1、1设 a，b，c 为平面向量，有下面几个命题：a(bc)aba c；(ab)ca(bc)；(ab) 2|a| 22| a|b|b| 2；若 ab0，则 a0，b0.其中正确的有_个解析：由向量的数量积的性质知正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知不正确；由( ab) 2a 22a bb 2|a| 22| a|b|cos|b| 2知不正确；对于， ab|a| b|cos0，| a|0 或|b|0 或 cos0.a0 或 b0 或 ab，故不正确答案：12已知 a，b 满足|a| 1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 夹角为_解析：cos ， .ab|a|b| 214 12 3答案：33设
2、a 与 b 的模分别为 4 和 3，夹角为 60，则|ab| _.解析：|ab| a b2 a2 2ab b2 .42 243cos60 32 37答案： 374在边长为 的等边三角形 ABC 中，设 c， a， b，则2 AB BC CA abbcca _.解析： abbc c a cos12033.2 2答案：3一、填空题1已知|a| 3， |b|4，a、b 的夹角为 120，则 ab_.来源:解析：ab| a|b|cos12034cos1206.答案：6来源:2若|a |1，|b|2，c ab，且 ca，则向量 a 与 b 的 夹角为_解析：设向量 a与 b的夹角为 ，由题意知(ab)a
3、0，a2ab0， |a|2| a|b|cos0，12cos 0，cos ，又 0，180 ，12120.答案：1203设向量 a，b，c 满足 abc0，且 ab，| a|1，|b|2，则|c| 2_.解析：abc 0，c (ab)又ab，ab0. |c|2c 2( ab)2a 22a bb 25.答案：54如图所示的是正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是_(只填序号) ； ；P1P2 P1P3 P1P2 P1P4 ； .P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 解析：利用向量的数量积的定义逐项计算根据正六边形的几何性质，得 0， 0， | | | |cos | |2
4、， P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 P1P2 P1P3 P1P2 3P1P2 6 32P1P2 P1P2 | |2| |cos | P1P2|2，经比较可知 最大P1P4 P1P2 P1P2 3 P1P2 P1P3 答案：5已知非零向量 a，b，若(a 2b) (a2b) ，则 _.|a|b|解析：( a2b )(a2b)，( a2b)( a2b) 0，a24b 2， |a|2| b|， 2.来源:|a|b|答案：26点 O 是ABC 所在平面上一点，且满足 ，则点 O 是OA OB OB OC OC OA ABC 的 _解析： ， ( )0 0OBAC.同理可OA OB OB OC
5、OC OA OB OC OA OB AC 得 OA BC，OCAB，故 O为 ABC的垂心答案：垂心7在ABC 中，若( )( )0，则ABC 的形状为_CA CB CA CB 解析：( )( ) | |2| |20，CA CB CA CB CA CB | | |，ABC 为等腰三角形CA CB 答案：等腰三角形8已知 a，b，c 为单位向量，且满足 3a b7c0，a 与 b 的夹角为 ，则实数3_.解析：由 3ab7c 0，可得 7c(3 a b)，即 49c29a 2 2b26 ab，而a，b，c 为单位 向量，则 a2b 2c 21，则 499 26cos ，即 23400，解得38
6、或 5.答案：8 或 5二、解答题9已知 a、b 是两个非零向量，同时满足|a| |b| ab|，求 a 与 ab 的夹角解：根据|a |b| ，有|a |2|b| 2，又|b |ab|，得 |b|2|a| 22 ab| b|2，来源:ab |a|2.12而|a b |2|a| 2 2ab| b|23|a| 2，|ab| |a|.3设 a与 ab 的夹角为 ，则 cos ，0，180aa b|a|a b| |a|2 12|a|2|a| 3|a| 3230.10若等边ABC 的边长为 2 ，平面内一点 M 满足 ，求 MB.3 CM 16CB 23CA MA 解：如图所示 ( )( )MA MB
7、 CA CM CB CM (CA 16CB 23CA )(CB 16CB 23CA ) (13CA 16CB )(56CB 23CA ) 2 2 518CA CB 29CA 536CB 19CB CA 2 2718CA CB 29CA 536CB (2 )2 (2 )2 (3 )2718 3 12 29 3 536 32.11四边形 ABCD 中， a， b， c， d，且 abbccd da，试AB BC CD DA 问四边形 ABCD 是什么图形？解：四边形 ABCD是矩形，这是因为：一方面：abc d0，a b( cd)，(ab) 2( cd) 2，即|a |2 2ab|b| 2| c|22cd|d| 2，由于 abc d，|a|2|b| 2|c| 2| d|2. 同理有|a| 2|d| 2| c|2|b| 2. 由可得|a| |c|，且|b| |d|，即四边形 ABCD的两组对边分别相等四边形 ABCD是平行四边形另一方面，由 abbc ，有 b(ac)0，来源:而由平行四边形 ABCD可得 ac，代入上式得 b(2a)0，即 ab0，a b也即 ABBC，综上所述，四边形 ABCD是矩形
