1、网络购物分析【摘要】本题是对网购问题的分析，由于商场旨在追求利益的最大化，因此对商品聚类分析、找出利益最高的组合，为商家呈现出最好的营销方式，是本题主旨。同时由于本题数据繁杂庞多，其结果也与数据有着直观和密切的联系，所以对于数据的处理极其准确程度也显得尤为重要。 （本题所给数据皆真实有效） 。对于问题一，求其商品之间的关联程度，即指如果买一副镜框,一般情况下也要买一副镜片，此时可认为镜片和镜框的关联度很高。故解决此问题可以运用聚类的方法和概率论知识相结合的办法，建立相应的模型，找出关联度很高的组合，即为所求的的结果。对于问题二，利用穷举法以及第一问的模型，便可以找出同时被频繁购买的商品的组合，
2、便可以据此进行第三问的求解，所以第二问是一个承接的作用。对于问题三，在问题二的基础上得出促销方案。故需知道各种组合的利益，运用最优解法，结合购买的次数最多以及商品的价格较高两个因素，找出各种组合中的利益最大的组合，促销在此基础上进行。例如：在最大利益的组合中，有一利益最小的商品，则可以对此商品进行打折，以此达到薄利多销的营销策略。经过市场调查，可以得到使其利润最大的打折率 f(i),，那么 f(i)便是我们的促销打折率，以此便可制定促销方案。与此，也可运用其他的策略。问题一，问题二结果如下表所示：问题一结果：组合商品编号 数目 关联度V368 682 286 0.07732872V368 52
3、9 329 0.076986159V956 538 413 120 0.005608505V368 937 829 413 72 0.00003998 问题二结果：组合商品编号 数目V368 529 329V368 829 307 V368 489 682 122V368 937 829 413 72问题三结果：一种商品： 最高获利 382255.74 元， 商品编号为 368。二种商品组合：最高获利 189487.55 元， 商品编号为（368 529） 。三种商品组合：最高获利 76468 元， 商品编号为（V368 829 529） 。四种商品组合： 最高获利 737.6688 元， 商
4、品编号为（V489 438 956 722） 。【关键词】0,1 变量，关联度，聚类分析，穷举法，最优解法，促销，spss 软件，matlab 软件。一、问题重述网店老板经常关心的问题是顾客的购物习惯，即什么商品组或集合顾客会在一次购物时同时购买。 他们可以把这些“同类商品”相互关联在网页内，以便于顾客浏览商品，引导顾客消费，进而增加销量。已知某购物网站一段时期所有顾客购买物品的清单和相应商品的利润，需要我们给网店老板一个合理的顾客购物习惯分析报告，并提供一个促销计划的初步方案。问题 1 试建立一种数学模型，该模型能定量表达网站中多种商品间的关联关系的密切程度。数据见附件 1.问题 2 根据在
5、问题 1 中建立的模型，分析出哪些商品是最频繁被同时购买的，并且找到的最频繁被同时购买的商品数量越多越好。例如：如果商品 1、商品 2、 商品 3，商品 4 在 4625 个购物记录中同时出现了 200 次，则可以认为这三个商品同时频繁出现了 200 次，商品数量是 4。问题 3 附件 2 给出了这 999 中商品的对应的利润，根据在 问题 1、问题 2 中建立的模型，给出一种初步的促销方案，使购物网站的效益进一步增大。二、问题分析本题旨在为商家做出商品分析报告，提出合理的建议，达到利益最大化的目标。由于本题问题层层递进，而且数据量庞大，问题所问与初始数据密切相关，故数据的处理显得至关重要。对
6、此，将 matlab 与 spss，excel 等软件相结合，便可对原始数据进行处理以得到更为直观的数据。问题一运用聚类分析和概率相结合的办法。现将原始数据转换为 0,1 变量，所谓 0,1 变量，即指把商品编号和人数组成二维表，若某人买了某编号的商品，则在此对应的位置标 1，反之为 0。这样便得到利于计算和直观反映的数据。此过程由 spss 和 matlab 进行，具体详见模型解答过程。在 0,1 变量的基础上，对商品进行各种组合，若某人买了一种组合中的全部商品，即对应的 0,1 变量皆为 1，则重新标记为 1，反之则为 0。以之求和，便可得到购买数量最多的组合，再用其模型求得其关联度。问题
7、二在问题一的基础上求解，利用穷举法和问题一中的结果，可将频繁购买的组合求出来。问题三利用最优解法，把各种组合中的最大利益求出来，在其组合中找出利益最小的商品，则此种商品为需要打折促销的商品，再根据 f(i)决定促销策略。同时也根据问题二的结果，列出需要放在一起进行广告的商品组合数，至此则此题已完全解决。三、模型假设1. 对于问题三中，各个商品利润保持不变。2. 表格中的数据能真实反映当地消费者购物情况。3. 短时期内商品销售不会变化，即种类数目不会有太大的变化。4. 关于商品的关联度，如果买一种商品的同时买另一种商品，则就说明它们有关联度，如眼镜框和镜片，排除无意间同时购买的因素，如面包和衣服
8、等，故此题中的同时购买即认为全为有关系的，即是有关联度的。5. 题中的打折率 f(i)可以从现实中得到，以至于促销策略可以实行。6. 不存在打破这种商品购买格局的因素。7. 商场是追求利润的最大化，由于数据众多，故提取单笔购买数量从大到小排列的 5%作为数据样本。对实际结果分析没多大的影响。四、符号说明Ni 表示 i 商品购买的频率；Nj 表示 j 商品购买的频率；表示 k 商品购买的频率；k表示 l 商品购买的频率；l表示 i 和 j 商品同时购买的频率；ij表示打折后 i 和 j 商品同时购买的频率；ijN表示 i，j，k 商品同时购买的频率；ijk表示 i， j，k，l 商品同时购买的频
9、率；ijl表示 i，j 商品的关联度；ijR表示 i，j ，k 商品的关联度；ijk表示 i，j，k，l 商品的关联度；ijlT 表示商品的总利润；m 表示购买的人数；n 表示商品的数目；表示购买商品 i 的利润；gid(i,j)表示第 i 人是否购买了第 j 种商品，用 0,1 表示买与不买，d 为 0,1 的矩阵；f(i)表示打折率；Z 表示促销前销售量；Z表示促销后的销售量。五、模型的建立对于此题的模型，为求其关联度，我们运用概率方面的知识：P(A/B)=P(AB)/P(B)P(B/A)=P(AB)/P(A)则有：P(A/B) *P(B/A)= P(AB)/P(B)* P(AB)/P(A
10、)；故此联系上面的公式，我们可以得到以下模型： 2*ijijNR其中：N i 表示 i 商品购买的频率； Nj 表示 j 商品购买的频率；表示 i 和 j 商品同时购买的频率； 表示 i，j 商品的关联度。ij ijR这样便是两个商品的模型。三个商品和四个商品等的以此类推： 3*ijkijkNR4ijklijkli l对于第二题的模型，则在第一题基础上，求出 ， ， 中最大的几组，ijNijkijkl便是可以得到结果。第三题模型：在第二组求出的最大的 ， ， 中，求其组合中的最大利益：ijNijkijklT1= Ni* ；giT2= *（ + ） ；ijijT3= *（ + + ） ；ijki
11、jkT4= *（ + + + ） ；ijlNijgl其中 T1，T2，T3 ，T4 分别为一个商品，两个商品组合，三个商品组合，四个商品组合的最大利润。在促销过程中，设商品 i 在组合 中利润最小，则对其打折，打折率为ijNf(i),打折前销售量为 Z，打折后销售量为 Z，购买 i，j 的人数为 ，则其利ijN润为：T= *（ + * f(i)）ijNgij则多获益：t= *（ + * f(i)） *（ + ）ijij ijNgij这样以此类推，三种组合，四种组合皆为如此。六、模型求解问题一：首先将消费记录数据用 spss 进行整理，然后用 matlab 求其 0,1 矩阵，其程序如附录中程序
12、一。d(i,j)=1 第 i 人买了第 j 种商品0 第 i 人没买第 j 种商品然后求和 ，求得各种商品的购买量，根据假设取其前 50 种，46251(,)idj结果如下：（V368 表示商品编号，第二列数字为购买量）V368 1314V829 1079V529 1070V510 944V419 927V217 909V489 868V438 833V956 824V914 809V766 807V682 805V692 802V937 781V205 768V722 744V720 741V883 730V145 676V362 676V895 669V897 667V283 660V8
13、658V177 647V480 641V752 636V966 635V470 633V71 632V541 622V204 621V140 620V12 616V538 616V775 614V890 611V120 609V413 607V450 607V354 606V676 595V55 592V694 586V401 581V597 568V72 553V236 552V110 549V161 548然后对这五十种商品进行处理，任意进行组合，例如，对于 i 和 j 号商品，若某人同时买了，则记为 1，反之为 0。然后对 4625 名顾客求和，得到 i 和 j 商品共同购买的数目 ，再
14、用公式 ，此过程用 matlab 做，其程序如附件ijN2*ijijNR中的程序 2，取其前最高关联度的十组，得到结果如下：组合商品编号 数目 关联度V368 682 286 0.07732872V368 529 329 0.076986159V529 692 251 0.07341576V368 489 289 0.073228577V368 829 307 0.066475244V368 217 280 0.065638223V368 937 258 0.0648624V829 692 236 0.064361802V529 438 237 0.063018478V368 720 246
15、0.062152219对于三种商品的组合，类似两种组合的处理办法，使用公式 ，3*ijkijkNR利用 matlab，其程序见附件程序 3。取其前最高关联度的四组，得到如下结果：组合商品编号 数目 关联度V956 538 413 120 0.005608505V368 489 682 122 0.001977737V368 529 217 101 0.00080616V368 829 529 100 0.000659173对于四种商品的组合，类似三种组合的处理办法，使用公式，利用 matlab，其程序见附件程序 4。取其前最高关联度4*ijklijkli lNR的二组，得到如下结果：组合商品编
16、号 数目 关联度V368 937 829 413 72 0.00003998 V489 438 956 722 47 0.00001101 问题二：根据问题一得到的中间结果，得到组合为两种，三种，四种的最高销售量的组合，其销售量和商品编号如下：1两种组合：组合商品编号 数目 利润V368 529 329 189487.55V368 829 307 147249.48V368 489 289 85578.3332V368 682 286 90164.074V368 217 280 82913.264V368 419 266 83858.894V368 937 258 76398.6504V368
17、 510 256 100071.4242三种组合：组合商品编号 数目 利润V368 489 682 122 39097.0716V956 538 413 120 57274.68V368 529 217 101 58697.0388V368 829 529 100 764683四种组合：组合商品编号 数目 利润V368 937 829 413 72 673.5788V489 438 956 722 47 737.6688问题三：在第二组求出的较大的 ， ， 中，求其组合中的最大利益：ijNijkijklT1= Ni* ；giT2= *（ + ） ；ijijT3= *（ + + ） ；ijkij
18、kT4= *（ + + + ） ；ijlNijgl得到结果如下：MaxT1=382255.74，说明 368 号商品获利最高。MaxT2=189487.55，说明其组合为 368 号商品和 529 号商品在两种商品的组合中获利最高；MaxT3=76468，说明其组合为 368 号商品和 829 号商品以及 529 号商品在三种商品的组合中获利最高；MaxT4=737.6688， 说明其组合为 489 号商品和 438 商品和 956 号商品以及722 号商品在四种商品的组合中获利最高。在促销中盈利如下：两种组合：其中 529 号商品盈利少，对其打折，设打折率为 f(529)，打折后同时购买此两
19、种商品的数量增加 u1，则获利T=(368+u1)*（290.91+285.04*f(529)）较促销之前多获利：t=(368+u1)*（290.91+285.04*f(529)）- 189487.55三种组合：其中 829 号商品盈利少，对其打折，设打折率为 f(829),打折后同时购买此三种商品的数量增加 u2，则获利T=(100+u2)*290.91+188.73*f(829)+285.04较促销之前多获利：t=(100+u2)*290.91+188.73*f(829)+285.04-76468四种组合：其中 489 号 商品盈利少，对其打折，设打折率为 f(489)，打折后同时购买此四
20、种商品的数量增加 u3，则获利T=(47+u3)*（5.2088*f(489)+274.78+264.21+193.47）较促销之前多获利：t=(47+u3)*（5.2088*f(489)+274.78+264.21+193.47）-737.6688同时还有其他如下的促销策略：把组合（368 529） ， （368 829） ， （368 489） ， （368 682） ， （368 217） ， （368 419） ， （368 937） ， （368 510） ， （368 489 682） ， （956 538 413)， （368 529 217） ， （368 829 529） ，
21、 （368 937 829 413） ， （489 438 956 722)等组合中的商品在网站上置于同一板块，便于吸引消费者的眼球，出于消费者省钱以及图方便的心理，便可以增加商品的出售额，获取更多的利益。七模型评价（一）.优点：1、本题研究了网购情况，首先对于问题的较为庞杂的数据用 matlab 和spss 等程序做了处理，使数据更为直观明了，同时有利于计算。2、在具体题目中运用了聚类分析的方法，使结果更为直观，形式更为简明，由于本题讨论市场商业问题，故此与商业方面报告的结论易读化相吻合。3、本题还运用了最优解法，使结论更具说服力，模型更加详细。（二）.缺点：1、由于数据量的庞大，本题取其前
22、五十种商品，对结论有一定的影响，但是影响不大，一般情况下可以忽略不计。2、本题也采用了穷举法，由于穷举法的局限性，不能得到最好的效果，但由于此题数据的特殊性，对结果影响不大，也可以忽略不计。3、采用聚类分析时，在样本量较大时，要获得聚类结论有一定的困难在样本量较大时。八、模型的推广本题是关于网购问题的分析，现代社会，经济日益发展，商品经济逐渐成为主流，电子商务更是重中之重，同时大型超市也将逐步替代小型商店，本题中的模型，既适用于电子商务方面，也适用与大型超市，也即“购物篮”问题。故此只要有商品经济存在的地方，本模型就会使用，并且有一定的效益。所以本模型的使用范围也会越来越广。当然，也不局限于商
23、品经济中，但凡用到聚类的地方，就有本模型存在的价值。参考文献1姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011 年；2韩中庚， 数学建模方法及其应用 ，北京市：高等教育出版社 ，2009 年；3卓金武， MATLAB 在数学建模中的应用 ，北京市：北京航空航天大学出版社，2011 年；4赫孝良， 数学建模实验 ，西南交通大学出版社，1999.10；5雷功炎， 中国大学生数学建模竞赛 ，高等教育出版社，2001.12.附录：程序一：b=zeros(4625,999);c=zeros(1,999);for i=1:4625for j=1:72l=a(i,j);if l0if
24、 l0 u(j,j)=u(j,j)+1;endenddisp(u)endfor j=1:49for k=(j+1):50for h=1:4625 if d(h,j)0 if d(h,k)0 u(j,k)=u(j,k)+1;u(k,j)=u(j,k); endendendenddisp(u);end程序三：e=zeros(20,4);h=1;for j=1:48for k=j+1:49for m=k+1:50t=0;for i=1:4625if d(i,j)=1endendif t94e(h,1)=j;e(h,2)=k;e(h,3)=m;e(h,4)=t;h=h+1;endendenddisp(e)end程序四：e=zeros(50,5); endh=1; end for j=1:47 endfor k=j+1:48 endfor m=k+1:49 disp(e);for l=m+1:50 endt=0;for i=1:4625if d(i,j)=1endendif t40e(h,1)=j;e(h,2)=k;e(h,3)=m;e(h,4)=l;e(h,5)=t;h=h+1;
