1、4 高阶导数教学内容：高阶导数的定义与计算。教学目的：了解高阶导数 的定义，熟悉高阶导数的计算。教学重点：高阶导数的定义与计算。教学难点：高阶导数的计算。教学方法：讲授与练习。教学学时：2 学时。 引言：我们已经知道，一个可导函数的导（函）数仍然是一个函数，这个函数我们又可以讨论它的可导性与导（函）数，以此类推，就产生的函数的一系列导数 的问题，这些就是本节课我们将要学习 的高阶导数的内容。一、引例：先看一个物理问题：已知物体运动位移与时间关系为 ，求它在某一时 刻)(ts的加速度。0t速度是位移的变化率，即： ；)()(limli)( 00 tststtvtt 加速度是速度的变化率，即：来源
2、:).()(li)(limli)( 000 tststtvtattt 可见，加速度就是位移的导数的导数，也就是我们将要介绍的位移的二阶导数。同时也看到，研究高阶导数是有其实际价值的。二、高阶导数的定义：定义 若函数 的导函数 在点 可导，则称函数 在点 二阶可导，并称)(xf)(xf0)(xf0在点 的导 0数为 在点 的二阶导数，记作 ， ，即：)(xf0 )(0xf02xdy.)()lim)()(lim)( 00020 00 xffxffdxyf xx 一般的，若函数 的 阶 导函数 在点 可导，则称函数 在点)(f1n)(1fn )(f阶可导，并称 在点 的导数为 在点 的 阶导数，记作
3、0xn)(x0x0n， ，即：)(0f0xndy.)()(lim)()(lim)( 011010)100 00 xffxffdxyf nnxnnxnn 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数在区间 上每一点都可导，即 ，有 在点 的唯一 阶导数与其)(xfI Ix0)(xf0n对应，这样建立了一个函数，称为 在 上的 阶导函数，简称为 在 上)(fn)(xfI的 阶导数，记作： 。n,)(nndxyf三、高阶导数的计算：函数 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶 导数的求导公式及求导法则 次即可。除此之外我们再介绍两 个计算函数 阶导数的计算 公 式
4、。n n1 。)()()(nvuv2设 ，则 ； ；y 2uvvuvy； 32uvy依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式 展开nv式极为相似）：来源: )2(2)1()0()( vuCvuvunnn )()(1)( onknkC， NKknkvuC0)(其中 ， 。)()(四、高阶导数求解举例：来源:例 1求幂函数 的各阶导数。)(Nnxy解： ； ；1 n21 )(nnxx；32 )2()(xy； ；xnn)(11 !12)(1( nnyn 。0)2()(y例 2求指数函数 的各阶导数。xe解： 。)(,)()( Nnynxn例 3求函数 （ 为常数）的各阶导数。a
5、e解： ； ； ；xxy axaxey2 axaxey32 )(1)( Nnean例 4求三角函数 与 的各阶导数。xysixcos解： ；2incosin y；sisic xxx；23in23incosin y；4sisi)4( xxx一般地， ，类似可得， ，2insi)(2coss)(nxnNn例 5求函数 的 5 阶导数。cosxey解： nkxkkx ,210),s(,)()( 由莱布尼茨公式得：50)()5()( cosk kkxeCy)23cos()2cos()2( 355155 xeCxeCxx)()4cos(54 exexexexx sincsin10cin)cs(i4e例
6、6求函数 的 20 阶导数。xy解：设 ，则 ， ，xeu2xe2 xxeu22 ；来源:x2019)20(，则 ， ， ；2xv 2xv 0)2()4( vv由莱布尼茨公式得： )18(0)19(0)2()0( uCuy291822 xxx eee)95(20例 7研究函数 的高阶导数。,)(2xf解： ； 0lim0)(li)0(20)( 20 0 xxffxxf x； 20lim0)(lim)0(2)( 0 不 存 在 xxfffxxf x。30)(kxfk不 存 在注：此题的解法对分段函数是具有一般性的，我们应该熟练掌握。例 8试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。)cos1(intayx )(xy解： yaa 0 x 由含参量方程求导法则的： ；2cot)s1(in)sin(co1attadxy再对参量方程 应用含参量方程求导法则有：2cot)sin(dxya.2cs41)cos1()sin(t2 tataadxy来源:【作业布置】 P109：1、2、3、4、5、w。w-w*k&s%5￥w。w-w*k&s%5￥u
