境监测的迫切需要，世界上很多发达国家不断更新本国管辖海域的海洋环境监测系统，强化世界共有海域的海洋环境和资源调查监测手段。水下滑翔机作为海洋环境和资源调查监测的重要手段越来越受到各国的重视。各种新型水下潜器被不断研发并得到了实际的应用，特别是随着微电子技术的不断发展，无人水下自航行器成为目前各国研究的重点。水下滑翔机是一种依靠机翼水动力和净浮力驱动、将浮标和水下机器人技术结合的新概念水下机器人。水下滑翔机通过间歇
3、性的改变自身的净浮力和重心在垂直纵剖面的位置从而改变滑翔运动过程中机翼受到的水动力,借助机翼的升力实现在垂直纵剖面的锯齿状运动；通过重心位置在机翼面的侧向偏移产生的横滚力矩实现机身的横滚,从而使机翼升力产生回转向心力分量实现滑翔机的三维螺旋运动。由于净浮力的改变和重心位置改变是间歇性的,因此滑翔机能耗非常小, 适用于长期、大范围的海洋环境监测。图 1 水下滑翔机“锯齿状”轨迹运动2在水下滑翔机设计过程中，为了能够预先估计其水动力特性和操纵特性，避免大量的约束模型实验，需要建立动力学模型以仿真分析水下滑翔机的动力学行为、预报水下滑翔机的操纵性。动力学建模是研究水下滑翔机水动力特性的理论基础，是运
4、动控制的分析依据。2 水下滑翔机动力学模型建模工程上许多系统的动力学系统在忽略其在运动中的形变后，可将其当作刚体系统处理。经典力学已证明：刚体的任何运动都可分解为刚体质心的平移运动和绕刚体质心的旋转运动，其动力学方程式可表示为矩阵形式：动量方程：（1）dmtGVF动量矩方程：（2）dtGLM式中 刚体质量；m刚体质心的速度矢量；GV作用于刚体的合外力；F刚体对质心的动量矩；L作用于刚体质心的外力矩。GM经推导可得水下滑翔机的动量方程和动量矩方程：（3）222()()()GGGmuvrwqxrypqrzqXpYp Z （4）()()()xzyGGyzxJrmvuzvrwKqzwqrxuqMrqp
5、yN 将已知的外力表达式分别代入动量方程和动量矩方程即可得动力学方程的一般表达式。考虑到小角度条件（小冲角、小侧滑角、小机动运动）和设计中的重心下降量 很小，为一阶小量，并且 ，粘性力可用线性导数Gy0,Gxz来表示， 均为一阶小量，略去它们乘积之二阶小量，可以得到水下滑,uvwpq翔机空间运动方程的如下简化表达式：3（5）24 21262352 1()sinsin(0)60coscos()() in1in()( erT TxrTYYpqTZZmuvrGKDBVSCBVSCwquC254 25352626)601sincosin( )()sii/( )()co drrxGQpqr TRRRym
6、pqTMMzJpyKDl VSLCJqwlBLCrvGl 21cos/sin()erTNNyVSLC 3 龙格-库塔法在数值计算中的应用龙格库塔方法的基本思想是，考虑函数 f（x, y）在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在（x i, yi）处的泰勒展开式与解y（x）在 xi 处的泰勒展开式的前几项重合，从而使近似公式达到所需的阶数。既避免求解高阶导数，又提高了计算方法精度的阶数。或者说，在x i, xi+1这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式。一般龙格-库塔法的形式为：（6）11222211,1+(,)(,+)
7、ii piipipippycKchfxaybf K 经数学推导、求解，可以得出四阶龙格-库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格- 库塔算法：4（7）1123412 13 243()/6(,)/,/(,)ii iiiiyhKKfxyfxyf由水下滑翔机的动力学模型推导过程可知，其动力学模型具有强耦合非线性特征，只能采用数值解法。对于特定的水下滑翔机初始运动状态，给定水平、垂直舵角和螺旋桨转速，采用变步长的四阶龙格-库塔法进行数值求解，可以得到水下滑翔机的位置和速度 ，姿态角和角速度 ，最,eXYZuvw,pqr后得到空间运动的时间经历和轨迹。图 2 为水下滑翔机动力模型数值求解流程图。 ,e
8、rdnRunge-Kuta-图 2 水下滑翔机动力学求解流程图4 计算结果根据计算流程利用 matlab 计算编程求解，在输入初始状态参数后，可获取水下滑翔机的运动参数，如下图 3-6 所示。如图 3 所示，水下滑翔机剖面深度为 100m、剖面周期为 470s 左右。0 200 400 600 800-120-100-80-60-40-20020向向 t(s)向向向向 Y(m)5图 3 水下滑翔机剖面深度曲线如图 4 所示，水下滑翔机下潜过程中，攻角为正，当稳定滑翔时攻角保持不变；水下滑翔机上浮过程中，攻角为负，当稳定滑翔时攻角保持不变。0 200 400 600 800-10-5051015
9、20仰仰 t(s)仰仰 ()图 4 水下滑翔机攻角变化曲线如图 5 所示，水下滑翔机下潜过程中，滑翔角为负值，滑翔角逐渐变大至稳定；水下滑翔机上浮过程中，滑翔角为正值，滑翔角逐渐变大至稳定。0 200 400 600 800-100-50050100向向 t(s)向向向()图 5 水下滑翔机滑翔角曲线如图 6 所示，水下滑翔机稳定滑翔过程中，俯仰角速度为零；在上浮和下潜交替过程中俯仰角速度先增大后减小。 0 200 400 600 800-0.03-0.02-0.0100.010.02向向 t(s)仰仰仰仰仰 图 6 水下滑翔机俯仰角速度曲线6参考文献1 吴旭光，徐德民. 水下自主航行器动力学模型-建模和参数估计M，西安：西北工业大学出版社，1998.2 张志涌，精通MATLAB 6.5版M，北京：北京航空航天大学出版社，2003.3 云州工作室，MATLAB数学建模基础教程M，北京：人民邮电出版社，2001.
