1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自主学习学习目标1能根据实际问题的需要合理选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、众数等)，并做出合理解释2会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征3进一步体会样本估计总体的思想，解决一些实际问题自学导引1设样本数据为 x1，x 2，x n，则样本数据的平均数为 ，它描述xx1 x2 xnn了数据的数值_，定量地反映数据的集中趋势所处的水平在频率分布直方图中，平均数是直方图的_2数据的离散程度可以用_、_或_来描述，样本方差描述了一组数据围绕_波动的大小一般地设样本元素为 x1，x 2，x n样本平均数为 ，则x方差 s2 _，标准差
2、s_.对点讲练知识点一 平均数的计算例 1 某班在一次数学竞赛中有 10 名同学参加( 满分 150 分)成绩分别如下：118,119,120,122,117，125,117,120,125,117.问 10 名参赛学生的平均成绩是多少？点评 在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，方法二可以减少运算量，所以此法比较简便变式迁移 1 若 x1，x 2，x n和 y1，y 2，y n的平均数分别是 和 ，试求出下列几x y组数据的平均数(1)3x1,3x2，3x n；(2)x1y 1，x 2y 2，x ny n；(3)2x1m,2x
3、 2 m，2x nm .知识点二 方差、标准差的计算例 2 甲机床加工直径为 100 mm 的零件，现从产品中随机抽出 6 件进行测量，测得如下数据( 单位：mm)：99,100,98,100,100,103.计算上述数据的方差和标准差(标准差结果精确到 0.1)点评 首先计算出平均数，然后根据数据的特点，可以直接利用公式求出方差和标准差，或对公式进行合理变形( 如 s2 (x x x ) n 2)，从而使运算更简便1n 21 2 2n x变式迁移 2 乙机床加工直径为 100 mm 的零件，现从产品中随机抽出 6 件进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,102,99,100,1
4、00.(1)计算上述数据的方差和标准差( 标准差精确到 0.1)(2)据计算结果与例题中甲机床比较，说明哪一台机床加工这种零件更符合要求知识点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：( 单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？点评 特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中变
5、式迁移 3 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况(1)平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度标
6、准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散. 课时作业一、选择题1期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同学的分数，与原来的 40 个分数一起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 MN 为( )A. B1 C. D24041 41402与原始数据单位不一致的样本数据是( )A众数 B中位数 C标准差 D方差3在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A92,2 B92,2.8C
7、93,2 D93,2.84某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为甲 82 分， 乙 82 分，s 245，s 190，那么成绩较为整齐的是( )x x 2甲 2乙A甲班 B乙班C两班一样齐 D无法确定5下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A84,4.84 B84,1.6C85,1.6 D85,4二、填空题6一个样本按从小到大的顺序排列为 10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为 16，则x_.7如果数据 x1，x 2，x 3， xn的平均数为 10
8、，方差为 2，则数据7x12,7x 22,7x 32，7 xn2 的平均数为_，方差为_8甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数 及其标准差 s 如下表所示，则x选送决赛的最佳人选应是_甲 乙 丙 丁x7 8 8 7s 2.5 2.5 2.8 3三、解答题9某校团委为响应顺义区倡导的“我与奥运同行，人人爱护环境”的号召，举办了英语口语竞赛甲、乙两个小组成绩如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86乙组：82 84 85 89 80 94 76(1)分别求出甲、乙两个小组的平均分、标准差( 精确到 0.01)；(2)说明哪个小组成绩比较稳定？10为了保护学生的视力，教室内的日光灯
9、在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：天数 151180 181210 211240 241270灯管数 1 11 18 20天数 271300 301330 331360 361390灯管数 25 16 7 2(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？22.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自学导引1平均水平 平衡点2极差 方差 标准差 平均数x1 x2 x2 x2 xn x2n x1 x2 x2 x2 xn x2n对点讲练例 1 解 方法一 利用平均数的公式计算 (118119120 12511
10、7)x110 1 200120.110方法二 建立新数据，再利用平均数简化公式计算取 a120，将上面各数据同时减去 120，得到一组新数据：2，1,0,2，3,5，3,0,5，3. (21023 53053) 0，x110 a0120120.x x答 该班 10 名参赛学生的平均成绩是 120 分变式迁移 1 解 (1) (3x1 3x23x n)1n3 (x1x 2x n)3 ；1n x(2) (x1y 1)(x 2y 2) (x ny n)1n (x1x 2x n) (y1y 2y n)1n 1n ；x y(3) (2x1m)(2x 2m) (2x nm)1n (2x12x 22x n)
11、 nm1n 1n2 (x1x 2x n)m1n2 m.x例 2 解 甲 100 (102003)x16100(mm )计算 xi 甲 (i1,2，6)得数据分别为1,0，2,0,0,3.x计算(x i 甲 )2(i1,2，6) 得数据分别为 1,0,4,0,0,9.x计算方差 s (10 4009) (mm2)2甲16 73计算标准差 s 甲 1.5(mm)73所以这组数据的方差为 ，标准差约为 1.5.73变式迁移 2 解 (1) 乙 100 (102100)100(mm )x16x i 乙 (i1,2，6)所得数据分别为1,0,2，1,0,0.x(x i 乙 )2(i1,2，6)所得数据分
12、别为 1,0,4,1，0,0.x所以 s (1041 00) 1(mm) 2，2乙16s 乙 1(mm) (2)由上述计算结果可知， 甲 乙 ，s 甲 s 乙x x乙机床加工这种零件更符合要求例 3 解 (1) 甲 (25414037221419392142) 30030 x110 110(cm)，乙 (27164427 441640401640)x110 31031 (cm )110 甲 s ，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定2甲 2乙课时作业1B N M，MN 1.40M M412D3B 去掉最高分 95 和最低分 89 后，剩余数据的平均数为 92，方差为 s2
13、(9290) 2(9290) 2(93 92) 2(9492)x90 90 93 94 935 152(93 92)2 (4414 1)2.8.154B5C 去掉最高分 93，最低分 79，平均分为 (84848684 87) 85，15方差 s2 (8485) 2(8485) 2(8685) 2(84 85) 2(87 85) 2 1.6.15 85615768 98解析 平均数710268，方差7 2298.8乙解析 平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性标准差越小，稳定性越好9解 (1) 甲 (7690 8486818786)x1784.29，乙 (8284858980 9476) 8
14、4.29，x17s 甲 17762 902 842 862 812 872 862 784.2924.15，s 乙 17822 842 852 892 802 942 762 784.2925.40.(2)s 甲 s 乙 ， 甲小组的成绩比较稳定10解 (1)各组中值分别为 165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为1651%19511%22518%25520% 28525% 31516%3457%3752%267.9268(天)(2)将组中值对于此平均数求方差：1(165268) 211(195268) 218(225268) 220(255268)1100225(285268) 216(315 268) 27(345268) 22(375268) 22 128.60(天 2)故标准差为 46(天)2 128.60答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天，标准差约为 46 天，故可在 222 天到314 天左右统一更换较合适
