1、基本不等式A组 基础巩固1若 x0， y0，且 1，则 xy有( )2x 8yA最大值 64 B最小值164C最小值 D最小值 6412解析： xy xy 2 y8 x2 8 ， 8，(2x 8y) 2y8x xy xy即 xy64，当且仅当Error!即Error!时等号成立答案：D2已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y的最小值是( )A3 B4C. D.92 112解析： x2 y2 xy8， y 0，8 x2x 210， b0，且 ln(a b)0，则 的最小值是( )1a 1bA. B114C4 D8解析：由 a0， b0，ln( a b)0，得Error! 2 22
2、 4，当且仅当 a b 时，取等号1a 1b a ba a bb ba ab baab 12答案：C4已知 x3 y20，则 3x27 y1 的最小值是( )A3 B1239 2C6 D7解析：3 x27 y13 x3 3y12 12317，当且仅当 3x3 3y且3x 3yx3 y20，即 x1， y 时，等号成立，所求最小值为 7.13答案：D5设 M是 ABC内一点，且 ABC的面积为 1，定义 f(M)( m， n， p)，其中 m、 n、 p分别是 MBC， MCA， MAB的面积，若 f(M) ，则 的最小值是( )(12， x， y) 1x 4yA8 B9C16 D18解析： A
3、BC的面积为 MBC， MCA， MAB的面积之和， x y1，即12x y ， (2x2 y)10 18.当且仅当 x ， y 时等号成立12 1x 4y (1x 4y) 8xy 2yx 16 13答案：D6设 abc0，则 2a2 10 ac25 c2的最小值是( )1ab 1a a bA2 B4C2 D55解析： abc0，原式 a2 10 ac25 c2 a2 a2 ab1ab 1a a b ab ( a5 c)22204，当且仅当 a(a b)1， ab1， a5 c0 时1a a b 1ab取等号即当 a ， b ， c 时，所求式的最小值为 4.222 25答案：B7函数 y a
4、1 x(a0， a1)的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx ny10( mn0)上，则 的最小值为_1m 1n解析：函数 y a(1 x)(a0， a1)的图象恒过定点 A(1,1)，因为点 A在直线mx ny1 上，所以 m n1.又因为 mn0，所以 1 (m n)1m 1n (1m 1n) (1m 1n)2 224.nm mn当且仅当 m n时，取等号答案：48若对任意的 x0， a恒成立，则 a的取值范围是_xx2 3x 1解析：根据题意，令 f(x) ， x0， x 2， f(x)xx2 3x 1 1x 1x 3 1x ，当且仅当 x1 时，取得最大值 .若使不等式恒成立，只需
5、a 即1x 1x 3 12 3 15 15 15可答案： a159已知 a0， b0， a b1，求证： 9.(11a)(1 1b)证明：方法一：因为 a0， b0， a b1，所以 1 1 2 .同理 1 2 ，1a a ba ba 1b ab故 52 549.(11a)(1 1b) (2 ba)(2 ab) (ba ab)所以 9(11a)(1 1b).(当 且 仅 当 a b12时 取 等 号 )方法二： 1 1 1 ，因为 a， b为正数，(11a)(1 1b) 1a 1b 1ab a bab 1ab 2aba b1，所以 ab 2 ，于是 4， 8，(a b2 ) 14 1ab 2a
6、b因此 189(11a)(1 1b)(当 且 仅 当 x y 12时 ， 等 号 成 立 .)10已知函数 y (x2)x 2x2 x 1(1)求 的取值范围1y(2)当 x为何值时， y取何最大值？解：(1)设 x2 t， x t2， t0(x2)，则 t 32 3， 的取1y x2 x 1x 2 t 2 2 t 2 1t t2 3t 3t 3t 3 1y值范围为2 3，3(2)欲使 y最大，必有 最小，此时 t ， t ， x 2， y ，当1y 3t 3 3 23 33x 2时， y最大，最大值为 .323 33B组 能力提升11在 ABC中，角 A， B， C所对边的长分别为 a， b
7、， c，若 a2 b22 c2，则 cosC的最小值为( )A. B.32 22C. D12 12解析：由余弦定理得 a2 b2 c22 abcosC.又 c2 (a2 b2)，所以 2abcosC (a2 b2)，12 12即 cosC ，所以选 C.a2 b24ab 2ab4ab 12答案：C12设 a b2， b0，则当 a_时， 取得最小值12|a| |a|b解析： a b2，则 t .12|a| |a|b a b4|a| |a|b当 a0时，即 a(0,2)时，t 2 1 ，14 b4a ab 14 b4aab 14 54当且仅当 ，即 b2 a时等号成立b4a ab又 a b2，此
8、时 a .23当 a3， y2)，矩形 AMPN的面积为 S，则 S xy. NDC NAM， ，y 2y 3x x ，3yy 2 S (y2)3y2y 2由 32，得 28.3y2y 2 83 AN的长度应在 或(8，)内(2，83)(2)当 y2时， S 3 3(44)24，3y2y 2 (y 2 4y 2 4)当且仅当 y2 ，4y 2即 y4 时，等号成立，解得 x6.存在 M， N点，当 AM6， AN4 时， Smin24.14记 F(x， y) x y a(x2 )， x、 y(0，)若对任意的2xyx， y(0，)，恒有 F(x， y)0，请求出 a的取值范围解：由 F(x， y)0，得 x y a(x2 )2xy x0， y0， a .x yx 22xy a min.(x yx 22xy)2 x2 y.2xy ，x yx 22xy x yx x 2y 12当且仅当 x2 y0时，等号成立 a .( ，12
