1、1第 18练 推理与证明明考情推理与证明在高考中少数年份考查,小题中多以数表(阵)、图形、不等式等为指导,考查合情推理,难度为中档.知考向1.合情推理.2.演绎推理.3.推理与证明的综合应用.考点一 合情推理方法技巧 (1)归纳推理的思维步骤:发现共性,归纳猜想,结论验证.(2)类比推理的思维步骤:观察比较,联想类推,猜测结论.1.观察下列各式: a b1, a2 b23, a3 b34, a4 b47, a5 b511,则a10 b10等于( )A.28 B.76C.123 D.199答案 C解析 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,其规律为从第三项起,每项等于其前面相邻两项的和
2、,所求值为数列中的第 10项.继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,第 10项为 123,即a10 b10123.2.平面内凸四边形有 2条对角线,凸五边形有 5条对角线,以此类推,凸十三边形的对角线2条数为( )A.42 B.65C.143 D.169答案 B解析 可以通过列表归纳分析得到:多边形 4 5 6 7 8对角线 2 23 234 2345 23456凸十三边形有 23411 65(条)对角线.131023.(2017甘肃模拟)一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,类比此方法,若一个三棱锥的体积 V2,表面积 S3,则
3、该三棱锥内切球的体积为( )A.81 B.16C. D.323 169答案 C解析 由一个三角形可分为以内切圆半径为高,以原三角形三条边为底的三个三角形,可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高,以原三棱锥四个面为底的四个三棱锥.设三棱锥的四个面的表面积分别为 S1, S2, S3, S4,由于内切球到各面的距离等于内切球的半径, V (S1r S2r S3r S4r) Sr,13 13内切球半径 r 2,3VS 233该三棱锥内切球的体积为 2 3 .43 3234.某综艺节目中有这样一个问题,给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数,现给出一组数: , , ,它的第 8个数是_.1212
4、3814 532答案 132解析 将这一组数: , , 化为: , , , ,1212 3814 532 1224 38416 532分母上是 2的乘方,分子组成等差数列,奇数项符号为负,偶数项符号为正,则它的第 8个数是 .1325.给出下面四个类比结论:3实数 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0;类比复数 z1, z2,若 z1z20,则 z10 或z20;实数 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0;类比向量 a, b,若 ab0,则 a0 或 b0;实数 a, b,若 a2 b20,则 a b0;类比复数 z1, z2,有 z z 0,则 z1 z20;21 2实数 a, b,
5、若 a2 b20,则 a b0;类比向量 a, b,若 a2 b20,则 a b0.其中类比结论正确的个数是_.答案 2解析 显然正确;中若 a b,则 ab0,错误;中取 z11, z2i,则 z z 0,错误;21 2中 a2| a|2, b2| b|2,若 a2 b20,则| a| b|0, a b0,正确.综上,正确结论的个数是 2.考点二 演绎推理要点重组 演绎推理的特点:从一般到特殊;演绎推理的一般形式是三段论.方法技巧 新定义问题的解题思路:读懂新定义的含义,在领会新定义实质的基础上,将其应用在具体情境中进行演绎推理,得到新的结论.6.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条
6、直线平行,同旁内角互补,如果 A和 B是两条平行直线的同旁内角,则 A B180B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C.某校高三共有 10个班,1 班有 51人,2 班有 53人,3 班有 52人,由此推测各班都超过50人D.在数列 an中, a11, an (n2),计算 a2, a3, a4,由此推测通项 an12(an 1 1an 1)答案 A解析 演绎推理是由一般到特殊的推理,显然选项 A符合;选项 B属于类比推理;选项C,D 是归纳推理.7.(2017绵阳模拟)若一个三位自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们把这样的三位自然数定义为“单重数” ,例:112,232,则
7、不超过 200的“单重数”个数是( )A.19 B.27 C.28 D.37答案 C解析 由题意,不超过 200,两个数字一样为 0,有 2个;两个数字一样为1,110,101,112,121,113,131,114,141,115,151,116,161,117,171,118,1841,119,191,有 18个;两个数字一样为 2,122,有 1个;同理两个数字一样为 3,4,5,6,7,8,9,各 1个.综上所述,不超过 200的“单重数”个数是 218828.8.对于任意的两个实数对( x1, y1)和( x2, y2),规定:( x1, y1)( x2, y2),当且仅当Error
8、!运算“”为( x1, y1)(x2, y2)( x1x2 y1y2, y1x2 x1y2);运算“”为( x1, y1)( x2, y2)( x1 x2, y1 y2).设 k, nR,若(1,2)( k, n)(3,1),则(1,2)( k, n)_.答案 (2,1)解析 由(1,2)( k, n)(3,1),得Error! 解得Error!所以(1,2)( k, n)(1,2)(1,1)(2,1).9.如果函数 f(x)在区间 D上是凸函数,那么对于区间 D内的任意 x1, x2, xn,都有 f .若 ysin x在区间(0,)上是凸函数,那fx1 fx2 fxnn (x1 x2 xn
9、n )么在 ABC中,sin Asin Bsin C的最大值是_.答案 332解析 由题意知,凸函数满足 f ,fx1 fx2 fxnn (x1 x2 xnn )又 ysin x在区间(0,)上是凸函数,则 sin Asin Bsin C3sin 3sin .A B C3 3 33210.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列 an为“斐波那契”数列, Sn为数列 an的前 n项和,则(1)S7_;(2)若 a2 017 m,则 S2 0
10、15_.(用 m表示)答案 (1)33 (2) m1解析 (1) S71123581333.(2) an2 an an1 an an1 an an an1 an2 an1 an an1 an2 an3 an25 an an1 an2 an3 a2 a11, S2 015 a2 0171 m1.考点三 推理与证明的综合应用要点重组 (1)反证法的证题步骤:反设、归谬、存真.(2)以实际问题为背景的推理问题,可利用归纳、分类、反证等多种方法进行推理论证.11.设 a, b, c(,0),则 a , b , c ( )1b 1c 1aA.都不大于2B.都不小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不
11、小于2答案 C解析 假设 a , b , c 都大于2,1b 1c 1a即 a 2, b 2, c 2,1b 1c 1a将三式相加,得 a b c 6,1b 1c 1a又因为 a 2, b 2, c 2,1a 1b 1c所以 a b c 6,矛盾,1b 1c 1a所以假设不成立,故选 C.12.(2017武昌区模拟)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中” ;乙说:“我没有作案,是丙偷的” ;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷” ;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪
12、犯,由此可判断罪犯是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 B解析 乙、丁供词同真或同假,假设乙、丁同真,可知甲真,和题中条件矛盾,故乙、丁同假,甲、丙两人说的真话,易知罪犯是乙.13.用反证法证明命题:“三角形的三个内角中至少有一个不大于 60”时,假设正确的是( )A.假设三个内角都不大于 60B.假设三个内角都大于 606C.假设三个内角至多有一个大于 60D.假设三个内角至多有两个不大于 60答案 B14.已知结论:在正三角形 ABC中,若 D是边 BC的中点, G是三角形 ABC的中心,则 2.AGGD若把该结论推广到空间,则有结论:在棱长都相等的四面体 ABCD中,若 BCD的中
13、心为 M,四面体内部一点 O到四面体各面的距离都相等,则 等于( )AOOMA.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 由于四面体 ABCD是正四面体,因此 AM平面 BCD,且 O在 AM上,设 BCD的面积为 S,四面体 ABCD的体积为 V,则 V V 三棱锥 O ABC V 三棱锥 O ABD V 三棱锥 O ACD V 三棱锥 O BCD4 SOM,13又 V SAM,所以 4 SOM SAM,13 13 13故 AM4 OM,所以 3,故选 C.AOOM15.(2017虎林市校级模拟)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高
14、各不相同,现了解到以下情况:(1)甲不是最高的;(2)最高的没报铅球;(3)最矮的参加了跳远;(4)乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是_.答案 跑步解析 由(4)可知,乙参加了铅球比赛,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛.1.已知 12 123,1 22 2 235,1 22 23 2 347,1 22 23 24 216 16 16459,则 122 2 n2_.(其中 nN *)16答案 n(n1)(2 n1)167解析 根 据 题 意 可 归 纳 出 12 22 n2 n(n 1)(2n
15、1), 下 面 给 出 证 明 : (k 1)163 k3 3k23 k1,则 231 331 2311,3 32 332 2321,( n1)3 n33 n23 n1,累加得( n1) 31 33(1 22 2 n2)3(12 n) n,整理得122 2 n2 n(n1)(2 n1).162.(2017咸阳二模)观察下列式子:2,12 ,12 2392 8,12 23 34 ,12 23 34 45252,根据以上规律,第 n个不等式是_.答案 12 23 nn 1n 1223.老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下:甲说:“我
16、们四人都没能考好”.乙说:“我们四人中有人考得好”.丙说:“乙和丁至少有一人没考好”.丁说:“我没考好”.结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中_两人说对了.答案 乙和丙解析 如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对,如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故只有乙和丙两人说对了.解题秘籍 (1)新定义问题的关键是明确新定义的实质,结合所学知识,将问题转化为熟悉的、已掌握的问题.(2)实际问题和推理相结合,要按照可能发生的情况全面论证,去伪存真,找到问题的答案.1.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n1, nN)个点,8相应的图案中总的点数记为 an
17、,则 等于( )9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 017a2 018A. B. C. D.2 0152 016 2 0162 015 2 0162 017 2 0172 018答案 C解析 每条边有 n个点,所以 3条边有 3n个点,三角形的 3个顶点重复计了一次,所以减3个顶点,则 an3 n3,那么 ,9anan 1 93n 33n 1n 1n 1n 1 1n则 9a2a3 9a3a4 9a4a5 9a2 017a2 018 (11 12) (12 13) (13 14) ( 12 016 12 017)1 ,故选 C.12 017 2 0162 0172.将正奇数按如图所示的规
18、律排列,则第 21行从左向右的第 5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 A.809 B.852 C.786 D.893答案 A解析 前 20行共有正奇数 1353920 2400(个),则第 21行从左向右的第 5个数是第 405个正奇数,所以这个数是 24051809.3.观察一列算式:11,12,21,13,2 2,31,14,23,3 2,41,则式子 35 是第 ( )A.22项 B.23 项 C.24 项 D.25 项答案 C解析 两数和为 2的有 1个,和为 3的有 2个,和为 4的有 3个,和为 5的有 4个,和为 6的有
19、5个,和为 7的有 6个,前面共有 21个,35 为和为 8的第 3项,所以为第 24项,故选 C.4.设 f(n)1 (nN *),那么 f(n1) f(n)等于( )12 13 13n 1A. B. 13n 2 13n 13n 19C. D. 13n 1 13n 2 13n 13n 1 13n 2答案 D解析 f(n)1 ,12 13 13n 1 f(n1)1 ,12 13 13n 1 13n 13n 1 13n 2 f(n1) f(n) .13n 13n 1 13n 25.已知 f1(x)sin xcos x, fn1 (x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x) f1( x), f3(
20、x) f2( x), fn1 (x) fn( x), nN *,则 f2 017(x)等于( )A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x答案 A解析 f2(x) f1 (x) cos x sin x, f3(x) f2 (x) sin x cos x, f4(x) f3 (x) cos x sin x, f5(x) f4( x)sin xcos x, f6(x) f5( x)cos xsin x,可知 fn(x)是以 4为周期的函数,2 01750441, f2 017(x) f1(x)sin xcos x,故选 A.6.用反证法证明
21、命题“若 a b c0, abc0,则 a, b, c三个实数中至多有一个小于零的”的反设内容为( )A.a, b, c三个实数中至多有一个不大于零B.a, b, c三个实数中至多有两个小于零C.a, b, c三个实数中至少有两个小于零D.a, b, c三个实数中至少有一个不大于零答案 C解析 a, b, c三个实数中小于零的个数只有 0,1,2,3 四种, “至多有一个”的否定为至少有两个.故选 C.7.小明用电脑软件进行数学解题能力测试,每答完一道题,软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率已答对题目数已答题目总数),小明依次共答了 10道题,设正确率依次为 a1, a2, a3, a
22、10.现有三种说法:若 a1 a2 a3 a10,则必是第一道题答错,其余题均答对;若 a1 a2 a3 a10,则必是第一道题答对,其余题均答错;有可能a52 a10,其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.310答案 D解析 显然成立,前 5个全答对,后 5个全答错,符合题意,故选 D.8.(2017河北衡水中学三调)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起.他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种.有一种语言是三个人会说的,但没有一种语言四人都懂,现知道:甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;乙、丙
23、、丁交谈时,不能只用一种语言;乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译.针对他们懂的语言,正确的推理是( )A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案 A解析 分析题目和选项,由知,丁不会说日语,排除 B选项;由知,没有人既会日语又会法语,排除 D选项;由知乙、丙、丁不会同一种语言,排除 C选项,故选 A.9.已知 f(n)1 ,经计算 f(4)2, f(8) , f(16)3, f(32) ,则根据12 13 1n 52 72以上式子得到第 n个式子为_.答案 f(2n) (n2, nN *)n
24、 22解析 由题意得 f(22) , f(23) , f(24) , f(25) ,以此42 2 22 52 3 22 62 4 22 5 22类推,当 n2, nN *时,有 f(2n) .n 2210.二维空间中圆的一维测度(周长) l2 r,二维测度(面积) S r2,观察发现 S l;三维空间中球的二维测度(表面积) S4 r2,三维测度(体积) V r3,观察发现 V S.43则四维空间中“超球”的三维测度 V8 r3,猜想其四维测度 W_.答案 2 r4解析 因为(2 r4)8 r3,所以 W2 r4.11.给出下列等式: 2cos ,24 2cos ,2 282cos ,2 2 216,