1、2.4.2 抛物线的几何性质(一)一、基础过关1 设点 A 为抛物线 y24x 上一点，点 B(1,0)，且 AB1，则 A 的横坐标的值为_2 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_3 经过抛物线 y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则的值是_y1y2x1x24 过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点，若 A、B 在准线上的射影为 A1、B 1，则A 1FB1_.5 等腰 RtABO 内接于抛物线 y22px (p0)，O 为抛物线的顶点，OA OB，则 RtABO
2、 的面积是_6 如图所示，过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若 BC2BF，且 AF 3，则此抛物线的方程为_7 过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)若x1x 26，则 AB_.二、能力提升8 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m水位下降 1 m 后，水面宽_ m.9 已知ABC 的三个顶点都在 y232x 上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线 BC 的斜率是_ 10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两
3、个顶点在抛物线 y22px (p0)上，求这个正三角形的边长11线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0)，端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线求抛物线的方程12已知过抛物线 y22px (p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1，y 1)，2B(x2，y 2) (x10)的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，设 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，则称 AB 为抛物线的焦点弦求证：(1)y 1y2p 2；x 1x2 ；p24(2) .1FA 1FB 2p答案10 2y 28x 或 y28x 34 490 5
4、4p 2 6y 23x 78 82 69410解 如图所示，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，则 y 2px 1，21y 2px 2.2又 OAOB ，所以 x y x y ，21 21 2 2即 x x 2px 12px 20.21 2整理得(x 1x 2)(x1x 22p)0.x 10，x 20,2p0，x 1x 2.由此可得|y 1| y2|，即线段 AB 关于 x 轴对称由此得AOx 30 ，y 1 x1.33与 y 2px 1联立，解得 y12 p，21 3AB2y 14 p.311解 画图可知抛物线的方程为y22p
5、x (p0)，直线 AB 的方程为 xkym，由Error!消去 x，整理得 y22pky2pm0，由根与系数的关系得 y1y22pm ，由已知条件知|y 1|y2|2m，从而 p1，故抛物线方程为 y22x.12解 (1)直线 AB 的方程是y2 ，2(x p2)与 y22px 联立，从而有 4x25pxp 20，所以 x1x 2 ，由抛物线定义得5p4ABx 1x 2p 9，所以 p 4，抛物线方程为 y28x.(2)由 p4,4x 25pxp 20，化简得 x25x 40，从而 x11，x 24，y 12 ，2y24 ，从而 A(1，2 )，B (4,4 )2 2 2设 (x 3，y 3
6、)(1，2 ) (4,4 )OC 2 2(14 ，2 4 )，2 2又 y 8x 3，即2 (21) 223 28(41)，即(21) 241，解得 0 或 2.13证明 (1)如图所示抛物线 y22px (p0)的焦点F ，准线方程：x .(p2，0) p2设直线 AB 的方程为 xky ，把它代入 y22px，p2化简，得 y22pkyp 20.y 1y2p 2，x 1x2 y212py22p y1y224p2 . p224p2 p24(2)根据抛物线定义知FAAA 1x 1 ，p2FBBB 1x 2 ，p2 1FA 1FB 1x1 p2 1x2 p2 22x1 p 22x2 p22x2 p 22x1 p2x1 p2x2 p4x1 x2 4p4x1x2 2px1 x2 p2 .4x1 x2 p2px1 x2 p 2p
