1、课时训练 19 空间向量与空间角一、综合题1.直线 l1,l2的方向向量分别是 v1,v2,若 v1与 v2所成的角为 ,直线 l1,l2所成的角为 ,则( ) .A.= B.=-C.cos=| cos| D.cos =|cos|答案: D2.已知 A, P,平面 的一个法向量 n=,则直线 PA 与平面 所成的角为( ) .A.30 B.45 C.60 D.150答案: C解析:设直线 PA 与平面 所成的角为 ,则 sin=| cos|=.=60 .3.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为 A1B1和 BB1的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余
2、弦值为( ).A. B.C. D.答案: D解析:如图,建立坐标系,则 A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,. cos=0.AB 1与 C1B 所成的角为 90.5.如图,过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面 AC,若 EA=1,则平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角的大小是( ).A.120 B.45C.135 D.60来源 :答案: B解析:以 A为原点,分 别以 AB,AD,AE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面
3、 BCE 的法向量为 n=(x,y,z),则有可取 n=(1,0,1),又平面 EAD 的法向量为 =(1,0,0),所以 cosn,=,故平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角为 45.6.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱 BB1的中点,则直线AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( ).A.60 B.90C.45 D.以上都不对答案: B解析:以点 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A 1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),
4、所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面 A1ED1的一个法向量为 n=(x,y,z),则来源:令 z=1,得 y=1,x=0,所以 n=(0,1,1),cos=-1.所以=180 .所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90.7.在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,底面 ABCD 为边长是 1 的正方形,PA=2,则AB 与 PC 的夹角的余弦值为 . 答案:解析:由于()=1 cos 45=1,又|=1,|=, cos=.8.在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且SO=OD,则直线 BC 与平
5、面 PAC 所成的角为 . 答案:30 解析:以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz,设 OD=SO=OA=OB=OC=a,来源:则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,从而=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面 PAC 的一个法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),则 cos=.来源 :所以=60 .所以直线 BC 与平 面 PAC 所成的角为 90-60=30.9.在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,AB AC,PA平 面 ABCD,且 PA=AB,E是 PD 的中点,求平面 EAC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 .解:如图所示,以 A 为
6、原点,分别以 AC,AB,AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 PA=AB=a,AC=b.连结 BD,与 AC 交于点 O,取 AD 的中点 F,连结 OF,OE,EF,AE,则 A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),所以 D(b,-a,0),P(0,0,a),所以 E,O=(b,0,0).因为=0,所以 .因为,所以=0,所以 .因此 EOF 为平面 EAC 与平面 ABCD 所成的角 .因为 cos;(2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的大小;(3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的大小.解:(1)建立空间直角坐标系,如图.=(5,2,4) ,=(0,8,-4),=0+16-16=0, . cos=.直线 AD 与平面 ANM 所成角为 -arccos.(3)平面 ANM 的法向量是 =(0,8,-4),平面 ABCD 的法向量是 a=(0,0,1), cos=-.平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的大小为 arccos.来源 :
