1、流体力学辅导材料 5第 5 章 【教学基本要求】掌握 1. 相似概念2. 相似准则的意义与常用流动相似准则3. 量纲分析的基本方法【学习重点】1. 相似的概念。2. 相似准则数的物理意义。3. 量纲分析法，定理，以及应用。4. 相似准则数的应用，自动模拟的概念。【内容提要和学习指导】5,1 相似概念一、物理现象相似如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征量之间的比值在所有对应点上保持常数，则这两个物理现象称为相似的，这些常数称为相似系数（比尺） ，它们都是无量纲的常数。1. 流动的力学相似力学相似包括：几何相似，运动相似，动力相似。1）几何相似：两流场中对应长度成同一比例。对用边成比例:对应角
2、相等：流场边界的几何相似：对于绕流问题，分为有界流场和无界流场，对于无界流场内边界为物体表面，外边界为无穷远，对于有界流场，应有外边界的几何相似。对于内流问题，几何相似就是流道的几何尺度相似。2）运动相似：两流场中对应点上速度成同一比例，方向相同。12pLmLCppm12pvmVC即运动相似的系统，时间也相似。运动相似必须以几何相似为前提。即运动相似的系统中，加速度也相似。 3）动力相似：两流场中对应点上各同名力同一比例，方向相同。在几何对应点上，所作用的同名力对应相似，这些作用力包括重力，惯性力，压力，粘性力等。如图-所示。 pigpFmimpiipgpmFC在原形和模型两个系统中，若动力相
3、似，对应点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边之间的夹角应相等。动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。 所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。两系统之间存在密度相似和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。密度相似无因次流体流体动力系数由下式定义：其中为流体作用力，和分别为选定的作为特征量的流体密度、速度和面积 。下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等00limlipmpmpt lv tttlCC0 20lilipmpmvla ttttvpFmG0 2000limlililimpmppmpppt Falt t tGgvCCvv21PCvS下面证明两动力相似系统的流体动
4、力系数相等 若几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。三.相似准则（判据）相似准则的作用：判断两个流动现象是否相相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的无量纲组合数。在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这些关系就是由相似准则推导出来的。5,2 相似理论1. 相似性第一定理（正定理） 彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似准则。2. 相似性第二定理（逆定理）若流动现象的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。.相似性第三定理（定理）结论两流动现象相似，相似准则相等，
5、其准则方程式相同。若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程式可以应用到原形流动中去。1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型系统的特征长度、特征速度，流动介质等。2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线） ，以便应用到原形流动中5,3 量纲分析法流动现象相拟的充分必要条件是，满足同一微分方程式，而且边界条件和初始条件相似。对于两个流动相似粘性流体流动，均满足纳维尔斯托克斯方程以方向方程为例：一撇:原形系统 两撇：模型系统 两系统流动相似，所有同类物理量成比例，对应的相似常数表示如下：22221
6、1 12pFmmFP vspvsCPPCCvSSvS 221(div )3(i )xxxxyz xxxxxyz xvvpXvtvvvvt , , , , ,x yl l lxvyvzvzg g gt pcccXYZtccc 代入原方程可得:对于模型系统，物理量要同时满足两式。全式除以变位惯性力 项得：引入音速的传播公式：对应的相似常数为所以所以因此可以得到如下五项重要的结果：特洛哈尔数：佛劳德数：2 2( )1()3vxvxxxyztlpvg xl lcCCX div 局部惯性力 2 2pvv vgt l l lC CCC变位惯性力 质量力 压力 粘性力 2vlC221gplvt vvvlCC
7、 a2pavvC2/paC2221lgpl avtvvvlvC1,lvtCllvtlStvt222 2, ,glv Fgllrgl欧拉数：雷诺数：马赫数：以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）相似准则的物理意义：Re迁 移 惯 性 力粘 性 力雷诺数反映了流体粘性的作用，和粘性力有关的现象由来决定，如卡门涡街的产生和激发振动，层流过渡为湍流，以及潜艇水下航行的阻力系数等都和密切有关，另外雷诺数数值的大小还反应惯性力和粘性力的比值，大表示粘性作用小，而小则表示粘性作用大。对于理想流体 ，此时。rF迁 移 惯 性 力重 力佛劳德数是惯性力与重力的比值。 佛劳德数反应重力（质量力）对流体的作用。相
8、等表示现象的重力作用相似，所以和重力有关的现象由决定，例如波浪运动和舰船的兴波阻力等，都和密切相关。 eS迁 移 惯 性 力局 部 惯 性 力斯特洛哈尔数反应流体非定常运动的相似，对于周期性的非定常运动就反映其周期性相似。相等表示现象的周期性相似，所以和周期性有关的非定常流动由来决定，例如卡门涡街引起的振动，螺旋桨的性能等等。 uE压 力迁 移 惯 性 力欧拉数反应压力对流体的作用。 ，所以和压力有关的现象由来决定，例如空泡现象、空泡阻力等。在讨论空泡问题时这一相似准数称为空泡数，并用 来表示 式中 为液体的饱和汽压。完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。部分
9、相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相似准则。 22221,pv pECuv ,Relv lllv 2221,av MaCa自动模拟：当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应的雷诺数也不同。5.4 因次分析法与 定理 定理：描述某流动现象的各物理量 a， 之间的关系式（， ）12,n 12,n可以转变为由相似准则 ， ， ， 之间的函数关系： （ ， ， ）这种关系式称为准则关系式或准则方程式，也称 定理。基本概念：量纲：物理参数度量单位的类别
10、称为量纲或因次。基本量纲：基本单位的量纲称为基本量纲，基本量纲是彼此独立的，例如用 来表示,LMT长度，质量和时间等，基本量纲的个数与流动问题中所包含的物理参数有关，对于不可压缩流体流动一般只需三个即 （长度，质量和时间） ，其余物理量均可由基本量纲导出。,LMT导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数 等。1LT量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲的方程可以用无量纲形式表示。无量纲数：又称无因次数，例如压力系数 21pCVA定理 ：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与 n 个物理量 有关，可以由函数关
11、系式 表示。如果 n 个物12,n 12(,)0nf 理量中有 P 个基本量纲, 则可将 n 个物理量组合成 n-p 个独立的无量纲数 1， 1， n-p，因而该物理现象可以由无量纲关系式 所描述。12(,)npF 在不可压缩流体流动中，p=3, 则有 30 不可压缩流体流动中定理的运用：1） 在 n 个物理量中选 3 个基本量（循环量） ，基本量选取的一般原则：为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量，为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。2）用所选定的 3 个基本量与其余 n-3 个物理量依次组合成无量纲数。【例题】例 1 管路沿程阻力
12、 圆管中水流阻力引起的压力降 ，与流体密度 ，管内平均流速，管径，管长,流体的运动粘度 以及管壁粗糙度 有关，因此可以写出下列函数关系式： （，） （-）取 ，作为基本量，根据 定理（-）可以写成无因纲关系式：A = 1. c = 0, b = - 2所以类似方法有因此或管道沿程损失沿程阻力系数例 2 采用缩尺比为 1/20 的潜艇模型在水洞中进行试验，潜艇长 L，速度 U，海水密度 ，131 1200abcbcVDpMLTLMT 31010ab:LT12pV2LD3eR4D1234(,)F2,eepLRfVDD2f Vhgg,eRD运动粘性系数，潜艇的阻力 F; 试验用水密度 m，运动粘性系
13、数 m，设流动定常，确定：1）水洞试验时的水速， 2）潜艇与模型的阻力比。解：1）采用雷诺数相似，潜艇原型的雷诺数为： ，按照缩尺比 ,ReUL120mL模型试验的雷诺数为 RemUL两雷诺数应该相等： m得模型试验水速 20mLUU2）由阻力系数相等（阻力系数也是相似准则数）： 22mDFCL所以20114mmmUUF例 3 已知实船长 L=100m， =0.4，船模速度 U=1m/s，考虑兴波阻力实验下的船模长度和rF实船速度。解：由佛鲁德数相等0.4mULg船模长度为 221.()/()/9.80.637.m m由 得：12.53m/s0.4ULg例 4 船用螺旋桨转数为 800 转/分
14、，模型缩尺比为 1/10，考虑粘性相似求模型转速。解：螺旋桨的线速度为 nD所以 22RemnD10m转/分21080mDn例 5 缩尺比为 1：64 的船模，模型试验测得兴波阻力 10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： 2211wmwFCUA佛鲁德数相等 mrFLg速度之比： 18mU面积之比： 2()4096AL原船的兴波阻力2114069=241NwmUAF例 6 球体在流体中运动，所受阻力 R 与流体动力粘性系数 ，密度 ，球的半径 r 及球的运动速度 U 有关。试用定理给出阻力的表达式。解：将该流动问题所涉及的物理量共有 n=5, 涉及的基本量纲 即 p=3,MLT选 为基本量（循环量） ，可组成余下的 n-p=2 个无量纲数 1 和 2 的组合。,d231131 ()()abcabcabcRDMLT1 22 bULTLT 因为 1 和 2 为无量纲数，所以分别有：03abc103abc解上述两个代数方程组分别得：1,2,ac1b所以两个无量纲数分别为：， 12RUD2UD球体在流体中运动的五个物理量通常由函数式： 来描述，但是 R 与(,)f的具体函数关系目前还无法通过理论分析的方法确定，只能由试验得到。现在用,UD无量纲数来描述，变成了两个独立的无量纲数的函数关系： 22()(Re)RFUD或写为阻力系数 e)RC问题得到了简化。
