1、4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1掌握空间两点间的距离公式2理解空间两点间距离公式的推导过程和方法3能够用空间两点间距离公式解决简单的问题1在空间直角坐标系中，给定两点 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)，则|P1P2|_特别地：设点 A(x， y， z)，则 A 点到原点的距离为：| OA|_2若点 P1(x1， y1,0)， P2(x2， y2,0)，则| P1P2|_3若点 P1(x1,0,0)， P2(x2,0,0)，则| P1P2|_一、选择题1若 A(1,3，2)、 B(2,3,2)，则 A、 B 两点间的距离为( )A B25 C5 D61
2、 572在长方体 ABCD A1B1C1D1中，若 D(0,0,0)、 A(4,0,0)、 B(4,2,0)、 A1(4,0,3)，则对角线 AC1的长为( )A9 B C5 D229 63到点 A(1，1，1)， B(1,1,1)的距离相等的点 C(x， y， z)的坐标满足( )A x y z1 B x y z0C x y z1 D x y z44已知 A(2,1,1)， B(1,1,2)， C(2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A A、 B、 C 三点可以构成直角三角形B A、 B、 C 三点可以构成锐角三角形C A、 B、 C 三点可以构成钝角三角形D A、 B、 C 三点不能构
3、成任何三角形5已知 A(x,5 x,2x1)， B(1， x2,2 x)，当| AB|取最小值时， x 的值为( )A19 B C D87 87 19146点 P(x， y， z)满足 2，则点 P 在( ) x 1 2 y 1 2 z 1 2A以点(1,1，1)为球心，以 为半径的球面上2B以点(1,1，1)为中心，以 为棱长的正方体内2C以点(1,1，1)为球心，以 2 为半径的球面上D无法确定二、填空题7在空间直角坐标系中，正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A(3，1,2)，其中心 M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为_8已知 P 到直线 AB 中点的距离为 3，其中
4、A(3,5，7)， B(2,4,3)，则(32， 52， z)z_9在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)， B(1，3,1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_三、解答题10在 xOy 平面内的直线 x y1 上确定一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最小11如图所示， BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标为( ，0)，点 D 在平面32 12yOz 上，且 BDC90， DCB30，求 AD 的长度能力提升12已知正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N
5、 在 BF 上移动，若 CM BN a(0 a )2(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时， MN 的长最小13在长方体 ABCDA1B1C1D1中，| AB| AD|3，| AA1|2，点 M 在 A1C1上，|MC1|2| A1M|， N 在 D1C 上且为 D1C 中点，求 M、 N 两点间的距离空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解设 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)，则d(P1， P2) ，当 P1， P2两点落在了坐标平面内 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2或
6、与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式432 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2 x2 y2 z22 x1 x2 2 y1 y2 23| x1 x2|作业设计1C | AB| 5 1 2 2 3 3 2 2 2 22B 由已知求得 C1(0,2,3)，| AC1| 293B | AC| BC|(x1) 2( y1) 2( z1) 2( x1) 2( y1) 2( z1) 2即x y z04A | AB| ，| BC| ，| AC|1，2 3| AB|2|
7、AC|2| BC|2故构成直角三角形5C | AB| ，当 x x 1 2 3 2x 2 3x 3 2 14x2 32x 19 时，| AB|最小 32214 876C 7239380 或4解析 利用中点坐标公式，则 AB 中点 C ，| PC|3，即(12， 92， 2)3，(32 12)2 (52 92)2 z 2 2解得 z0 或 z49(0，1,0)解析 设 M 的坐标为(0， y,0)，由| MA| MB|得(01) 2( y0) 2(02) 2(01)2( y3) 2(01) 2，整理得 6y60， y1，即点 M 的坐标为(0，1,0)10解 点 M 在直线 x y1( xOy
8、平面内)上，可设 M(x,1 x,0)| MN| x 6 2 1 x 5 2 0 1 2 ，2 x 1 2 51 51当且仅当 x1 时取等号，当点 M 坐标为(1,0,0)时，| MN|min 5111解 由题意得 B(0，2,0)， C(0,2,0)，设 D(0， y， z)，则在 Rt BDC 中， DCB30， BD2， CD2 ， z ， y13 3 D(0，1， )3又 A( ，0)，32 12| AD| 32 2 12 1 2 3 2 612解 平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF AB， AB BE， BE平面 ABCD， AB、 BC、 BE 两两垂直过
9、点 M 作 MG AB， MH BC，垂足分别为 G、 H，连接 NG，易证 NG AB CM BN a， CH MH BG GN a，22以 B 为原点，以 AB、 BE、 BC 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则M ，(22a， 0， 1 22a)N (22a， 22a， 0)(1)|MN| (22a 22a)2 (0 22a)2 (1 22a 0)2 ，a2 2a 1 (a 22)2 12(2)由(1)得，当 a 时，| MN|最短，最短为 ，这时 M、 N 恰好为 AC、 BF 的中点22 2213解 如图分别以 AB、 AD、 AA1所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)，| DD1| CC1|2， C1(3,3,2)， D1(0,3,2)， N 为 CD1的中点， N (32， 3， 1)M 是 A1C1的三分之一分点且靠近 A1点， M(1,1,2)由两点间距离公式，得|MN| (32 1)2 3 1 2 1 2 2 212
