1、函数的单调性,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),一、复习与引入:,二、新课:,我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y= f(x)的导数.,从函数y=x2-4x+3的
2、图像可以看到:,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +)内为增函数.,在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0 时,函数y=f(x) 在区间(-,2)内为减函数.,f (x)0,f (x)0,定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在 这个区间内 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.,由上我们可得以下的结论:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,例1:确定函数f(x)=x
3、2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数.,解:,由2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是增函数;,令2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是减函数.,例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.,解:f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数.,令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数.,故f(x)在(-,1)和 (3,+)内是增函数, 在(1,3)内是减函数.,而我们可以从右边的 函数的图象看到上面的结论是正确的.,利用导数讨论函数单调的步骤:,(1):求导数
4、,(2)解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式0得f(x)的单调递减区间.,练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.,答案:递增区间是 和 ;递减区间是(-2,1).,三、综合应用:,例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;,解:(1)函数的定义域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 得x1.,注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的
5、单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,一、复习:,上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数 ;,解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,例3 若函数 在R上单调递增,求a的取值范围,变式:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.,故a0,其单调区间是:,单调递增区间:,单调递减区间: 和,，,例：若函数 在区间 （，）内为减函数，在区间 上为增函数，试求实数a的取值范围.,例：已知向量 ，若函数 在区间（，）上是增函数，求t的取值范围,变式：已知 ，若f(x)在（0，1上是增函数，求a的取值范围,例：已知x，证明不等式,
