1、1题型四 反比例函数与一次函数综合题 针对演练1. 如图，一次函数 ykx1(k0) 与反比例函数 y (m0)的图象mx有公共点 A(1，2)，直线 lx 轴于点 N(3， 0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点 B，C，连接 AC.(1)求 k 和 m 的值；(2)求点 B 的坐标；(3)求 ABC 的面积第 1 题图22. 已知正比例函数 y2x 的图象与反比例函数 y (k0)在第一象kx限内的图象交于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 P，已知OAP 的面积为 1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点 B 的横坐标为 2，且在反比例函数图象上，则在 x 轴上是否
2、存在一点 M，使得 MAMB 最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图33. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 ykx b 的图象交于2yx点 A、B，点 A、B 的横坐标分别为 1、2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数 ，当 y1 时，写出 x 的取值范围；2yx(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P，使得 SODP 2SOCA ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图44. (2016 巴中 10 分) 已知，如图，一次函数 ykxb(k 、b 为常数，k
3、0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y(n 为常数且 n0) 的图象在第二象限交于点 C.CDx 轴，垂足为 D.nx若 OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kxb 的解集nx第 4 题图55. 如图，点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykx b 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点mx(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围；(3)若 C 是 x 轴上一动点，设 tCBCA，求 t 的最大值，并求出此时点
4、 C 的坐标第 5 题图66. 如图，直线 y1 x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比14例函数 y2 (x0)的图象交于点 P，过点 P 作 PBx 轴于点 B，且mxACBC.(1)求点 P 的坐标和反比例函数 y2 的解析式；(2)请直接写出 y1y2 时， x 的取值范围；(3)反比例函数 y2 图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由第 6 题图77. 如图，直线 yx b 与 x 轴交于点 C(4，0)，与 y 轴交于点 B，并与双曲线 y (x0)交于点 A(1，n)mx(1)求直线与双曲线的解析式；
5、(2)连接 OA，求OAB 的正弦值；(3)若点 D 在 x 轴的正半轴上，是否存在以点 D、C、B 构成的三角形OAB 相似？若存在求出 D 点的坐标，若不存在，请说明理由第 7 题图88. (2016 金华 8 分)如图，直线 y x 与 x，y 轴分别交于点33 3A，B，与反比例函数 y (k0)图象交于点 C，D，过点 A 作 x 轴kx的垂线交该反比例函数图象于点 E.(1)求点 A 的坐标；(2)若 AEAC.求 k 的值；试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由第 8 题图99. 如图，已知双曲线 y 经过点 D(6，1)，点 C 是双曲线第三象限kx上
6、的动点，过点 C 作 CAx 轴，过点 D 作 DBy 轴，垂足分别为A，B，连接 AB，BC.(1)求 k 的值；(2)若 BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式；(3)判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由第 9 题图1010. 如图，点 B 为双曲线 y (x0) 上一点，直线 AB 平行于 y 轴，kx交直线 y x 于点 A，交 x 轴于点 D，双曲线 y 与直线 yx 交于kx点 C，若 OB2AB 24.(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为 4 时，求ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点 P，使APCAOD？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由
7、第 10 题图11【答案】1解：(1)点 A(1，2)是一次函数 ykx 1 与反比例函数 y的公共点，mxk12， 2，k 1，m2；1(2)直线 lx 轴于点 N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，点 B 的横坐标为 3，将 x3 代入 yx1，得 y314，点 B 的坐标为(3 ，4) ；(3)如解图，过点 A 作 AD直线 l，垂足为点 D，由题意得，点 C 的横坐标为 3，点 C 在反比例函数图象上，y ， C 点坐标为(3， )，2x23 23BCBNCN4 ，23 103又AD 312，S ABC BCAD 2 .12 12 103 10312第 1 题解图2解：(1)设 A
8、 点的坐标为( x，y)，则 OP x，PAy，OAP 的面积为 1， xy1，12xy 2，即 k2，反比例函数的解析式为 ； 2yx(2)存在，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交x 轴于点 M，此时 MAMB 最小，点 B 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 y 1，22即点 B 的坐标为（2,1）.又两个函数图象在第一象限交于 A 点， ，2x解得 x11， x21( 舍去)y2，点 A 的坐标为(1 ，2) ，点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，2)，设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 A(1，2) ，B(2，1)得，1323,15kbkb解 得 ，直线
9、 AB 的解析式为 y3x 5，令 y0，得 x ，53直线 y 3x5 与 x 轴的交点为( ，0)，53即点 M 的坐标为( ，0) 53第 2 题解图3解：(1)反比例函数 y 图象上的点 A、B 的横坐标x分别为 1、2，点 A 的坐标为(1 ，2) ，点 B 的坐标为(2，1) ，点 A(1， 2)、B( 2，1)在一次函数 ykxb 的图象上，1,21kbkb解 得 ，一次函数的解析式为 yx 1；(2)由图象知，对于反比例函数 ，当 y1 时，x 的取值2x范围是2x 0；14(3)存在对于 yx1，当 y0 时，x1，当 x0 时，y1，点 D 的坐标为(1，0)，点 C 的坐
10、标为(0，1) ，设点 P(m， n)，S ODP 2S OCA ， 1(n) 2 11，12 12n2，点 P(m， 2)在反比例函数图象上，2 ， m1，点 P 的坐标为( 1， 2)4解：(1)OB2OA3OD 6，OA 3，OD2.A(3，0)，B(0 ，6)，D(2，0)将点 A(3， 0)和 B(0，6)代入 ykxb 得，30,66kbkb解 得 ，一次函数的解析式为 y2x 6. (3 分)将 x2 代入 y2 x6，得 y2(2)610，点 C 的坐标为(2，10)将点 C(2，10)代入 y ，得nx1510 ，解得 n 20，2反比例函数的解析式为 ；(5 分)20yx(
11、2)将两个函数解析式组成方程组，得26,0yx解得 x1 2，x 25. (7 分)将 x5 代入 04,y两函数图象的另一个交点坐标是(5，4)； (8 分)(3)2 x 0 或 x5. (10 分)【解法提示】不等式 kxb 的解集，即是直线位于双曲线下nx方的部分所对应的自变量 x 的取值范围，也就是2x 0 或 x5.5解：(1)点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykx b 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点，mxm2，反比例函数解析式为 ，2yxn1，点 A(2 ，1)，将点 A(2 ，1)，B(1 ，2)代入 ykxb，得11,kbkb解 得 ，一次函数的解析式为 y
12、x 1；16(2)结合图象知：当2x 0 或 x1 时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA延长交 x 轴于点 C，则点 C 即为所求，A(2，1)，A (2， 1)，设直线 AB 的解析式为 ymx n，1123,5mn解 得 ，y x ，13 53令 y0，得 x5，则 C 点坐标为(5，0)，t 的最大值为 AB .（ 2 1）2 （ 1 2）2 10第 5 题解图6解：(1)一次函数 y1 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与14y 轴交于点 C，17A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O 为 AB 的中点，即 OA
13、OB 4，且 BP2OC2，点 P 的坐标为(4 ，2) ，将点 P(4， 2)代入 y2 ，得 m8，mx反比例函数的解析式为 y2 ；(2)x4；【解法提示】由图象可知，当 y1y 2 时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量 x 的取值范围是 x4.(3)存在假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如解图，连接 DC 与 PB 交于点 E，四边形 BCPD 为菱形，CEDE4，CD 8，D 点的坐标为(8，1)，将 D(8，1)代入反比例函数 ，D 点坐标满足函数关系式，8yx即反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时D 点坐标为(8，1) 18第
14、 6 题解图7解：(1)直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4，0)，把点 C(4，0)代入 yx b，得 b4，直线的解析式为 yx4，直线也过 A 点，把点 A( 1，n)代入 yx4，得 n5 ，A(1， 5)，将 A(1， 5)代入 y (x0)，得 m5，mx双曲线的解析式为 ；5(2)如解图，过点 O 作 OMAC 于点 M，点 B 是直线 yx 4 与 y 轴的交点，令 x0，得 y4 ，点 B(0， 4)，OCOB 4，OCB 是等腰直角三角形，OBCOCB45，在OMB 中，sin45 ，OM2 ，OMOB 42AO ，12 52 2619在AOM 中，sin OAB ；OM
15、OA 2226 21313第 7 题解图(3)存在如解图，过点 A 作 ANy 轴于点 N，则 AN1，BN1，AB ，12 12 2OB OC4，BC 4 ，42 42 2又OBCOCB45，OBA BCD135，OBA BCD 或 OBA DCB， 或 ，OBBC BACD OBDC BABC即 或 ，442 4242CD 2 或 CD16，点 C(4，0)，点 D 的坐标是(6，0)或(20 ，0)208解：(1)当 y0 时，得 0 x ，解得 x3. 33 3点 A 的坐标为(3 ，0) ； (2分)(2)如解图，过点 C 作 CFx 轴于点 F.设 AEACt, 点 E 的坐标是(
16、3，t). 在 RtAOB 中， tan OAB ，OBOA 33OAB 30.在 RtACF 中，CAF30，CF t，AFACcos30 t，12 32点 C 的坐标是(3 t， t)32 12点 C、E 在 y 的图象上，kx(3 t) t3t，32 12解得 t10(舍去) ，t 22 ，3k3t6 ； (5 分)3点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称，理由如下：由知，点 E 的坐标为(3，2 )，3设点 D 的坐标是(x， x )，33 3x( x )6 ，解得 x16( 舍去)，x 23，33 3 321点 D 的坐标是(3，2 )，3点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对
17、称(8 分)第 8 题解图9解：(1)双曲线 y 经过点 D(6，1)，kx 1，解得 k6；6k(2)设点 C 到 BD 的距离为 h，点 D 的坐标为(6，1)，DB y 轴，BD 6，S BCD 6h12，12解得 h4，点 C 是双曲线第三象限上的动点，点 D 的纵坐标为 1，点 C 的纵坐标为 143， 3，解得 x2，6x点 C 的坐标为(2，3)，设直线 CD 的解析式为 ykxb，则22123,261kbkb解 得 ，直线 CD 的解析式为 y x2；12(3)ABCD.理由如下：CAx 轴， DBy 轴，点 D 的坐标为(6，1)，设点 C 的坐标为(c， )，6c点 A、B
18、 的坐标分别为 A(c，0)，B(0，1)，设直线 AB 的解析式为 ymxn，则10,1mcnmcn解 得 ，直线 AB 的解析式为 y 1，xc设直线 CD 的解析式为 yexf，则6,61eecf cf解 得 ，直线 CD 的解析式为 y ，1xc6AB、CD 的解析式中 k 都等于 ， AB 与 CD 的位置关系是 ABCD.10解：(1)设 D 点坐标为 (a，0)，ABy 轴，点 A 在直线 yx 上，B 为双曲线 y (x0)上一kx23点，A 点坐标为( a，a)，B 点坐标为(a， )，kaABa ，BD ，ka ka在 RtOBD 中，OB 2BD 2OD 2( )2a 2
19、，kaOB 2AB 24，( )2a 2 (a )2 4，ka kak2；(2)如解图，过点 C 作 CMAB 于点 M，,2yx联 立 22xxyy解 得 或 （ 舍 去 ） ，C 点坐标为( ， )，2 2点 B 的横坐标为 4，A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4， )，12AB4 ，CM4 ，12 72 2S ABC CMAB12 (4 )12 2 72247 ；724第 10 题解图(3)不存在，理由如下：若APCAOD，AOD 为等腰直角三角形，APC 为等腰直角三角形， ACP 90 ，CM AP，12设 P 点坐标为(a， )，则 A 点坐标为(a，a)，2aAP|a |，C 点坐标为( ， )，2 2CM|a |，2|a | |a |，21225(a )2 ，214 2()a即(a )2 ，214 22()()a4a 2(a )20，解得 a 或 a (舍去)，2 223P 点坐标为( ， )，则此时点 C 与点 P 重合，所以不能构2 2成三角形，故不存在
