1、1,分析力学,第三篇 完整系统动力学,自由度f = 广义坐标数k,2,应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格朗日方程。拉格朗日第二类方程是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。,第六章 拉格朗日第二类方程,分析力学,3,质点系：n个质点，受d个完整约束，取k=3n-d个广义坐标：q1，.， qk ，系统的
2、位形：,6.1 动能的广义坐标表达式,分析力学,于是：,系统的动能：,其中 都是qj和t的函数,4,分析力学,5,显然，ajm、bj、c都是都是qj和t的函数,分析力学,令,再令,则系统的动能： T=T2+ T1 + T0 (6.1.5),式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数,6,分析力学,对定常系统， 中不显含时间t，即 ，于是,T1 =0，T0 =0,故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。,计算出系统的动能后，含有 或 的项为T2，含有 的项为T1
3、，不含 的项为T0 。见P143例6-2,6.2 拉格郎日第二类方程,一 拉格郎日第二类方程,7,设有n个质点组成的质点系，受完整约束，具有f=k个自由度，可由k个广义坐标q1， q2，. ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径,Mi的虚位移（固定时间t）：,代入质点系动力学普遍方程：,分析力学,8,第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：,第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：,分析力学,9,为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：,Mi点的速度： 由(a)式,分析力学,10,由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对 求偏导：,将（g）
4、对任一广义坐标ql 求偏导：,将（a）式先对ql求偏导再对t求导：,分析力学,11,比较（i）（j）得,分析力学,12,将下标l换成j得：,将（h）（k） 代入（f）得：,分析力学,13,于是（e）式为,分析力学,14,将（d）（m）代入（c）得：,由于qj彼此独立，所以：,这就是拉格朗日第二类方程。,分析力学,(6.2.5),适用范围：完整系统。,15,（2）有势力、非有势力都适用,（4）不含约束力。,如果作用于质点系的力是有势力，则：,二、保守系统的拉格朗日方程,而拉氏方程为：,分析力学,16,由于V=V（q1，q2，.，qk），不含广义速度，所以,上式为：,令L=T-V拉格朗日函数,保守
5、系统的拉格朗日第二类方程。,分析力学,17,应用拉氏方程解题的步骤：1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3. 计算广义力 ，计算公式为：,或,若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5. 求出上述一组微分方程的积分。,分析力学,18,例 图示行星齿轮机构位于水平面内。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。已知
6、杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程。,所受约束皆为完整、理想、定常的，取OA杆转角 为广义坐标。,解：图示机构只有一个自由度,分析力学,19,分析力学,20,由拉氏方程：,积分，得：,故：,代入初始条件，t =0 时， 得,分析力学,21,例图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2，半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。,解：系统具有一自由度，保守系统。以物块C的平衡位置为原点，取x为广义坐标：,以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则,分析力学,22,代入到拉氏方程 得：,分析力学,23,例 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光
7、滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。,解：系统为保守二自由度系统。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正。,分析力学,24,以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点，则：,分析力学,25,分析力学,26,系统的运动微分方程。,上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。,若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o, cos 1, sin ，则,分析力学,27,6.3 拉格朗日方程的第一积分,拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶非线性微分方程组，要求它们的积分一般是很困难的。
8、但是 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。,分析力学,一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - V 中不显含t ，即 ， 则,28,(6.3.8),分析力学,由保守系统的拉氏方程可知：,上式称为广义能量积分或雅可比积分。 称为广义能量。,29,于是 L= L2 + L1+ L0 (6.3.9),分析力学,广义能量积分的意义：,T=T2+ T1 + T0,L=T-V=T2+ T1 + T0 -V,V(q,t)中不含广义速度，令,L2 、 L1
9、 、 L0分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数。,由欧拉齐次函数定理：齐次函数对各变量的偏导数乘以对应的变量，相加起来，就等于这函数乘以它的次数。,30,(2L2 + L1)(L2 + L1 + L0 )=h,分析力学,则由式(6.3.8)，得,这是广义能量积分的另一种表达形式。,或 (2T2 + T1)(T2 + T1 + T0V )=h,即 T2T0 +V =h (6.3.11),对定常系统：,(由式6.1.6)， T=T2，T0 =0，则得,即 T +V =h (6.3.12),广义能量积分退化为能量积分，即机械能守恒。,31,分析力学,对完整保守系统且L 中不显含t,广义能量积分。
10、,对非定常系统：,T2T0 +V =h (6.3.11),对定常系统：,T +V =h (6.3.12),能量积分机械能守恒。,结论：,T2T0 +V广义能量,32,二、循环积分如果保守系统的拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qj , 则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。,当qj( jk ) 为系统的循环坐标时，必有,于是拉氏方程成为,分析力学,或：,循环积分 (6.3.15),33,定义：广义动量,因L = T - V，而V中不显含 ，即,因此循环积分表示广义动量守恒。注意，广义动量表示动量或动量矩。,分析力学,一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，
11、便有几个相应的循环积分。,能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。,34,例如：自由质点，f=k=3。q1=x， q2=y，q3=z 。,（由理论力学知，质点在有心力作用下的轨迹为平面曲线）,又例如：万有引力场中的质点的运动： f=k=2。q1=r， q2=j。,分析力学,x、y为循环坐标。,动量守恒,35,解：（1）研究对象：小环f=k=1，q= q,例：半径R的大圆环在水平面内以匀w绕O转动，质量为m的小环在其上无摩擦地滑动，求小环运动微分方程的第一积分。,分析力学,j为循环坐标。,动量矩守恒,（2）小环坐标：,以上两例均有能量积
12、分。,36,V=0（水平面）,(4)计算L,分析力学,(3)小环的约束方程,非定常约束（方程中显含t）,T2,T1,T0,37,分析力学,(5)L中不显含t，有广义能量积分（非定常约束）：,T2T0 +V =h,38,例 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的首次积分。,解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标原点均在初始位置。,分析力学,39,系统的动能：,系统的势能： 取水平面为重力势能零点。,拉格朗日函数：,分析力学,40,由保守系统拉氏方程：,解得楔形体的加速度为,拉格朗日函数L中不显含 t ，故系统存在能量积分。,分析力学,将L代入并适当化简，得到系统的运动微分方程。,41,当t =0时， ，x = s = 0 , 代入上式中，得,42,由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分：,t = 0时 ，故上式中C2 = 0 ，可得,（f )， ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在x方向守恒。,分析力学,
