1、垂直的判定与性质1. 线面垂直的定义：如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l与平面 互相垂直，记作 l. l平面 的垂线， 直线 l的垂面，它们的唯一公共点 P叫做垂足.（线线垂直 线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若 l m， l n， B， m ， n，则 l3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作 .4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直 面面垂直）5. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2、 （线面垂直 线线平行）6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若 ， l， a， l，则 a.（面面垂直 线面垂直）【例 1】四面体 ABCD中， ,BEF分别为 ,ADBC的中点，且2EFAC，90B，求证： 平面 A.【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面ABC1D1 所成的角的正弦值.【例 3】三棱锥 PABC中， PBAC， ， O平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面ABC 的垂心.B DCAEFG【例 4】已知 RtABC，斜边 BC/平面
3、 ， ,A AB，AC 分别与平面成 30和 45的角，已知 BC=6，求 BC 到平面 的距离.【例 5】如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60,（1）证明：C1CBD； （2）当 1CD的值为多少时，可使 A1C面 C1BD？【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点E、F，连结 AE、EF、AF，以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点B、C、D 重合于一点 P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面 APE平面 APF.【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中， ,ABCDA ,EFG分别是CDA
4、的中点，求证：平面 EF平面 G. C1B1CBA【例 3】如图，在正方体 1ABCD中，E 是 1C的中点，求证：1ABDE平 面 平 面【例 4】正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1=2AB，D、E 分别是侧棱 BB1、CC1 上的点，且EC=BC=2BD，过 A、D、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.【例 5】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：CDPD； （2）求证：EF平面 PAD；（3）当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线
5、EF平面 PCD？EDC1B1A1CBA【例 1】把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面，另一条直角边 AC 与桌面所在的平面垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂直，则 BC 是否与 a 垂直？【例 2】如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 【例 3】三棱锥 PABC中， PBC, O平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面ABC 的外心.【例 4】三棱锥 PABC中，三个侧面与底面所成的二面角相等，
6、PO平面 ABC，垂足为O，求证：O 为底面ABC 的内心.ACB a【例 5】在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面 ABC.（1）若 D 是 BC 的中点，求证：ADCC1； （2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面BB1C1C；（3）如果截面 MBC1平面 BB1C1C，那么 AM=MA1 吗？请你叙述判断理由.【例 6】如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD中， A， P平面 ABCD，且 PAB，点 E是 PD的中点.（1）求证： C； （2）求证： /平面 A；
7、（3）求二面角 B的大小. 【例 7】如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 c，d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为 h.（1）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的正切值；（2）证明：EF面 ABCD；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面h 来计算.已知它的体积公式是 V= 6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面） ，试判断 V 估与 V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面
8、距离相等的截面称为该多面体的中截面）垂直的判定与性质1. 线面垂直的定义：如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l与平面 互相垂直，记作 l. l平面 的垂线， 直线 l的垂面，它们的唯一公共点 P叫做垂足.（线线垂直 线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若 l m， l n， B， m ， n，则 l3. 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作 .4. 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直 面面垂直）5. 线面垂直性质定
9、理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直 线线平行）6. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若 ， l， a， l，则 a.（面面垂直 线面垂直）【例 1】四面体 ABCD中， ,BEF分别为 ,ADBC的中点，且2EFAC，90B，求证： 平面 A.证明：取 的中点 G，连结 ,EF， ,分别为 ,AB的中点， EG12/A，12/FGD.又 ,ACB12AC，在 中，221GFCF， E， ，又 90BD，即 BD， A， BD平面 AC.【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 A1B
10、1 的中点，求直线 AE 与平面ABC1D1 所成的角的正弦值.解：取 CD 的中点 F，连接 EF 交平面 1ABCD于 O，连 AO.由已知正方体，易知 EO平面 ，所以 E为所求.在 RtA中， 122A，215()，10sin5EO.所以直线 AE 与平面 1ABCD所成的角的正弦值为105.【例 3】三棱锥 P中， PBAC， ， O平面 ABC，垂足为O，求证：O 为底面ABC 的垂心.证明：连接 OA、OB、OC， O平面 ABC， ,BPAC.又 PABC， ， PB平 面 ， 平 面 ，得 ACO， , O 为底面ABC 的垂心.【例 4】已知 RtA，斜边 BC/平面 ，
11、, AB，AC 分别与平面 成 30和 45的角，已知 BC=6，求 BC 到平面 的距离.解：作 1B于 1， C于 1，则由 /BC，得C，且 就是 BC 到平面 的距离，设 1x，连结 1,A，则 1130,45A， 2,AB，在 RtC中， 6,90C， 2364x， 6x，即 BC 到平面 的距离为 6【例 5】如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60,（1）证明：C1CBD； （2）当 1CD的值为多少时，可使 A1C面 C1BD？C1B1CBAB DCAEFG解：（1）证明：连结 A1C1、AC，AC 和 BD 交于点 O，连
12、结 C1O，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C 是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但 ACBD，ACC1O=OBD平面 AC1，又 C1C平面 AC1，C1CBD.（2）由(1)知 BD平面 AC1，A1O 平面 AC1，BDA1C，当 1CD=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证 BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面 C1BD.【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点E、F，连结 AE、EF、AF，以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点B、C、D 重合于一点 P.（1）
13、求证：APEF；（2）求证：平面 APE平面 APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P， PA平面 PEF. EF 平面 PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面 APF.又 PE平面 PAE，平面 APE平面 APF.【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中， ,ABCDA ,EFG分别是CDA的中点，求证：平面 EF平面 G. 证明： ,BG为 AC 中点，所以 .同理可证 , C面 BGD. 又易知 EF/AC，则 EF面 BGD.又因为 面 BEF，所以平面 B平面 D.【例 3】如图，在正方体 1AD中，E 是 1C的中点，求证：
14、1ABDE平 面 平 面证明：连接 AC，交 BD 于 F，连接 1，EF， 1A， 1.由正方体 1C，易得 DB， E，F 是 BD 的中点， 所以 1,AFBDE，得到 1是二面角 1D的平面角.设正方体 1的棱长为 2，则221 ()6，2221()3EFC，2119AEC. 21FAE，即 1，所以 1ABDE平 面 平 面 .【例 4】正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1=2AB，D、E 分别是侧棱 BB1、CC1 上的点，且EC=BC=2BD，过 A、D、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长 ED 交 CB 延长线
15、于 F，1/,.1202DBECBCAB又， 30AF， 90. ,， ,E为截面与底面所成二面角的平面角. 在 RtAEC 中，EC=AC，故得EAC=45.（2）设 AB=a，则3112,38ABCEDBCEDaBDaVhSa，2333,48ABCABCADEBCVS a . ABCDEV.【例 5】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：CDPD； （2）求证：EF平面 PAD；（3）当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线 EF平面 PCD？解：（1）证明：PA底面 ABCD，CD 平面
16、ABCD，PACD.又 CDAD，CD平面 PAD. CDPD.（2）证明：取 CD 中点 G，连 EG、FG， E、F 分别是 AB、PC 的中点，EGAD，FGPD. 平面 EFG平面 PAD，故 EF平面 PAD.（3）当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45角时，直线 EF面 PCD.证明：G 为 CD 中点，则 EGCD,由(1)知 FGCD，故EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP.由 RtPAERtCBE,得 PE=CE. 又 F 是 PC 的中点，EFPC， 由 CDEG，CDFG，得 CD平面 EFG，C
17、DEF 即 EFCD，故 EF平面 PCD.【例 1】把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面，另一条直角边 AC 与桌面所在的平面垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂直，则 BC 是否与 a 垂直？解：【例 2】如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆 O 的直径， BCAC.又 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BCPA，从而 BC
18、平面 PAC. BC 平面 PBC， 平面 PAC平面 PBC.（2）平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面ABCD；平面 PAD平面 ABCD.EDC1B1A1CBAACABaBCA平 面平 面 ACB a【例 3】三棱锥 PABC中， PBC, O平面 ABC，垂足为 O，求证：O 为底面ABC 的外心.证明：连接 OA、OB、OC， O平面 ABC， ,O.在PAO、PBO、PCO 中， 90PABPC,PABC, PO 边公共. . O,所以，O 为底面ABC 的外心.【例 4】三棱锥 P中，三个侧面与底面所成的二面角相等， P
19、O平面 ABC，垂足为O，求证：O 为底面ABC 的内心.【证】作 DAB于 D， EC于 E， PFA于 F，连接 OD、OE、OF. 平面 ABC， ,OO， ,ABCA .又 ,P, ,ABDBCPEACPF平 面 平 面 平 面 .得 ,OEOF, P为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得 P， PO 边公共， DEP，得 ODEF，又 ,ABCFA. O 为底面ABC 的内心.【例 5】在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C底面ABC.（1）若 D 是 BC 的中点，求证：ADCC1； （2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1
20、的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证：截面 MBC1侧面 BB1C1C；（3）如果截面 MBC1平面 BB1C1C，那么 AM=MA1 吗？请你叙述判断理由.解：（1）证明：AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC. 底面 ABC平面 BB1C1C， AD侧面 BB1C1C, ADCC1.（2）证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1N.AM=MA1，NA1=A1B1。 A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1。 C1NC1B1.底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C1N侧面 BB1C1C.截面 C1NB侧面 BB1C1C， 截面 MBC1侧面 BB1C1C.（3）过
21、 M 作 MEBC1 于 E，截面 MBC1侧面 BB1C1C, ME侧面 BB1C1C，又AD侧面 BB1C1C, MEAD，M、E、D、A 共面.AM侧面 BB1C1C，AMDE. CC1AD，DECC1.D 是 BC 的中点，E 是 BC1 的中点. AM=DE= 12CAA1，AM=MA1.9 （06 年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABD中，ABC， P平面 ABCD，且 PAB，点 E是 PD的中点.（1）求证： ； （2）求证： /平面 C；（3）求二面角 E的大小. 解：（1） PA平面 ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又ABAC，AC 平
22、面 ABCD， ACPB. （2）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，EOPB. 又 PB 平面 AEC，EO 平面 AEC， PB平面 AEC.（3） 15.探究创新10 （02 年北京理）如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 c，d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为 h.（1）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的正切值；（2）证明：EF面 A
23、BCD；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面h 来计算.已知它的体积公式是 V= 6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面） ，试判断 V 估与 V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）解：（1）过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1 作 B1GPQ，垂足为 G.平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1HPQ，垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 B1PQC1 为等腰梯形. PG=12（bd） ， 又 B1G=h， tanB1PG=2hbd（bd） ，（2）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有 ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线，AB面 CDEF. EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线， ABEF. AB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外， EF面 ABCD.（）V 估V.证明：ac，bd，VV 估=(4)622hacbdacbdc h=122cd+2ab+2（a+c） （b+d）3（a+c） （b+d） =12（ac） （bd）0.V 估V.
