1、高考数学串讲（六） 高考解题三引在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.一,引入函数函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对我们的解题工作带来很大的帮助.问题 1,(2005 全国)若 , , ,则ln2al3bln5cA. B. C. D.abcabac问题 2,若实数 满足 ; .求证: .,abcd1abcdcdabc问题 3,(2005 华师附中测试题)已知函数 , .()lnfx()gx()若 ,求证: .1x1()2fxg()是否存在实数 ,使方程 有四个不同的实根?若若
2、存在,求出k2()fxk的取值范围;若不存在,说明理由.k解答:问题 1,解析:由题之模型,我们引入函数 ,可得 .ln()(0)xf 21ln()xf有(1)当 时, , 为增函数;(2)当 时, , 为减函数.0xe()0fxex于是得 ,删除 A,D 又 ,知 ,于是选 C.cb8lnln23ln23906abab问题 2,分析:将所证的不等式作差变形得 ,由 ,1dcdabcd我们设 ,这样引入了函数 ,现考虑它的单调(1,0)dcx()cxcxabf性即可.解:由 ; .设 ,引入函数1abd(1,0)cx,可得 .()cxcxf lnl)cxcabf而 ,得 , ,得 0.(在 时
3、取等号)1ab0xcb0l()fab所以 在 上为减函数,得 =1,()fx)()0fx即 ,于是得 .1cxcacdcab问题 3,解:()令 .12(1)()2()lnxxFfg则 =12()1x2()由 ,得 ,知 在 上为增函数.x0F(),又 在 处连续,得 在 上为增函数,()x)而 ,得 =0,即 .1x(1)1(2xfg()由原方程得 ,令 ,并变形得 2lnxk2t1ln()tkt要方程有四个不同实根,则要方程有两个不同正根.tyoA BC a令 , 它们的图象如右图所示12ytk2ln(1)yt当两曲线在点 = 处相切时 ,由 ,021yt得 ,于是 ,得切点为 ,这时02
4、1t1t(ln)切线方程为 ,即 ,ln2)yt11(l2)yt与 轴的交点为 ,要两曲线在 轴右边有两个不同交点,(,则 ,即 .10l2kl0k所以当 时,原方程有四个不同的实根.n0评注:本题在解答过程中,3 处引入了函数 ,从而为问题的解决带来了方便.二,引入直角坐标系直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.问题 4.(2005 山东)设 满足约束条件 ,则使得目标函数 的值最,xy532104xy65zxy大的点( )是 .,问题 5.(2004 湖北)如图,在 中,已知 .若长为RtABCa2的线段 以点 A 为中点,问 与 的夹角 取何值时PQPQ
5、的值最大?并求出这个最大值.BCB xCyAQPABC EA1B1C1问题 6.(2005 天津)某人在山坡 P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80(米),塔所在的山高 OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线 ,且点 P 在直l线 上, 与水平地面的夹角为 , .试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角l 1tan2最大(不计此人的身高)?BPC问题 7,(05 重庆) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB 1，已知 AB= ，BB 1=2，BC=1，BCC 1=
6、，求：23（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值 .解答;问题 4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题.问题 5,解:如图,建立平面直角坐标系 ,设 ,ABc,则 A(0,0),B( , .且 ,Cb0)cCb2PQa. 设点 ,则 .BaPxy(,)xy由 ,(,),c, .Cb(2)Qxy得 = .)BPcb 2()xycbO APalxyCB又 ,得 .于是 .2cosPQBCcxbya2cosa2cosBPCQa故当 ,即 ( 与 同向) 时, 最大,其最大值为 0.1os0B问题 6,解:如图所示,建立平面直角坐标系 ,则 A(2
7、00,0)B(0,220),C(0,300).直线 的方程为 ,即 .ltan(2)yx1(20)yx设点 ,则 .()Px1,0由经过两点的直线的斜率公式得,1(20)382PCxkx.又由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得()640PBx21642tan81 801PBCk xx = .64(0)02x要使 达到最大,只须 达到最小.由均值不等式得tanBPC16428x.16480x当且仅当 时,上式取得等号,故当 时, 最大.6x30xtanBPC这时,点 P 的纵坐标 为 .由此实际问题知, ,y3262所以 最大时, 最大.tanBCP故当此人距水平地面 60 米高时,观看铁塔
8、的视角 最大.问题 7,解:（I）以 B 为原点, 、 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系.1BA由于 BC=1，BB 1=2，AB= ，BCC 1= ，23在三棱柱 ABCA1B1C1 中有B（0，0，0） ，A（0，0， ） ，B 1（0，2，0） ，),23(),2,3(1C设 即得由 ,0,),023( 11EBAEa),23(),(a ,432)(4a.,043)023()0,213( ),1(),(,) 11 EBEBa 即故舍 去或即得又 AB面 BCC1B1，故 ABBE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB 1 的公垂线，则 ，故异面直线 AB、EB 1 的距离为 1.4|
9、（II）由已知有 故二面角 AEB1A1 的平面角 的大小为向量,11EBAE的夹角.AB与11 3(0,2),(,2),因1cos,|3E故 tan.即三,引入向量向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.问题 8, 若异面直线 所成的角为 ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 上到 A,B 距,ab06,ab离为 2 和 1 的两点,当 时,线段 AB 的长为 .3EF问题 9, 已知 都是正数, 且 , ,则函数 的ab,xyR1abxy2(,)fxyab最小值是 .A BCDE FA1 B1C1D1abABEF21A B
10、CDE FA1 B1C1D1xyz问题 10,(04 广东)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(I) 求二面角 CDEC1 的正切值;(II) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值 .解答问题 8,解:如图, 由 ,得EFABF22cosEF(1)当 时,有 ,0621942得 ;2AB(2)当 时,有 ,得 .0121AB6A问题 9,由已知,我们作向量 ,则 ,2(,)()zaxbyzab21zaxby, .2zab12又 ,得 .21 1coszz22()()(x
11、yxy即 ,于是所求的最小值为 1.2(,)fxy问题 10,解: （I）以 A 为原点， 1,DB分别为 x 轴, y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、 D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是, )2,4(),23(),03( FDE设向量 与平面 C1DE 垂直，则有zyxn2tan 364012|cos ,)2,0( ,10),1(),( 2102310 11 101ACDEnnzzznyxEC的 平 面 角为 二 面 角所 成 的 角与 垂 直与 平 面向 量 垂 直 的 向 量是 一 个 与 平 面则取 其 中（II）设 EC1 与 FD1 所成角为 ，则.142)4(231|cos 2FDEC
