1、课时训练 3 函数的单调性与导数1.函数 f(x)=2x3-9x2+12x+1 的单调减区间为( )A.(1,2) B.(2,+)C.(-,1) D.(-,1)和(2,+)解析:f(x)=6x 2-18x+12,令 6x2-18x+120,考虑到定义域,所以函数 f(x)在(-,-1)和(-1,+) 上是增函 数.答案 :B3.如果函数 f(x)=2x3+ax2+1(a 为常数)在区间(-,0)和(2,+)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则常数 a 的值为( )A.1 B.2 C.-6 D.-12解析:f(x)=6x 2+2ax=2x(3x+a).当 a0 时,不合题意,a0,f(x
2、)为增函数,x(0,2)时,f(x)0,f(x)为增函数.只有 C 项符合题意,故选 C 项.答案 :C6.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x0 时,f(x)0,g(x)0,则 x0,g(x)0 B.f(x)0,g(x)0 D.f(x)0,g(x)0,则 3x2-8x+50,解得 x.f(x)的 单调递增区间为(-,1) 和.来源:令 f(x)0,知 1+ax2-2ax0 在 R 上恒成 立,即 =4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合 a0,知 00,得 3ax2+2bx0,-0.当 x和(0,+)时,函数为减函数.故函数在,(0,+)上单调递减
3、;在上单调递增.10.设函数 f(x)=xekx(k0).(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;来源:数理化网(2)求函数 f(x)的单调区间;(3)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增 ,求 k 的取值范围.解:(1)f(x)=(1+kx)e kx,f(0)=1,f(0)=0,曲线 y=f(x)在点 (0,f(0 )处的切线方程为 y=x.(2)由 f(x)=(1+kx)ekx=0 得 x=-(k0 ).若 k0,则当 x时,f(x)0,函数 f(x)单调递增.若 k0,函数 f(x)单调递增;当 x时,f(x)0,则当且仅当 -1,即 0k1 时,函数 f(x)在(-1,1)内单调递增;若 k0,则当且仅当-1,即-1k0 时, 函数 f (x)在(-1,1)内单调递增.综上可知,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是 -1,0)(0,1.
