1、幂函数中的三类讨论题在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题类型一：求参数的取值范围例 1 已知函数 23()mfx（m Z ）为偶函数，且 f（3）1.8例 2 函数 3()afxb是幂函数，比较 ()fa与 fb的大小解析： 是幂函数， 301ba， ，解得 43.ab，43()fx函数 在（0，）上是增函数，且 ab0， ()fab二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小例 比较22433()0.71， ，的大小解析：23(.)0.7，4231幂函数23yx在（，）上单调递减，且 0.7 21.21，2223330.7
2、1.22433(.)().三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的例 比较 0.812与 0.9 3的大小解析：由于这两个数的 底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小注意到这两个数的特点，中间值应选 0.913或 0.8 2 120，幂函数12yx在（，）上是增函数又 0.80.9，0.8120.9 又 00.91，指数函数 0.9xy在（0，）上是减函数，且 12 3，0.9120.9 3综上可得 0.8 20.913四、模型 函数法若函数 ()yfx满足性质： ()()()xffx
3、yfyfyA， 等，则可以认为其模型函数为幂函数 af对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解例 已知函数 ()fx满足 ()fxfy， 且 f（8）=4，则 2f_3f（填 “、= 、 ”） 解析： ()fx的原型函数是 ()fx（ 为常数） ，又 f（8）=4， 4， 23于是 ()fx，显然该函数是偶函数，且在区间（，）上是增函数，在（，）上是减函数， 32fff幂函数解析式的求法对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下：一、利用幂函数的定义例 已知函数 221()myx是幂函数，求此函数
4、的解析式解： 221m是幂函数，y 可以写成如下形式 yx（ 是常数） 21，解得 12m， 当 2， 时，有 1（2 为常数） ， 21m（1 为常数）函数的解析式为 1yx或 2评注：幂函数 （x 为自变量， 是常数）的定义强调：系数为，幂指数为常数.求出参数 m 后要注意检验幂指数是否为常数 二、利用幂函数的图象例 若函数 29()1)afxax是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式分析：对于幂函数 y（ 是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数0解：函数 29()1)afxax是幂函数，且图象不经过原点， 291a，且 0 3或 6函数解析式为 6()fx或 3()fx例 已
5、 知幂函数 21m（m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称求函数 2()fx的解析式解：函数的图象与 x 轴、y 轴都无交点， 210m ，解得 1 又图象关于原点对称，且 m Z，m0 1()fx评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题三、利用幂函数的性质例 已知幂函数21(4)3() tfxtx（ Z）是偶函数，且在（0，+）上为增函数，求函数的解析式解： ()f是幂函数， 3t，解得 t1，t 0 或 t1，当 t时，12fx，是非奇非偶函数，不满足条件当 t1 时， 2()fx
6、是偶函数，但在（0，+）上为减函数，不满足条件当 t时，满足题设综上所述，实数 t 的值为1 ，所求解析式为 2()fx评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键解含参问题有时还应注意分类讨论幂的十 位数“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的” ，布鲁斯博士接着说， “比方说求的个位数顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意但我在这里说的不是算出来，而是求出来那位举手的孩子，你想问什么？”“我想知道算与求有什么区别？”一个 胖嘟嘟的男孩站起来问道“很好，等我把的个位数求出来以后，你就明白了好，我们
7、继续 ”博士在投影仪上放了一张胶片，他身后的墙上映出了一张巨大的表格：1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 8 6 2 4 8 6 2 “一个自然数，若它的个位数是 2，那么它的 1 次幂的个位数仍然为 2，它的 2 次幂的个位数为 4，3 次幂的个位数为 8，4 次幂的个位数为 6，5 次幂的个位数又为 2 了 ”博士说道， “这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数我们看到了什么？我们看到这些个位数以 2，4，8，6 为基本模块不断地循环，其循环周期为 4由此我们知道，2002 2 与 20024n+2 的个位数都是 4令 n=500，即可知的个位数为 ”布鲁斯博士
8、用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随 即响起“那么幂的十位数，比方说，1997 8，1998 9，的十位数，该怎样求呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字“唔，唔，这个问题有点儿麻烦 ”博士的额头出现了一些汗珠， “让我们来试试看”博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？提示：注意 1997，1998，1999 都是离 2000 很近的数幂函数图象要了解和掌握幂函数 yx（ 为常数）性质，可结合幂函数的图象，而幂函数的图象，只要看其第一象限内的函数图象即可这是因为：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象如果幂函数是奇函数，
9、在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内那么如何来看幂函数 yx（ 为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以分析：1幂函数 yx（ 为常数）的图象均过定点（1，1） （我们称其为“束点” ） ，即所有幂函数的图象都经过束点2两条相交于束点的直线 （y0）和 y=1（x0）把第一象限分成四个区域：左上区、左下区、右上区、右下区那么，幂函数的图象的所属区域由幂指数 确定：（）当 0 时，幂函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；（）当 0 时，幂函
10、数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；（）当 =0 时，幂函数的图象为直线 y=1（x0） ；此时函数图象为上下 区域的分界线，与 x 轴平行3当 0 时，幂函数的图象除过束点（，）外，还过定点（，） （即坐标原点）此时除 时幂函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幂函数的图象都属于“抛物线型”图象：（）当 1 时，幂函数的图象呈下凸形状，与 x 轴相切；（）当 0 1 时，幂函数的图象呈上凸形状，与 y 轴相切4当 0 时，幂函数的图象只过束点（，） ，不过定点（，） 此时所对应的幂函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近5幂函数的图象与幂指数 大小变化的关系：在右区（直线 x=1 的右边） ，不同的幂函数的图象随幂指数 的增加而变高；那么对应的，在左区（直线 x=1 的左边与 y 轴之间的部分） ，不同的幂函数的图象随幂指数 的增加而变矮可见，两个不同的幂函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然通过幂函数 yx在第一象限内的函数图象的变化，结合幂函数本身的奇偶性，同学们可补全函数图象，从而全面了解幂函数图象的变化情况和幂函数的性质
