1、11.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标 1. 理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一 全称命题的否定思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR， x22 x10.答案 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形” ，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形” ；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)x0 R， x 2
2、x011，使 x 2 x030；20(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解 (1) 綈 p： x1， x22 x30(假).(2) 綈 p：所有的素数都不是奇数(假).(3) 綈 p：所有的平行四边形都是矩形(假).反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即 p： x0 M， p(x0)成立 綈 p： x M，綈 p(x)成立.跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0， y0Z ，使得 x0 y03.2解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它
3、的绝对值是正数” ，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形” ，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“ x， yZ ， x y3”.当 x0， y3 时， x y3，因此命题的2 2否定是假命题.类型三 特称命题、全称命题的综合应用例 3 已知函数 f(x) x22 x5.(1)是否存在实数 m，使不等式 m f(x)0 对于任意 xR 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数 x0，使不等式 m f(x0)0 成立，求实数 m 的取值范围.解 (1)不等式 m f(x)0 可化为
4、 m f(x)，即 m x22 x5( x1) 24.要使 m( x1) 24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可.故存在实数 m，使不等式 m f(x)0 对于任意 xR 恒成立，此时，只需 m4.(2)不等式 m f(x0)0 可化为 mf(x0)，若存在一个实数 x0，使不等式 mf(x0)成立，只需mf(x)min.又 f(x)( x1) 24， f(x)min4， m4.所求实数 m 的取值范围是(4，).反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在4符合条件的元素.一般地，对任意的实数 x， af(x)恒成立，只要 af(x)max；若存在一
5、个实数 x0，使 af(x0)成立，只需 af(x)min.跟踪训练 3 已知 f(x)3 ax26 x1( aR).(1)当 a3 时，求证：对任意 xR，都有 f(x)0；(2)如果对任意 xR，不等式 f(x)4 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.(1)证明 当 a3 时， f(x)9 x26 x1， 364(9)(1)0，对任意 xR，都有 f(x)0.(2)解 f(x)4 x 恒成立，3 ax22 x10 恒成立，Error!即Error!解得 a ，13即实数 a 的取值范围是(， .131.已知 a0 且 a1，命题“ x01，log ax00”的否定是( )A.x01 ，lo
6、g ax00 B.x01，log ax00C.x1，log ax0 D.x1，log ax0答案 D解析 a0 且 a1，命题“ x01，log ax00”的否定是“ x1，log ax0”.2.设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集.若命题 p： x A，2 x B，则( )A.綈 p： x A，2 xBB.綈 p： xA，2 xBC.綈 p： x0A，2 x0 BD.綈 p： x0 A，2 x0B答案 D解析 命题 p： x A，2 x B 是一个全称命题，其命题的否定綈 p 应为 x0 A，2 x0B.故选 D.3.命题“对任意一个实数 x，都有 0”的否定是_.12x 4答案
7、 存在一个实数 x0，使得 2x040解析 “对任意一个实数 x，都有 0”的否定是“存在一个实数 x0，使得 0”是真命题，所以 44 m1，故实数 m 的取值范围是(1，)，从而实数 a 的值为 1.5.已知函数 f(x) x2 mx1，命题 p：“对任意 xR，都有 f(x)0”，命题 q：“存在x0R，使 x m20”，所以綈 p：“不等式 f(x)0 在实数集上有解” ，故 m240，得 m2 或 m2.又命题 q：“存在 x0R，使 x m20，所以30 B.xN *，( x1) 20C.x0 R，lg x00 恒成立，而 y2 x1 的图象是将 y2 x的图象沿 x 轴向右平移1
8、 个单位长度，函数的值域不变，故 2x1 0 恒成立，A 为真命题；当 x1 时，( x1)20，故 B 为假命题；当 01C.xR，sin x1 D.xR，sin x1答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题， x0R，sin x01，故选 B.4.命题“ nN *， f(n)N *且 f(n) n”的否定形式是( )A.nN *， f(n)N*且 f(n)nB.nN *， f(n)N*或 f(n)nC.n0 N*， f(n0)N*且 f(n0)n0D.n0 N*， f(n0)N*或 f(n0)n0答案 D解析 “ f(n)N *且 f(n) n”的否定为“ f(n)N*或 f(
9、n)n”，全称命题的否定为特称命题，故选 D.5.若命题 p： x0，log 2x0，命题 q： x0R，2 x00， x0R，命题 q 为假命题， p(綈 q)为真命题.76.已知 a0，函数 f(x) ax2 bx c，若 x0满足关于 x 的方程 2ax b0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A.x1 R， f(x1) f(x0) B.x1R， f(x1) f(x0)C.xR， f(x) f(x0) D.xR， f(x) f(x0)答案 C解析 当 a0 时，函数 f(x) ax2 bx c 的图象为开口向上的抛物线，若 x0满足关于 x的方程 2ax b0，则 x0 为抛物线顶点的
10、横坐标， f(x)min f(x0)，故对于b2axR， f(x) f(x0)成立，从而选项 A，B，D 为真命题，选项 C 为假命题.二、填空题7.若“ x0， ，tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为 _. 4答案 1解析 0 x ，0tan x1，“ x0， ， 4 4tan x m”是真命题， m1.实数 m 的最小值为 1.8.命题“对任何 xR，| x2| x4|3”的否定是_.答案 存在 x0R，| x02| x04|3解析 全称命题的否定为特称命题.9.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是_.答案 有些函数没有奇偶性解析 命题的量词是“每个” ，即为全称命题，因此其否定
11、是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.10.已知 p(x)： x22 x m0，如果 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围是_.答案 3，8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12 m0，解得 m3.又因为 p(2)是真命题，所以 44 m0，解得 m8，故实数 m 的取值范围是3，8).三、解答题11.若 p1p22( q1 q2)，求证：关于 x 的方程 x2 p1x q10 与 x2 p2x q20 中至多有一个方程没有实数根.证明 若两个方程都无实数根，则Error!8，得 p p 4(q1 q2).21 2 p p 2 p1p
12、2，21 22 p1p24(q1 q2)， p1p22(q1 q2)， p1p22( q1 q2)，这与已知条件矛盾.关于 x 的方程 x2 p1x q10 与 x2 p2x q20 中至多有一个方程没有实数根.12.已知命题 p： xR，4 x 2x1 m0，若綈 p 是假命题，求实数 m 的取值范围.解 綈 p 是假命题， p 是真命题.也就是 xR，有 m(4 x 2x1 )，令 f(x)(4 x2 x1 )(2 x1) 21，对任意 xR， f(x)1. m 的取值范围是(，1.13.已知 f(x) ax2 bx c 的图象过点(1，0)，是否存在实数 a， b， c，使得不等式x f
13、(x) 对于一切实数 x 均成立.1 x22解 假设存在实数 a， b， c，使得不等式 x f(x) 对于一切实数 x 均成立.1 x22 f(x)的图象过点(1，0)， a b c0. x f(x) 对一切 xR 均成立，1 x22当 x1 时，也成立，即 1 a b c1，故有 a b c1. b ， c a.12 12 f(x) ax2 x a.12 12故 x ax2 x a 对一切 xR 均成立，即Error!恒成立12 12 1 x22Error!Error! a ， c a .14 12 14存在一组实数 a ， b ， c ，14 12 14使得不等式 x f(x) 对一切实数 x 均成立.1 x22
