1、定积分与曲边梯形的面积我们知道定积分的几何意义：当函数 ()fx在区间a,b上恒为正时，定积分()bafxd的几何意义是以曲线 ()f为曲边梯形的面积.一般情况下，定积分的几何意义是介于 x 轴、函数 ()fx的图象以及直线 x=a、x=b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号.所以求曲边梯形的面积是定积分在几何中的重要应用，把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想求解此类题常常用到以下技巧一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便例 1 求抛物线 2yx与直线 4yx围成的平面图形的面积解析：如图
2、 1，解方程组2， ，得两曲线的交点为 (2)， 、 (84， 方法一：选取横坐标 x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即2802(4)Sdd3328282411xxxA方法二：选取纵坐标 y为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24234221186Sydyy点评：从上述两种解法可以看出，对 积分比对 x积分计算简捷因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的但同时也要注意对 y积分时，积分函数应是 ()xy，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为 21xy、 4的形式，然后求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变
3、的，即定积分的值不会改变二、巧用对称性在求平面图形面积时，利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段例 2 求由三条曲线 2yx， 24， 1y所围图形的面积解析：如图 2，因为 ， 是偶函数，根据对称性，只算出 y轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组21yx，和24x，得交点坐标 (1)， 、(1)，、 )， 、 (， 方法一：选择 x为积分变量，则2210144xxSdd 3123201424方法二：可以选择 y为积分变量，求解过程请同学们自己完成点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度三、分割计算例 3 求由抛物线 243yx及其在点 (03)M， 和点 (0)N， 处两条切线所围成的图形的面积解析：由 2，得 yx， 04xy，过 M点的切线方程为 43；32，过 N点的切线方程为 26yx又可求得两切线交点的横坐标为 ，故所求面积3 32 220 2 9(4)(4)(6)(43)Sxxdxxd点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作 x轴的垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解同学们应注意掌握这种分割的处理方法
